第31练 基本立体几何图形及几何体的表面积与体积（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第31讲基本立体几何图形及几何体的表面积与体积（精练）

刷真题明导向

一、单选题

1.（2023•全国•统考高考真题堆三棱锥产-A8C中，是边长为2的等边二:角形，PA=PB=2.PC=水,

则该棱锥的体积为（）

A.1B./C.2D.3

【答案】A

【分析】证明平面PEC,分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为45得解.

【详解】取AB中点E,连接PECE,如图，

-A8C是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,

:.PE±AB,CE±AB,又PE,CE<=平面尸EC,PEC\CE=E,

「.AB上平面PEC,

又产£=CE=2x正=5PC=76,

2

故PC'PE'CE。,即PE1.CE,

所以v=V*PEC+%£C=；SNECA8=；X：XGXGX2=1,

JJ4

故选：A

2.（2023・全国•统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为G，。为底面圆心，以，P8为圆锥的母线,

403=120%若二小区的面积等于蛀，则该圆锥的体积为（）

4

A.不B.底兀C.3冗D.3瓜冗

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆馋的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】在工03中，NAO8=120'，而04=08=6,取A8中点C,连接。CPC,有0c_LAB,PCJ_A〃,

如图，

ZABO=30,0C=皂,AB=2BC=3,由PA4的面积为地，得』x3xPC=也，

2424

解得孚，于是止[PC?一心=J（苧）2一g）2=瓜,

所以圆锥的体积^=：兀乂042乂00=:兀*（6）2*指=^兀.

故选：B

3.：2023•天津•统考高考真题）在三棱锥尸-ABC中，线段PC上的点M满足PM=；PC,线段/生上的点N

2

满足PN=§P8,则三棱锥尸-AMN和三棱锥Q-/WC的体积之比为（）

A.-B.IC.-D.-

9939

【答案】B

【分析】分别过M，C作MW'_L尸ACCEA,垂足分别为“C.过8作协」平面尸4C，垂足为3，连接

/＞笈,过"作可"_1。6',垂足为可：先证？/乂_1平面21（7,贝！1可得至!）88'〃NM，再证MM'〃CC'.由三角形相

似得到然=!，2=£,再由2^=§3即可求出体积比.

CC3BB3VP-ABCVB-PAC

I详解】如图，分别过M,C作MM'±PA,CC1PA，垂足分别为",L.过8作BBI平面PACf垂足为B,

连接PB',过N作NN'工PB'，垂足为N’.

p

因为88'JL平面PAC,BB，u平面PBB，，所以平面PB8'_L平面"C.

又因为平面?B*平面PAC=PB'，NN'lPB'，MV'u平面PB8'，所以MV」平面PAC,aBB'”NN’.

PMMM'I

在中，因为MM'J_尸ACd_LB4，所以MM'〃CC'，所以H=-7=T»

PCcC3

在△*仍'中，因为BB'〃NN'，所以竺=冬上=2

PRB£3

1,1

1S.NN—•-PAMM'.NN，2

VVO°PAMEY2

CCblP-AMN_yN-PAM_5_0

加以v-1/-1-1

.BB，9

“BCVB-PAC一Sp\~BB'--^PACC^

3咏3

故选：B

4.12022・天津•统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三楂柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形,

直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

【答案】D

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱/X7JAM组成，作"MJLC8于M,如图,

因为CH=BH=3,/CHB=120,所以CM=8M=M=之,

22

因为重叠后的底面为正方形，所以48=8。=36,

在直棱柱A/D-中，平面BHC,则

由A3c8C=8可得MWJ_平面ADC8,

设重叠后的EG与FH交点为人

贝I」匕亚物=gx3Gx3Gx|=§,匕F〉W£=；X3GX|X3后二§

Q127

则该几何体的体积为V=2VAi-JA=2x--y=27.

故选：D.

5.(2022•全国,统考高考真题)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别

为％和S乙，体积分别为咻和%.若率=2,贝|」挚=()

A.75B.2拒C.回D.更叵

4

【答案】C

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公式可得4=2&,

再结合圆心角之和可将4科分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即

可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为、乙圆锥底面圆半径为大

哈=*=2,

S乙兀rj4

所以4=24，

又牛+竿=24，

则。=1,

2|

所以4=]/，弓=§/，

所以甲圆锥的高4=

乙圆锥的高生=

2

1/-7rr^h]—/x-/

所以—=H,

乙亦也门手/

故选：c.

