备战2025年高考二轮复习数学专题突破练10　等差数列、等比数列(提升篇)

专题突破练(分值:100分)学生用书P161主干知识达标练1.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若S9=18,则a5=()A.-2 B.0 C.2 D.4答案C解析根据题意2an+1=an+an+2,可得数列{an}为等差数列,所以S9=9(a1+a9)2=18,所以a1+a9=4,所以2a5=4,所以2.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=33,则tana1+a71A.3 B.-3 C.33 D.-答案A解析因为数列{an}是等差数列,所以a2+a4+a6=3a4=5π,故a4=5π3,所以a1+a7=2a4=10π3,因为{bn}是等比数列,所以b2b4b6=b43=33,故b4=3,所以b2b6=3.所以tana1+a71-b3.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,a1=16,公比q=12,则Tn取最大值时n的值为(A.3 B.6 C.4或5 D.6或7答案C解析an=a1qn-1=16×12n-1=24×21-n=(方法一)由题意知,an>0且数列{an}为递减数列,a5=1,前4项大于1,从第6项起小于1,所以n=4或5时,Tn取得最大值.(方法二)Tn=a1a2…an=24×23×…×25-n=24+3+…+(5-n)=2n(4+5-n)2=2-n2+9n2=2-(n-4.已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若lna1,lna3,lna6也是等差数列,则其公差为()A.lnd B.ln2d C.ln23 D.ln答案D解析因为lna1,lna3,lna6是等差数列,所以2lna3=lna1+lna6,即lna32=lna1a所以a32=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d又d≠0,所以a1=4d,所以公差为lna3-lna1=lna3a1=lna1+2da1=ln5.(2024山东潍坊一模)已知数列{an}满足a1=0,a2=1.若数列{an+an+1}是公比为2的等比数列,则a2024=()A.22C.21012-1 D.21011-1答案A解析依题意,a1+a2=1,an+an+1=2n-1,当n≥2时,an-1+an=2n-2,则an+1-an-1=2n-2,所以a2024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2024-a2022)=1+2+23+25+…+22021=1+2(1-46.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a5=-4,S5=-40,则()A.a10=6B.S10=-30C.当且仅当n=6时,Sn取最小值D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0答案AB解析设数列{an}的公差为d,由a5=-4,S5=-40,得a1+4d=-4,5a1+5×42d=-40.解得a1=-12,d=2,所以an=2n-14,Sn=(-12+2n-14)n2=n2-13n,则a10=6,S10=-30,A,B正确;令an=2n-14≤0,得n≤7,且a7=0,则当n=6或n=7时,Sn取最小值,C不正确;因为a5+a6+a7+a8+a9=5a7.(多选题)一百零八塔始建于西夏时期,是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,自上而下一共12层,第1层有1座塔,从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数,总计108座塔.已知包括第1层在内的其中十层的塔数可以构成等差数列{an},剩下的两层的塔数分别与上一层的塔数相等,第1层与第2层的塔数不同,则下列结论正确的有()A.第3层的塔数为3B.第4层与第5层的塔数相等C.第6层的塔数为9D.等差数列{an}的公差为2答案ABD解析设等差数列{an}的公差为d,若d=1,则这10层的塔数之和为10×1+10×92=则最多有55+10+10=75座塔,不符合题意;若d≥3,则这10层的塔数之和不少于10×1+10×92×3>108,不符合题意所以d=2,这10层的塔数之和为10×1+10×92×2=塔数依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,依题意剩下两层的塔数为3和5,所以这12层塔的塔数分别为1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19,因此A,B,D正确,C错误.故选ABD.8.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论正确的是()A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26答案B解析根据题意数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,则an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,则bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,则cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,D错误.故选B.9.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn,写出一个满足下列条件的{an}的公比q=.

①a1>0;②{an}是递增数列;③S3<13a1.答案2(答案不唯一)解析由等比数列的通项公式可得an=a1qn-1,则an-an-1=a1qn-2(q-1),因为a1>0,且{an}是递增数列,所以q>1.因为S3<13a1,所以a1+a2+a3<13a1,即a1q2+a1q-12a1<0,因为a1>0,所以q2+q-12<0,解得-4<q<3.综上,1<q<3.故答案可以为2(答案不唯一).10.(5分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,S11=11,b5b7=3,则log3a6b6答案-1解析因为{an}是等差数列,且Sn是数列{an}的前n项和,所以S11=11(a1+a11解得a6=1,因为{bn}是等比数列,所以b5b7=b62=3,则log3a6b62=11.(5分)对于数列{an},定义Hn=a1+2a2+…+2n-1ann为{an}的“优值”,现已知某数列{an}的“优值”Hn=2n,记数列1答案506解析因为Hn=a1+2a2+…+2n-1ann=2n,则a1+2a2当n=1时,a1=2;当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,②①②两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,即an=n+1,n≥2;a1=2也满足上式,所以an=n+1,n∈N*.可得1a所以S2024=12-13+12.(5分)(2023北京,14)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=;数列{an}所有项的和为.

