备战2025年高考二轮复习数学专题突破练17　计数原理与概率(提升篇)

专题突破练(分值:102分)学生用书P185主干知识达标练1.(2023北京,5)(2x-1x)5A.-80 B.-40 C.40 D.80答案D解析(2x-1x)5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k-1xk=(-1)k,25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展开式中含2.(2024山东聊城模拟)三名男同学和两名女同学随机站成一列,则两名女同学相邻的概率是()A.16 B.25答案B解析五名同学排成一列的排法有A55=120(种),其中两名女同学相邻的排法有A22A44=48(3.(2024广东湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,则a0+∑i=29ai=A.-2 B.-19 C.15 D.17答案D解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.(1-2x)9的展开式的通项为Tk+1=C9k(-2x)k=(-1)kC9k2kxk(k=0,1,…,9),所以a1=(-1)1×C91×2=-18,所以a0+∑i=29ai=-14.(2024辽宁沈阳二模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”,则P(B|A)=()A.516 B.1132答案C解析P(A)=26-126=6364,事件AB=“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”,则P(AB)=C63+5.有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期日两天,每天从中任选2人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120 B.60 C.40 D.30答案B解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加社区服务,有5种安排方法,再在星期六、星期日,每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加社区服务,有4×3=12(种)安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60(种).(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六参加社区服务,有C52=10(种)安排方法.再从星期六参加社区服务的2名志愿者中安排1名及从剩下的3名志愿者中安排1名在星期日参加社区服务,有2×3=6(种)安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有10×6=60(种(方法三)从5名志愿者中,在星期六、星期日两天各安排2名参加社区服务,有C52×C52=100(种)安排方法,星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30(种),全相同的安排方法有C52=10(种),所以恰有16.(多选题)(2024河北衡水模拟)对于(x-12x)A.常数项是15B.各项系数的和是64C.第4项的二项式系数最大D.奇数项的二项式系数的和是32答案ACD解析x-12x6的展开式的通项为Tk+1=C6k·(x)6-k(-12x)k=C6令x=1,得1-126=164,所以各项系数的和是164,故第4项的二项式系数最大,故C正确;奇数项的二项式系数的和为12×26=32,故D故选ACD.7.(多选题)某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课,且该天上午总共4节课,下列结论正确的是()A.若数学课不安排在第一节,则有18种不同的安排方法B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有6种不同的安排方法C.若语文课和数学课不能相邻,则有12种不同的安排方法D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有3种不同的安排方法答案ABC解析对于A,先安排数学课,有3种排法,再安排其他3节课,有A33种排法,故总共有3A33=18(种)排法,故A正确;对于B,采用捆绑法,有A33=6(种)排法,故B正确;对于C,先排英语课和物理课,有A22种排法,再采用插空法排语文课和数学课,有A32种排法,故总共有A22A32=12(种)排法,故C正确;对于D,4节课共有A44种排法,语文课、数学课、英语课的排列顺序共有A8.(5分)(2024甘肃定西一模)已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为.(用百分数表示)

答案93%解析从该厂这批产品中任取一件,设A1=“取到的产品由甲车间生产”,A2=“取到的产品由乙车间生产”,B=“取到的产品为优品”.由题可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).