6.（2022・北京・统考高考真题）已知正三棱锥尸-A8C的六条棱长均为6,S是_A8C及其内部的点构成的集

合.设集合7={QwS|PQW5},则7表示的区域的面积为（）

3„

A.—B.%C.2万D.3汽

4

【答案】B

【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面A8c的截面圆的半径后可求区域的面积.

设顶点P在底面上的投影为。，连接8。，则。为三角形A8C的中心,

J@LBO=-x6x—=2>/3,故尸。=：36-12=2#・

32

因为PQ=5,故OQ=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

而三角形人8C内切圆的圆心为O,半径为2xjx36,

3x6

故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为乃

故选：B

7.（2021・天津•统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为第

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3nB.4〃C.94D.12万

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。,

设圆锥AO和圆锥8。的高之比为3:1,即AD=33D,

设球的半径为R,则警磬，可得X,所以‘AB=3BD=4BD=4,

所以，BD=1,AO=3,

CD1AB,贝1)/040+48=/88+4。。=90,所以，4CAD=/BCD,

又因为NAQC=N8DC,所以，AACD^CBD,

HIIADCD[「

所以，——=--,/.CD=\lADBD=V3,

CDBD

因此，这两个圆锥的体积之和为?乃xCO、(A£)+3O)=g;rx3x4=4;r.

故选：B.

8.（2021.全国•统考高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+126B.28&C.警D.竺也

33

【答案】D

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高h=Q2T2五一可=V2,

下底面面积¥=16,上底面面积$2=4,

所以该棱台的体积V=gM\+S2+V^）=gx&x（l6+4+>/^）=g&.

故选：D.

9.（2021.全国.统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，

地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的

距离）.将地球看作是一个球心为O,半径，•为6400km的球，其上点人的纬度是指04与赤道平面所成角的

度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表

面的表面积为S=2"（1-cosa）（单位：km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D,50%

【答案】C

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理干算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

I6400

2+（1-cosa）二l-cosa=-64（）。+36000,04~42%,

44/-2~2一

故选：C.

10.（2021・北京・统考高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在

水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如下：

200mm->|

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程

中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），贝!这24h降雨量的等级是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，一个半径为竽=100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为竽x芸=50（mm）,高

2230（）

为150（mm）的圆锥,

所以积水厚度心片曰2g），属于中商

故选：B.

11.（2021•全国•统考高考真题）已知圆锥的底面半径为正,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长

为（）

A.2B.20C.4D.4X/2

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则乃/=2;rx正，解得/=2拉.

故选：B.

二、多选题

12.(2022•全国•统考高考真题)如图，四边形"C。为正方形，M_L平面ABC。，FB〃ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E-ACD,F-ABC,/一ACE的体积分别为匕,匕,匕，则()

A.匕=2%B.匕=乂

C.匕川+匕D.2K=3匕

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算%匕，连接80交4C于点M,连接由匕=匕…仙+Z-EFM计算出

匕，依次判断选项即可.

【详解】

设AB=ED=2FB=2a,因为ED_L平面4BCQ,尸BED,则乂=g.£7>S4⑺/

匕=:用5..《•a]。/]/,连接30交4c于点M,连接EM,尸M,易得8O_LAC,

JJJJ

又£D_L平面A3C£>,ACu平面A3CZ),贝(l£Z)_LAC,又瓦>iBD=D,ED,BDu平面"DEF,则ACJ_平

面BDEF,

又==低，过尸作FGJ_OE于G,易得四边形BOG产为矩形，则尸G=3。=2扃,EG=。,

则EM=J(2ay+(VL『=娓a,FM=Qa2+(6=岛，EF=.+(2。)?=3a，

222

EM+FM=EFf则£M_L/^，S•c»<»•=-EMFM=-a'fAC=2缶，

则匕=VA-EFM+VC-EFM=gACS.EFM=2a'，则2V3=3VI»匕=3%，%=匕+%,故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

三、填空题

13.（2021•全国•高考真题）已知•个圆锥的底面半径为6,其体积为3（）乃则该圆锥的侧面积为,

【答案】39乃

【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

【详解】VV=1^62/2=3O^

14.（2023•全国•统考高考真题）在正四棱台ABC。-A4CQ中，A8=2,入5=1,A4,=友，则该棱台的体

积为______

【答案】巫

6

【分析】结合图像，依次求得AQ，4O，AM，从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作AMJLAC,垂足为M,易知AM为四棱台AB8-A8CA的高,

因为48=2,44=1,裕=夜，

则44=』x&A罔=显、AO=、AC=Lx丘AB=近,

22222

故AM=；(AC—AG)=¥，则4陷=〃解―加_x/6

一2

所以所求体积为展3(4+""万》当=乎.