答案48384解析设前3项的公差为d,后7项的公比为q,q>0,则q4=a9a5=19212=16,又a3=a1+2d=a5q2,即1+2d=3,所以a3=3,a7=a3q4=48,a1+a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+3×(1-关键能力提升练13.(多选题)(2024山东德州模拟)将n2个数排成n行n列的数阵,如图所示,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,记这n2个数的和为S,下面叙述正确的是()a11a12a13…a1na21a22a23…a2na31a32a33…a3n……an1an2an3…annA.m=2 B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1 D.S=n(n+2)(2n-1)答案ACD解析由题意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,则3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,又m>0,所以m=2,故A正确;对于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B错误;对于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正确;对于D,S=a111-2n1-2+a211-2n1-2+a311-2n1-2+…+an11-2n1-2=1-2n1-14.若数列{an}满足anan+1+an+1-an+1=0,a1=λ(λ≠0,且λ≠±1),记Tn=a1a2…an,则T2023=()A.-1 B.1C.1-λ答案C解析由anan+1+an+1-an+1=0,得an+1=an-1an+1,所以an+2=an+1-1an+1+1=an-1an+1-1an-1an+1+1=-1an,则an+4=-1an+2=an,所以数列{an}是以4为周期的数列.因为a1=λ,所以a215.(多选题)(2024山西吕梁三模)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10<S8<S9,则下列说法正确的是()A.当n=8时,Sn最大B.使得Sn<0成立的最小自然数为n=18C.|a8+a9|>|a10+a11|D.Snan中最小项为答案BD解析由题得S8<即-两式相加,得a由a9>0,a10<0,所以当n=9时,Sn最大,故A错误;由S10<S8,可得到a9+a10<0,所以由等差数列性质可得a8+a11<0,两式相加,得a10+a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C错误;由以上可得:a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…,S17=17(a1+a17)2=17a9>0,而S18=18(当n≤17时,Sn>0,当n≥18时,Sn<0,所以使得Sn<0成立的最小自然数为n=18,故B正确;当n≤9,或n≥18时,Snan>0,当9<n<18时,由0>a10>a11>…>a17,S10>S11>S12>…>S17>0,所以Snan中最小项为S10a10,故D正确16.(5分)设Tn为数列{an}的前n项和,若T2nTn(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列{cn}是首项为2,公差不为0的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则c2+c7+c答案78解析设{cn}公差为d.因为数列{cn}是等差数列,所以前n项和为Sn=n(前2n项和为S2n=2n所以S2nSn=2n(c因为数列{cn}是“和等比数列”,即S2nSn为非零常数,故c2+c7+c12=3c7=3(2+6d)=78.17.(5分)(2024江西南昌模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,均有S8≤Sn成立,则a2a1答案67,解析由题意知S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,则必有a1<0,公差d>0,若a8=0,此时S7=S8,S7,S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,此时a8=a1+7d=0,即a1=-7d,则a2若a8<0,a9≥0,此时S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,此时a8=a1+7d<0,a9=a1+8d≥0,即-8≤a1d则a2a1=a1+da1=1+da1=1+1a18.(5分)设数列{an},{bn}满足an=2n,bn=3n-8,则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{cn}.在ck和ck+1(k∈N*)中插入k个数构成一个新数列{en}:c1,1,c2,3,5,c3,7,9,11,c4,…,插入的所有数构成首项为1,公差为2的等差数列,则数列{en}的前20项和T20=.

答案1589解析∵an=2n,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a1=2,a2=4,a3=8,a4=16.∵bn=3n-8,∴b1=-5,b2=-2,b3=1,b4=4,显然a1不是数列{bn}中的项.∵a2=4=b4,∴a2是数列{bn}中的第4项,设ak=2k是数列{bn}中的第m项,则2k=3m-8(k,m∈N*,k≥2).∵ak+1=2k+1=2×2k=2(3m-8)=6m-16,∴ak+1不是数列{bn}中的项.∵ak+2=2k+2=4×2k=4(3m-8)=3(4m-8)-8,∴ak+2是数列{bn}中的项.∴c1=a2,c2=a4,c3=a6,…,cn=a2n,∴数列{cn}的通项公式是cn=22n=4n.∵(1+2+3+4+5)+5=20,∴{en}的前20项包括{cn}的前5项,以及{2n-1}的前15项,∴T20=41+42+43+44+45+1+3+…+29=4×(1-45核心素养创新练19.(多选题)(2024湖南长沙一模)小华玩