广东省东莞市虎门外语学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

虎门外语学校2024—2025学年度第一学期10月月考高三数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可．【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，∵，∴．故选：B．2.已知复数，其中i为虚数单位，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数，可得.故选：C.3.已知直线，和平面（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面关系的判定定理和性质分别判断即可．【详解】对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或异面，故B错误；对C，若，，则由线面垂直的性质可得，故C正确；对D，若，，则或，故D错误.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【详解】∵等价于，当或时，不成立；∴充分性不成立；又∵等价于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．5.如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：设，然后用，分别表示出，，从而由平面向量的数量积运算并结合的范围求得结果；法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，然后求出，，从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果．【详解】法一：设，因为O为AC的中点，所以，所以．又，所以，因为，所以，所以；法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，所以，，所以．因为，所以，即.故选：A．6.已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且，运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道，即，解得，故离心率为：.故选：C.7.已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解.【详解】如图所示，作于点，则，即，，则，由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角，设其为，则，即.故答案为：.8.若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.【详解】函数与的图象有且仅有一个交点，即只有一个零点，即只有一个零点.令，则，.当时，h'x>0，所以hx当时，h'x<0，所以hx在1,+所以，，.函数hx因为，所以.原不等式，即.令，显然时，该函数为增函数，且，所以，的解集为.故选：D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.）9.已知事件满足，，则下列说法正确的是（）A.若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立B.事件A与事件B可能对立事件C.若事件A与事件B相互独立，则D.若事件A与事件B互斥，则【答案】ACD【解析】【分析】选项A，利用相互独立事件的定义，即可求解；选项B，利用对立事件的概率和为1，即可求解；选项C，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；选项D，利用互斥事件的概率公式，即可求解.【详解】对于选项A，根据相互独立事件的定义易知选项A正确；对于选项B，对立事件的概率和为1，但．故选项B错误；对于选项C，根据相互独立事件的定义，，故选项C正确；对于选项D，事件A与事件B互斥，则，故选项D正确.故选：ACD．10.已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（）A.函数的一个对称点为B.当时，函数的最小值为C.若，则的值为D.要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位【答案】BC【解析】【分析】由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角函数的性质以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】因为函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为×＝，∴ω＝2．再根据，可得，故,令可得，故A错误；当时，，故当时，函数f（x）的最小值为，故B正确；若，则，故C正确；将的图象向右平移个单位，可得y＝2cos（2x﹣）的图象，故D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：根据三角函数的图象与性质确定对称中心，最值，利用三角恒等变换求值，根据平移得解析式是解题的关键，属于中档题.11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（）A.B.关于点对称C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.【详解】假设，则，则，与都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，故A错误；因为为偶函数，所以，即，令，则，所以关于点对称，故B正确；因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，即，因为，所以，所以，则，故，所以，所以，又，，所以，所以无法确定的值，所以C错误；又，，所以，由，得，则，所以，由知函数周期为4，则的周期也为4，则，所以D正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：对称性有关结论：若，则关于直线对称；若，则关于直线对称；若，则关于点中心对称；若，则关于点中心对称；周期性结论：若，则函数的周期为.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.13.设等差数列的前项和为，若，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出的值.【详解】等差数列an中，由，得，解得，于是数列an的公差，，所以.故答案为：14.如下图，对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，的“分裂”中最大的数是___________；的“分裂”中最大的数是___________；【答案】①.11②.【解析】【分析】分析“分裂”所得到的数，由此确定出最大的数；归纳“分裂”时最大的数的规律，由此确定出的“分裂”中最大的数.【详解】因为“分裂”可得到的数为：，所以的“分裂”中最大的数是；由“分裂图”可归纳出：(为奇数)的“分裂”的最大数是，所以的“分裂”中最大的数为：，故答案为：；.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析“分裂”的方式，注意的奇偶对分裂的影响，对“分裂”所得到数字个数的影响.四.解答题：（本题共5小题，共77分.）15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．【答案】（1）单调增区间和，单调减区间为（2）极大值16，极小值【解析】【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，令，解得，则，随的变化情况如下表：200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和，单调减区间为;【小问2详解】由小问1知，当时，函数取得极大值16;当时，函数取得极小值．16.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得.（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，，则得到周长.【小问1详解】中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，△ABC中，，∴，∴.【小问2详解】，的面积为，∴，解得.由余弦定理可得：化为.联立，解得∴，所以周长为6.17.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点．（1）求证：平面平面PAB；（2）线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证；（2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得.【小问1详解】因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC，所以平面ABC，平面ABC，所以，又，，所以,又，所以，所以，又，是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面PAB【小问2详解】存，当时，平面BMN，过点M作垂足为F，由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，又点M为AC的中点，，所以，，是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以，，是平面BMN内的两条相交直线，所以平面BMN，由已知得，又，即，又，所以，所以，故当时，平面BMN，18.已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.（1）直线与圆相切于点Q，求的值；（2）求曲线C的方程；（3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2），；（3）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解；（2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解；（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点.【小问1详解】由直线与圆的位置关系可知，，所以点；【小问2详解】由题意可知，设动圆半径为，，，，即，所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，所以曲线的方程为，；【小问3详解】当直线的斜率不存在时，，，直线，当，得，即，直线，此时直线过点1,0，当直线的斜率存在时，设直线，，，直线，当时，，，联立，得，，，，下面证明直线经过点，即证，，把，代入整理得，即，所以直线经过点1,0，综上可知，直线经过定点，定点坐标为1,0.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.题目：给定一个严格单调递增正项数列，任意给定，称满足的三元子集为数列的一个集，其个数记作，出现集的概率记为.（1）已知是数列A：1，2，3，4，5，6的一个集，求j；（2）已知，，，并且都是数列的集，求数列A的通项公式；（3）已知，，，并且都是数列的集，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据给定的集定义，将已知代入等式求解；（2）利用集的定义建立数列相邻项之间的关系，从而推导出通项公式；（3）先求出表达式，再通过分析数列的性质来证明其范围.【小问1详解】根据集的定义，已知是数列的一个集，，，，，，未知.由，即.设，则.等式两边同乘，得，解得，所以.【小问2详解】因为都是数列