答案64解析(方法一直接法)若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有C41×C4若选3门课,则需体育类选1门、艺术类选2门,或体育类选2门、艺术类选1门,有C41×C42+C42×C4(方法二间接法)由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有C82+C83=84(种)不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的选课方案有C21C42+C2关键能力提升练10.(2024山东临沂一模)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是()A.2(C13C.2C146答案B解析因为甲组、乙组均为15个数,所以其中位数也均为从小到大排列的第8个数,即各组小于中位数的有7个数,大于中位数的也有7个数.因为甲组的中位数比乙组的中位数小2,所以甲组的中位数和乙组的中位数中间有1个数,所以小于甲组的中位数的数至少有7×2-1=13(个),至多有7×2=14(个),所以甲组的中位数为14或15.若甲组的中位数为14,则乙组的中位数为16,15一定在乙组,此时从1~13中选7个数放到甲组,剩下的6个数放到乙组,再从17~30中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,此时有C137若甲组的中位数为15,则乙组的中位数为17,16一定在甲组,此时从1~14中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,再从18~30中选6个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,此时有C147综上可得不同的分组方法数是C137C147+11.(多选题)(2024广东广州一模)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则()A.P(A1)=35B.P(B)=11C.P(B|A1)=950D.P(A2|B)=2答案ABD解析依题意可得P(A1)=35,P(A2)=若从甲箱中取出红球,则乙箱中有3个红球和2个白球,所以P(B|A1)=C3若从甲箱中取出白球,则乙箱中有2个红球和3个白球,所以P(B|A2)=C22C52=110,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=P(A2|B)=P(A2B)故选ABD.12.(2024山东济南一模)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师,既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为()A.38 B.1724答案C解析由题意得,试验的样本空间Ω的样本点总数为120,即n(Ω)=120.每个样本点都是等可能的,所以这是一个古典概型.设事件A=“被选中的员工是高级工程师”,则n(A)=120+75-85-14=96,所以所求概率为P=n(A)13.(多选题)(2024山东日照一模)从标有1,2,3,…,8的8张卡片中有放回地抽取两次,每次抽取一张,依次得到数字a,b,记点A(a,b),B(1,-1),O(0,0),则()A.∠AOB是锐角的概率为7B.∠ABO是直角的概率为1C.△AOB是锐角三角形的概率为7D.△AOB的面积不大于5的概率为43答案ACD解析由题可知点A位于第一象限.用图表表示点A的坐标,如图.ab123456781(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)8(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)(8,8)可以得到,试验的样本空间包含的样本点的个数为n(Ω)=C81C81=对于A,如图,设直线l过点O,且与OB垂直,因为kOB=-1,所以l:y=x,所以当a<b时,∠AOB是锐角.设A=“∠AOB是锐角”,则n(A)=28,所以P(A)=n(A)n(对于B,如图,设直线m过点B,且与OB垂直,所以l:y+1=x-1,即l:y=x-2,所以当b=a-2时,∠ABO是直角.设B=“∠ABO是直角”,则n(B)=6,所以P(B)=n(B)n(对于C,如图,若△AOB为锐角三角形,则点A位于直线l和m之间,由题易知点A位于直线y=x-1上,所以当b=a-1时,△AOB为锐角三角形.设C=“△AOB为锐角三角形”,则n(C)=7,所以P(C)=n(C)n(对于D,如图,|OB|=2,直线OB:y=-x,即x+y=0.设直线n:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直线OB与直线n的距离为d,则d=|c若△AOB的面积为5,则12|OB|d=5,即22·22c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以当b≤-a+10,即a+b≤10时,设D=“△AOB的面积不大于5”,则n(D)=43,所以P(D)=n(D)n(Ω)=14.(多选题)(2024山东济南一模)下列等式中正确的是()A.∑k=18CC.∑k=28k-答案BCD解析对于A,因为(1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8,令x=1,得28=1+C81+C82+…+C对于B,因为Cn2+Cn3=Cn+13,所以∑k=28Ck2=C22对于C,因为1(所以∑k=28k-1k!=∑k=281(k对于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,对于(1+x)16的展开式,其含有x8的项的系数为C168,对于(1+x)8(1+x)8的展开式,要得到含有x8的项的系数,须从第一个式子的展开式中取出含xk(k=0,1,…,8)的项,再从第二个式子的展开式中取出含x8-k的项,它们对应的系数相乘后求和,得∑k=08C8kC815.(5分)(2024广东佛山模拟)已知a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220答案1解析a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1001010-C101109+…+C108102-C10910+C1010=故a除以10所得的余数为1.16.(5分)(2024河北邢台模拟)将1,2,3,…,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入,每个格子中只能填一个数),记第1行中最大的数为a,第2行中最大的数为b,第3行中最大的数为c,则a<b<c的填法共有种.

答案60480解析由题可知,c=9,c可选的位置有3个,第3行其余2个位置任取2个数,共有C31A82种情况;第2行,取剩下6个数中最大的数为b,可选的位置有3个,其余2个位置任取2个数,共有C31A52种情况;第1行,剩下3个数任意排列,则有A33核心素养创新练17.(17分)(2024江苏苏州模拟)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱,在打开2号箱之前,主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则,主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.(1)计算主持人打开4号箱的概率;(2)当主持人打开4号箱后,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会,请问他是坚持选2号箱,还是改选1号