故答案为：巫.

6

15.(2023•全国•统考高考真题)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所裁，截去一个底面边长

为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体

的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于(=：，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

所以正四棱锥的体积为gx(4x4)>:6=32,

截去的正四棱锥的体积为gx(2x2)x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x(16+4+V^)=28.

故答案为：28.

E

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.（2023.全国.高三专题练习）已知某圆锥的高为2缶m，体积为也cm，则该圆锥的侧面积为（）

3

3几

A.—cnrB.371cm?C.67tcm2D.1271cm?

【答案】B

【分析】由圆锥的体积和高，得到底面半径，勾股定理得母线长，由圆锥的侧面积公式计算结果.

【详解】设该圆锥的底面半径与母线长分别为「，/,由贮x2&=逅，得r=1,

33

所以/=/+（2扬2=3,从而该圆锥的侧面积S="/=3兀.

故选：B

2.（2023•宁夏银川・银川一中校考三模）灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对

于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧

室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构,上下底皆挖空，上底半径为l（）cm,下底半径为18cm,

母线长为17cm,侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材

质布料面积为（）

T

1

A.969兀cn/B.9527rcm2C.864兀cm?D.476兀cnf

【答案】B

【分析】运用圆台的侧面积公式计算即可.

【详解】由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积5=2兀（10+18卜17=952兀5?.

故选：B.

3.（2023・全国•高三专题练习）如图，将一个圆柱2〃（〃eN’）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底

等高的几何体，〃越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面

积增加了10,则圆柱的侧面积为（）

A.10兀B.20兀C.10/nrD.18兀

【答案】A

【分析】新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，列出方程求解即可.

【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，

设圆柱的底面半径为〃，高为3贝U2出-10,

所以圆柱的侧面积为2/力=10兀.

故选：A.

4.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考开学考试）石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实

物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成.碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，

以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的.若推动拉杆绕碾盘转动2

周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直

径之比约为（）

A.3：2B.5：4C.5：3D.4：3

【答案】B

【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.

【详解】由题意知，2x2兀〃=5x2”；

・_h=一5,•—h=—5

"r2"2r4’

故选：B.

5.（2023•江西鹰潭・贵溪市实验中学校考模拟预测）转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放.如

图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，

正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱

柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S,高为h,己知曲面棱柱的为积V=S/z,若AB=R,力=1,则曲面

棱柱的体积为（）

A.3n-3V3B.2n-2x/2

C.3兀-2&D.2兀一36

【答案】A

【分析】根据题意和图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成的，其面积等于三块扇形的面积相加，

再减去两个等边三角形的面积，进而求解.

【详解】扇形ACB的面积S"8=gx半x6=7r,

S/=；x屁"xsing=乎,

则底面积S=3S«B+2s△八改.=3R-玮,

所以曲面棱柱的体积V=S/?=3元-3百，

故选：A.

6.（2023♦全国•高三专题练习）《九章算术•商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，

一为鳖瞒，不易之率也.“我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑

堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四楂锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖嚅.现

已知某个鳖膈的体积是1,则原长方体的体积是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.

【详解】如图所示，原长方体ABCO-ABGA，

设矩形BCC蜴的面积为s,CR=h,

鳖腐A-BCG的体积为1,

即？、（^s）乂〃=1，所以S/?=6,

即原长方体的体积是6・

故选：B

7.（2023春•宁夏银川・高三宁夏育才中学校考开学考试）已知侧棱长为2g的正四棱锥各顶£工都在同一球面

上.若该球的表面积为36»，则该正四棱锥的体积为（）

A16口8及「8n32

3333

【答案】D

【分析】作图，分外接球的球心在锥内和锥外2种情况，运用勾股定理分别计算.

【详解】设四棱锥为P-A8CQ,底面A8CO的中心为O,

设外接球的半径为R,底面正方形的边长为2a,四棱锥的高为PO=h,则4/双=364、R=3>BO—\/2a，

当外接球的球心在锥内时为。1，在RtP8O中，BO2+PO2=PB2,

即2a2+"=]2..XD,在RtBO。】中，00；+BO?=BO；,即（力一3『+2/=3?…②，

联立①②，解得〃=2,/?=2<R｛舍）；

当外接球的球心在锥外时为。2，在RJPBO中，BO2+PO2=PB\

即2/+〃2=]2…③，在RiBOQ中，BO2+OO；=BO~,即2/+。—〃）2=3?…④，

联立③④解得〃=2,人=2,四棱锥的体积小.皿=3（2、2）12=,；

故选：D.

