《计算机控制技术》课件第7章 离散控制系统设计

第7章离散控制系统设计7.1离散系统分析基础7.2离散系统性能分析7.3数字控制器直接设计7.4大林(Dahlin)算法7.5数字控制器D(z)算法实现7.1离散系统分析基础

在连续系统分析中，应用拉氏变换作为数学工具，将系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传递函数为基础的复域分析法，使得问题得以大大简化。那么在离散系统的分析中是否也有类似的途径呢？答案是肯定的，在离散系统中，采用Z变换法，也可以将差分方程转化为代数方程，同样可以建立以Z传递函数为基础的复域分析法。7.1.1Z变换及性质

1.Z变换定义

Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样函数的拉氏变换演变而来的。连续信号e(t)的拉氏变换式E(s)是复变量s的有理函数。在一定条件下，微机控制系统中的采样可假设为理想采样。将连续信号e(t)通过采样周期为T的理想采样后可得到采样信号e*(t)，它是一组理想加权脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，其表达式为

(7―1)

对式(7―1)进行拉氏变换，得(7―2)

式中含有无穷多项，且每一项中含有e-kTs,它是s的超越函数，而不是有理函数，为了运算方便，引入新的变量z，令z=eTs，则式(7―2)可改写为(7―3)

在式(7―3)中E(z)称为e*(t)的Z变换。记作：

Z［e*(t)］=E(z)

因为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也可写为：

Z［e(t)］=E(z)

将式(7―3)展开，得

E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+…+e(m)z-m+…(7―4)

由此看出，采样函数的Z变换是变量z的幂级数(或称罗朗级数)。其一般项e(kT)·z-k的物理意义是e(kT)表征采样脉冲的幅值；z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。因为它既包含了量值信息e(kT)，又包含了时间信息z-k。

2.Z变换的计算方法求任意函数e(t)的Z变换，通常分三步进行：①e(t)被理想采样器采样，给出离散采样函数e*(t)；②求e

*(t)的拉氏变换，给出③在E

*(s)中用z替换eTs,给出1)级数求和法级数求和法是根据Z变换的定义式求函数e(t)的Z变换。严格说来，时间函数或级数可以是任何函数，但是只有当E(z)表达式的无穷级数收敛时，它才可表示为封闭形式。下面通过典型信号的Z变换式来说明如何应用级数求和法计算Z变换。【例7―1】求单位阶跃函数的Z变换解设e(t)=1，求Z变换E(z)。由定义可得：(7―5)

这是一个公比为z-1的等比级数，当|z-1|<1亦即|z|＞1时，级数收敛，则式(7―5)可写成闭合形式：(7―6)【例7―2】求单位理想脉冲序列的Z变换。解设求Z变换E(z)，则(7―7)其中：|z|>1。

比较式(7―6)和式(7―7)可以看出，不同的e(t)，可以得到相同的E(z)。这是由于阶跃信号采样后e*(t)与理想脉冲串是一样的。所以Z变换只是对采样点上的信息有效只要ｅ*(t)相同，E(z)就相同，但采样前的e(t)可以是不同的。【例7―3】单位斜坡信号。解设e(t)=t，求Z变换E(z)，则(7―8)【例7―4】指数函数。解设e(t)=e-at，求Z变换E(z),a为实常数，则(7―9)

这是一个公比为e-aT·z-1的等比级数，当|e-aT·z-1|<1时，级数收敛，则式(7―9)可写成闭合形式:(7―10)2)部分分式展开法用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。它是通过s域和时间域之间的关系，来建立s域和z域之间的关系的。其解法的具体步骤是：己知E(s)，将之分解成部分分式之和，查变换表求时间函数e(t)＝L-1［E(s)］，利用式(7―3)或查Z变换表求出E(z)。设连续时间函数ｅ(t)的拉氏变换E(s)为有理分式函数(7―11)

式(7―11)中，M(s)和N(s)分别为复变量ｓ的有理多项式。当E(s)没有重根时，即E(s)没有重极点，可将E(s)展开成部分分式和的形式，即(7―12)

式(7―12)中,pi是拉氏变换式E(s)的第i个极点，即N(s)的零点；Ai是第i项系数，可用待定系数法求得，即当N(s)已分解为因式乘积时(7―13)

