2024年浙江省宁波市高中数学竞赛试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年宁波市高中数学竞赛试题一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两圆C1，C2，则“C1，C2有且仅有三条公切线”是“C1，A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若α∈12,1,2，则函数f(x)=xA. B.

C. D.3.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点AA.12 B.32 C.14.已知△ABC的内心为I，垂心为H，∠B=π4，若IH//BC，则∠C的大小落在区间(

)A.(0,π6) B.(π6,二、多选题：本题共3小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。5.设a，b，c是互不相等的正数，若关于x的不等式ax−bx+cx>0A.a+c<2b B.1a+1c>26.数列an是等差数列，周期数列{bn}满足bn=cos(anA.4 B.5 C.6 D.77.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点M是线段A1D1上的动点，点A.对任意的点M，总存在点N使得MN⊥AC

B.三棱锥M−BCN外接球的球心可以是线段BM的中点

C.三棱锥M−BCN外接球半径的最小值为928

D.二面角三、填空题：本题共6小题，每小题8分，共48分。8.已知函数f(x)，满足f(x)+f(11−x)=x，则f(2)=

9.在斜三棱柱的9条棱中任取2条，则取出的两条棱所在直线异面的概率为

．10.在3×3的方格表内填入1，2，⋯，9，若任何有公共边的两格内填的数之差的绝对值都不小于c，则c的最大值为

．11.已知9位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为75，方差为80，则这9位学生成绩的中位数的最大值为

．12.设P(x0,y0)为椭圆x2+4y2=13.已知复数z1，z2满足|z1−i|=2，且z2−iz1−i=四、解答题：本题共5小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b2+2bc(1)判断△ABC的形状，并说明理由;(2)若△ABC为等腰三角形，D为边AB上一动点，作BE⊥CD于E点，求CDBE的最小值．15.(本小题17分)已知函数f(x)=1(1)求证：f(x)+f(x+2)(2)若关于x的不等式1−kx≤f(x+1)≤1−tx的解集为[0,3]，求实数k和t的取值范围．16.(本小题20分)已知双曲线Γ:x2−y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线分别交双曲线Γ的两支于A，B两点，直线F(1)若C为线段AB上一点，满足S△F2RC(2)若RM=14RS，AN17.(本小题25分)已知p为素数，定义fp(n)表示正整数n的不被p整除的最大因子.记求证：(1){an+1−a18.(本小题25分)设集合A={x1,x2,⋯,xn}，xi∈Z，i=1，2，⋯，n.将A的每个子集的元素相加，得到2n个数(1)若A={1,2,4,⋯,2n−1}，证明：若(2)若b1，b2，⋯，b2n为连续的2n个整数.参考答案1.A

2.C

3.A

4.D

5.ABD

6.ABC

7.BCD

8.749.1310.3

11.83

12.25213.|Re(z14.解：(1)由题可得b2所以cosA=b2由余弦定理得：b=cb∴c2=(2)设∠ACD=α.则∠CBE=α，∠ADC=3π4−α在△ABC中，由正弦定理得CDsin因为△ABC为等腰三角形，所以CDBE当α=π8时，取到等号，所以CDBE

15.解：(1)要证1x+即证x+1上式左边=(同理可得，上式右边=1x+1(2)由不等式1−kx≤f(x+1)≤1−tx的解集为[0,3]，可知函数y=1x+1l1:y=1−kx，数形结合可得，x=3是方程1x+1又由图象可知，不等式1−kx≤1x+1可得kx≥1−1从而k≥1x+1又函数y=1x+1⋅(x+1+1)因此，k≥12，

16.解：AB的斜率存在且不为0，可设AB:x=my−2，A(x1,直线AB与双曲线Γ联立，x2−所以y1+y2=又F2A:x=x1−2y1因为S△F2设直线CF2交直线RS于点T，则T为线段所以x所以F与AB:x=my−2，联立可得xC=−1，所以C的轨迹为x=−1，y∈(−1,0)∪(0,1);(2)由RM=14RS，AN=xN=3F2MS==因为|m|>1，所以1+2m

17.证明：依题意，a1=p(p−1)2下，面考察由于1，2，⋯，pn−1中除p，2p，⋯，pn−p外其他数均不能被所以k=1p则a所以an所以an+1−a所以{a(2)有(1)可得a2(p+1)p所以i=1即i=1n所以i=1n

18.解：(1)设bi对应的子集为Ai=2i1,2i因为Ai≠Aj，则设t为使得则bi所以bi(2)先证：若|xi|=d⋅2i−1因为b1为集合A中所有的非正数的和，b2n所以b2又因为当i≠j时，设bi对应的子集为Ai={xi其中i1<i因为Ai≠Aj，则设t当xit当xit<0综上bi所以b1，b2，⋯，b2而b2n−b1再证：若{bn}是公差为d不妨设0⩽|x当k=1时，|x设k=n−1时成立，则考虑n时的情形．设A={x1,x2,⋯,x(若x1<0，只需将每个xi用考虑{bm}中最小项b则b2=b1+d=b1+x1，所以x