8.（2023春・湖南长沙•高三校联考阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建

了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六楂柱两条相对侧棱

所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2:3.则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为

7

【答案】B

【分析】设出相关棱长，利用面积公式求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，然后可得答案.

【详解】设正六边形的边长为。，由题意正六棱柱的高为2”,

因为正六棱锥的高与底面边长的比为2:3,所以正六棱锥的高为：明正六棱锥的母线长为巫

33

正六棱锥的侧面积幻6j肾子二手〃

正六棱柱的侧面积S2=6a-2a=12/,

所以.「坐

故选：B.

9.（2023・云南•高三校联考阶段练习）拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（S加pso〃）

公式V=!〃（$+4So+S2）求体积，其中人是高，，是上底面面积，$是下底面面积，S。是中截面（到上、

6

下底面距离相等的截面）面积，如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为4的正方形，EF=2,

且直线打到底面A8CO的距离为3,则该五面体的体积为（）

A.18B.20C.24D.25

【答案】B

【分析】根据题意，利用辛普森（Simpson）公式V=5?（&+45。+邑）求解.

6

【详解】解：如图所示：

分别取边AE,BF,CF,DE的中点G,H,J,K,

2+4

由题意知人一3,号一0,邑-4x4—16,GH=KJ=^-=3,HJ=GK=2t

则=3x2=6,

所以y='/?（S]+4So+S2）=Lx3x（O+4x6+l6）=2O,

故选：B

10.（2023•全国•校联考三模）如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面,

由两个部分组成，上部分近似为圆铢，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（）

3200mm

A.2.018xl()77imin2B.1.824xl()77nnm2

C.1.468x10’71mm2D.1.28xlO7

【答案】B

【分析】根据题意分上部分为圆锥，利用其侧面积公式求出其侧面积；下部分为圆柱，利用其侧面积公式

求出其侧面积，最后得到正面外表面面积.

【详解】根据题意，上部分圆锥的母线长为止50002十160G2=3400(mm)，

所以圆锥的侧面积为gx3400x2兀xl600=5.44xl067u(mn?),

下部分圆柱的侧面积为2兀xl600x4000=1.28xl()7Mmm2),

所以该整流罩的外表面的面积约为5.44x106兀+1.28X10?九=1.824x1()7兀mnf.

故选：B.

11.(2023•北京通州・统考模拟预测)如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱牲，人4=1,

AP=y/3,A8=2,则该几何体的体积为()

【答案】B

【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥P-"CO的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解.

【详解】在正四棱锥P-A5co中，连接AC8。交于点。，连接.，

则。P即为正四棱锥P-ABCD的高，

°A=；AC=&，3»=〃尸-04,=1，

I4

所以^P-ABCD=-x2x2xl=—,匕8<7)-4区&。=2x2x1=4,

所以该几何体的体积为944=1拳6

JJ

D

C

O

故选：B

12.（2023・全国•高三专题练习）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹

盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹

盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm,足径14.4cm,高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm,则

黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：圆台的侧面积S=MA+r）/,R,，•为两底面半径，/为母线长，

其中冗的值取3,725.4025^5.04）

A.300.88cm2B.313.52cm2C.327.24cm2D.344.52cm2

【答案】B

【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.

【详解】设该圆台的母线长为/,两底面圆半径分别为R,「（其中R＞厂），

贝！］2R=22.5,2r=14.4,/?=3.8-（）.8=3,

所以/==J32+4.05?=325.4025*5.04,

故圆台部分的侧面积为、=7r(/?+r)/«3x(l1.25+7.2)x5.04=278.964cm2,

圆柱部分的侧面积为S2=2nr-0.8=6x7.2x0.8=34.56cm2,

故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为$+S2a278.964+34.56=313.524cm2.

故选：B.

13.（2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、卜底面的半径分

别为3和4,球的表面积为10（k，则该圆台的体积为（）

c238兀〜259n

75Kc—D.------

33

【答案】D

【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.