式(7―14)中N′(s)是N(s)对s的导数。由拉氏变换知道，与Ai/(s-pi)相对应的时间函数为Aiepit。根据式(7―10)便可求得与Ai/(s-pi)项对应的Z变换为

或者当N(s)未分解为因式乘积时(7―14)

因此，函数ｅ(t)的Z变换便可由E(s)求得，并可写作(7―15)【例7―5】已知,求它的Z变换E(z)。解先对E(s)进行部分分式分解:查表得3)留数计算法若己知连续时间函数e(t)的拉氏变换式E(s)及其全部极点pi(i＝1，2，…，n)，则e(t)的Z变换还可以通过下列留数计算求得，即(7―16)

式中,n为全部极点数,ri为极点ｓ＝pi的重数,T为采样周期。因此，在已知连续函数e(t)的拉氏变换式E(s)全部极点pｉ的条件下，可采用式(7―16)求e(t)的Z变换式。【例7―6】已知控制系统的传递函数为

,求其Z变换式。解由传递函数求出的极点为：s1=-1,r1=1；

s2=-4,r2=1。Z变换式为【例7―7】求连续时间函数对应的Z变换式。解e(t)的拉氏变换为则s1,2=-a,r1,2=2。用式(7―16)对它进行变换后，得

3.Z变换基本定理与拉氏变换类似，在Z变换中有一些基本定理，它们可以使Z变换变得简单和方便。

1)线性定理若已知e1(t)和e2(t)有Z变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1和a2为常数，则

Z［a1e1(t)±a2e2(t)］=a1E1(z)±a2E2(z)(7―17)2)右移位定理若Z［e(t)］=E(z),则

Z［e(t-nT)］=z-nE(z)(7―18)

其中，n为正整数。说明：该定理表明，“t”域中的采样信号e*(t)时间上延迟k步，则对应于在“z”域中ｅ*(t)的Z变换E(z)乘以k步时迟因子z-k。3)左移位定理若Z［e(t)］=E(z),则(7―19)其中,n为正整数。【例7―8】求被延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。解应用右移(延迟)定理，有4)复位移定理若函数e(t)有Z变换E(z)，则(7―20)式中,a是常数。5)初值定理若Z［e(t)］=E(z),且极限存在，则当t=0时的采样信号e*(t)的初值e(0)取决于的极限值，即(7―21)6)终值定理若Z［e(t)］=E(z),且(1-z-1)E(z)在单位圆上和单位圆外无极点(该条件确保e

*(t)存在有界终值)，则有(7―22)

根据初值定理和终值定理，可以直接由Z变换式E(z)获得相应的采样时间序列e(kT)的初值和终值。【例7―9】已知Z变换为

,其中|a|<1。求序列e(kT)的初值和终值。解(1)由初值定理，得e(kT)的初值为(2)因极点|a|<1，在单位圆内，故可以利用终值定理求终值，即

7.1.2Z反变换

1.长除法通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比，即(7―23)

对式(7―23)用分母除分子，并将商按z-1的升幂排列，有(7―24)

式(7―24)恰为Z变换的定义式，其系数ck(k=0，1，2，…)就是e(t)在采样时刻t=kT时的值e(kT)。此法在实际中应用较为方便，通常计算有限n项就够了，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难。【例7―10】已知试求其Z反变换。解

应用上面的长除法，可得

E(z)=10z-1+30z-2+70z-3+…

所以

e*(t)=0+10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(t-3T)+…【例7―11】已知，试求其Z反变换。解

应用长除法可得

E(z)=(1-e-aT)z-1+(1-e-2aT)z-2+(1-e-3aT)z-3+…

所以e*(t)=(1-e-aT)δ(t-T)+(1-e-2aT)δ(t-2T)+(1-e-3aT)δ(t-T)+…2.部分分式展开法

Z变换函数E(z)可用部分分式展开的方法将其变成分式和的形式，然后通过Z变换表(见附录)找出展开式中每一项所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样信号e*(t)。