【详解】因为圆台外接球的表面积S=4“2=1（）（）兀，所以球的半径r=5,

设圆台的上、下底面圆心分别为Q,O1,在上、下底面圆周上分别取点A3,

连接002,00—04,08,。/，。出，如图,

因为圆台上、下底面的半径分别为3和4,

所以|0可=|。4|=4,依同=|0例=3,

所以|O0=J|O叶—|。固2=3,|OQ|二J|O4(TQA|2=4,

所以四O4=7,

所以圆台体积丫=；'（9兀+16兀+12TT）X7=259兀

3

故选：D.

14.（2023・全国•高三专题练习）正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即

正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体.若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面

体，已知该正八面体的体积为36,则生成它的正方体的棱长为（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】设正方体的棱长为2a,由条件结合锥体体积公式列方程求解即可.

【详解】设正方体棱长为2a,可得正八面体是由两个四棱锥构成，

四棱锥的底面为边长为缶的正方形，高为

贝I」正八面体体积为2、;、（2/卜4=36,解得〃=3,・・.2〃=6・

故选：B.

15.（2023・全国•高三专题练习）如图①，"球缺''是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺

的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体枳公式为丫=］（3/?-4）力2,其中R是球

的半径，人是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个

相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（兀。3）

()

图①

A.62326cm3B.62328cm3

C.62352cm③D.62356cm3

【答案】C

【分析】根据球的截面的性质由条件求出球的半径，切除掉的“球缺”的高，结合球的体积公式和“球缺”的

体积公式可得结论.

【详解】过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面，可得截面图如下：

由已知可得AB=14,设。为4B的中点，

贝"£>=7,

由已知可得2X(8+AE)=58,又AE=5,

所以00=24,

由求得截面性质可得VODA为以04为斜边的直角三角形，

所以0A=,0/)2+4)2=25,即球的半径R=25，

所以以。为球心，04为半径的球的体积等%,

又兀。3,所以乂*62500,

因为球的半径R=25,0力=24,

所以“球缺”的高为1,

所以一个“球缺”的体积匕=5(3/?-〃)力2ss74,

所以该机械插件中间部分的体积约为62500-74x2=62352(cm3).

故选：C.

二、多选题

16.(2023・全国•高三专题练习)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下

两部分的面之比为1:2,则关于上、下两空间图形的说法正确的是()

A.侧面积之比为1:4B.侧面积之比为1:8

C.体枳之比为1:27D.体积之比为1:26

【答案】BD

【分析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比

的立方可求得结果.

【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，

所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3,高之比为1:3,

所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1：9,体积之比为1:27,

即小棱锥与棱台的侧面积之比为1:8,体积之比为1:26.

故选：BD.

17.（2023・全国•高三专题练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid）t是由边数不全相

同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条楂的中

点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，

已知=则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A.该半正多面体的体积为了

B.该半正多面体过4B,C三点的截面面积为36

C.该半正多面体外接球的表面积为12%

D.该半正多面体的顶点数K面数F、棱数E满足关系式丫+尸-七=2

【答案】ABD

【分析】根据几何体的构成可判断A,由截面为正六边形可求面积判断B,根据外接球为正匹棱柱的外接

球即可判断C,根据顶点，面数，棱数判断D.

【详解】如图，

该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.

对于A,因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为:

V=2x2x2-8xlxlxlxl=—,故正确；

323

对于B,过A,B,C三点的截面为正六边形ABCFED,所以S=6、乎、（&丫=36,故正确.

对于C,根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为五，侧棱长为2的正四棱柱的外

接球，所以该半正多面体外接球的表面积5=4乃/?2=4乃*（应丫=阮，故错误；

对于D,几何体顶点数为12,有14个面，24条棱，满足12+14-24=2,故正确.

故选：ABD

18.（2023・重庆•二模）“端午节”为中国国家法定节假F1之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便

是端午节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图，粽了•可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，

也可做成底血半径为5cm,高为6cm（小含外壳）的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料，若一个碗的容积等;

半径为6cm的半球的体积，则（）（参考数据：«4.44）

A.这两碗馅料最多可包三角粽35个

B.这两碗馅料最多可包三角粽36个

C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个

D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个

【答案】AC

【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得

出答案.

I4

【详解】解：两碗馅料得体积为：2x-x-^-x63=288^cm\

23

如图，在正四面体。-ABC中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的

高，

CM=6x—=3\/3cm,OC=|GW=2>/3cm,OD=V36-I2=2x/6cm,

23

所以正四面体的体积为^xlx6x3x/3x2V6=l80cm,

即一个正四面体状的三角粽的体积为18缶m）

因为288万+18及h35.52，

所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误；

D

一个圆柱状竹筒粽得体积为f-Lrx6=—万cn?,

⑶2

27

因为2884+彳4=21.33,

所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.

故选：AC.

19.（2023・全国•高三专题练习）已知某圆锥的母线长为2,其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说

法中正确的有（）

A.圆锥的体枳为迪乃

3

B.圆锥的表面积为2历

C.圆锥的侧面展开图是圆心角为6r的扇形

D.圆锥的内切球表面积为（24-16夜,

【答案】ACD

【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B、C；根据

球的表面积公式可判断D.

由题意圆锥的底面半径r=&,圆锥的高。=4方=&,

所以圆锥的体积丫='乃/.力=也；，故A正确；

33

圆锥的表面积S=万”+力二=20%+2)，故B错误；

圆锥的侧面展开图是圆心角a=亚=&不，故C正确；

2yli

作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为4,

四边形A8CD为正方形，所以(2-a)x2=2夜，解得。=2-&，

圆锥的内切球表面积5=4兀/=甸2-拉丫=仅4-16⑹乃，故D正确.故选：ACD

20.(2023・全国•高三专题练习)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十

书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为"羡除”，则()

A.“羡除”有且仅有两个面为三角形；B.“羡除一定不是台体：

C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”：D.“羡除”至多有两个面为梯形.

【答案】ABC

【分析】画出图形，利用新定义判断A；通过AE//8F//C。，判断“羡除”一定不是台体，判断B；利用反

证法判断C；通过A£8F,C。两两不相等，贝IJ“羡除”有三个面为梯形，判断D.

【详解】由题意知：AEIIBFIICD,四边形AO布为梯形，如图所示：

对于A：由题意知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确;

对于B：由于AEUBFHCD,所以：“羡除”一定不是台体，故B正确；

对于C假设四边形ABE尸和四边形BCDF为平行四边形，则AE//8fV/C0,AAE=BF=CD,则四边形

4CDE为平行四边形，与已知的四边形4CDE为梯形矛盾，故不存在，故C正确；

对于D：若AE^BFrCD,贝卜羡除”三个面为梯形，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

21.（2023・全国•高三专题练习）若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是.（结果用

含兀的式子表示）

【答案】y

【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式S=”/求得结果.

【详解】解：「圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，

•••圆锥的底面半径一=；,母线E，

故圆锥的侧面积5="/=^.

2

故答案为：p

22.（2023•上海•高三专题练习）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体枳为16兀，则球的表面

积为.

【答案】16K

【分析】设球的半径为J根据圆柱的体积可求得〃，利用球的表面积公式即可求得答案.

【详解】设球的半径为J则圆柱的底面直径和高皆为2八

故圆柱的体积为冗产x2r=16%.”=2,

故球的表面积为4兀/=16冗＞

故答案为：16兀

23.（2023・全国•高三专题练习）若长方体的对角线的长为9cm,其长、宽、高的和是15cm,则长方体的全

面积是.

【答案】144cm2

【分析】设长方体的长、宽、高分别为利用（x+y+z）2可构造方程求得为，+2忘+2》，即为所求的

全面积.

x+y+z=\5

【详解】设长方体的长、宽、高分别为MJ。，则

y]x2+y2+z2=9*

/.(x+y+z)-=x2+y~+z2+2xy+2xz+2yz=81+2xy+2xz+2yz=225,

^xy+2xz+2yz=\44t即长方体的全面积为144cm?.

故答案为：144cm2.

24.（2023・全国•高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今

有委米依垣内角，下周八尺，高王尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆

为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”

已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,则堆放的米约有,斛（结果精确到个位）.

11«15=3203小

【详解】依题意有体积为六.1一刀，故一共有3rL62。（斛）格

25.（2023・全国•高三专题练习）如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱

锥的体积与剩下的几何体体积的匕为.

【答案】1:47

【分析】求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.

【详解】设长方体长宽高分别为2a,2b,2c,

所以长方体体积M—2八2Ax2c-8皿c,

三棱锥体积V）=-x—xtzx/?xc=—abc,

~326

所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：

v,\abc_L

匕飞一（8」标一47・

故答案为：1:47.

【点睛】本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.

26.（2023・上海•高三统考学业考试）如图，在百三棱柱A8C-A8G中，。是等腰直角三箱形.若

【分析】根据直三棱柱的体积公式直接求解即可.

【详解】因为在直三棱柱4BC-AgG中，是等腰直角三角形，

AB=AC=4,AAf=