在进行部分分式展开时，Z变换和拉氏变换稍有不同。参照Z变换表可以看到，所有Z变换函数E(z)在其分子上都有因子z。因此，我们可以先把E(z)除以z，并将E(z)/z展开成部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以z，即得E(z)的部分分式展开式。下面按E(z)的特征方程有、无重根两种情况举例说明。1)特征方程无重根【例7―12】给定Z变换式中a是常数，用部分分式法求E(z)的Z反变换e*(t)。解E(z)的特征方程式为(z-1)(z-e-aT)=0,解之得

z1=1,z2=e-αT将E(z)/z展成部分分式可得所以查Z变换表得所以采样函数为2)特征方程有重根

【例7―13】已知Z变换解E(z)的特征方程式为，求其Z反变换。

解得z1,2=1为两重根。设可得为求A2,先将方程两边同乘(z-1)2，得再将上式两端对z求导,得所以故查表得所以采样函数为3.留数计算法对Z变换定义式两端同乘zm-1(m为正整数),得(7―25)

式(7―25)两边取沿封闭曲线Γ逆时针的积分(Γ为包围E(z)zm-1的所有极点的封闭曲线),得

根据复变函数柯西定理知互换积分与和式次序，有(7―26)

这样，式(7―26)的右边只存在m=k的一项，其余项均为零，于是式(7―26)变成(7―27)

所以

式(7―27)就是Z的反变换公式，由于Γ内包围了E(z)zm-1所有极点，根据复变函数的留数理论，式(7―27)右端的积分又等于Γ内所包含各极点留数之和，即

在Γ内极点的留数］或写作

式中,n是E(z)zk-1的极点数；Res[E(z)zk-1]z=zi表示E(z)zk-1在E(z)极点zi上的留数，当zi为非重极点时，当zi为ri重极点时，【例7―14】已知Z变换试用留数计算其Z反变换。解E(z)的两个极点是z1=1,z2=e-aT，则

采样函数为【例7―15】已知Z变换

试用留数计算其Z反变换。

解E(z)的两个极点z1,2=0.5,则采样函数为说明：用留数计算法求出的Z反变换式是闭合形式。7.1.3用Z变换解差分方程用Z变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分方程类似。离散系统中用Z变换求解差分方程，是将求解运算变换为以z为变量的代数方程进行代数运算。这种变换主要用Z变换的超前定理和滞后定理。这是一种在给定初始条件下采用Z变换的方法，先求出差分方程的以z为变量的代数方程，再通过逆Z变换，求出它的时间响应的。

差分方程解的形式与微分方程解相似。非齐次差分方程全解是由通解加特解组成的。通解表示方程描述的离散系统在输入为零情况下(即无外界作用)由系统非零初始值所引起的自由运动，它反映系统本身所固有的动态特性；特解表示方程描述的离散系统在外界输入作用下所产生的强迫运动，它既与系统本身的动态特性有关，又与外界输入作用有关，但与系统初始值无关。

用Z变换求解差分方程的一般步骤：

(1)利用初始条件，运用Z变换法，将差分方程变为以z为变量的代数方程:(2)根据x(kT)=Z-1{X(z)}，运用逆Z变换法，求解它的时间响应x(kT)。【例7―16】已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始条件为x(0)=0,x(1)=1，试求其时间响应式。解根据左移定理，其差分方程的Z变换式为

z2X(z)-z2x(0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0

整理后得查表得所以有

即时间响应为

x(n)=(-1)n-(-2)nn=0,1,2,…【例7―17】用Z变换方法求差分方程

y(k+2)-1.2y(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)已知y(0)=1,y(1)=2.4,x(0)=1,u(k)=1(k)为单位序列。解对差分方程等号两边进行Z变换，得

z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-1.2zY(z)+1.2zy(0)+0.32Y(z)=1.2zU(z)-1.2zu(0)

同类项合并，得

(z2-1.2z+0.32)Y(z)=1.2zU(z)+(z2-1.2z)y(0)+zy(1)-1.2zu(0)

将初始值代入整理,得

又因

,得

上式有三个单极点：0.8，0.4，1。用留数计算可得7.1.4脉冲传递函数及方框图分析在分析线性常系数离散系统时，z传递函数是个很重要的概念。如同在分析设计线性常系数连续系统时用传递函数来描述系统特性一样，在分析设计线性常系数离散系统时，将用z传递函数来描述系统特性。1.传递函数定义

z传递函数又称脉冲传递函数。如果系统的初始条件为零，输入信号为r(t)，经采样后r*(t)的Z变换为R(z)，连续部分输出为c(t)，采样后c*(t)的Z变换为C(z)，如图7―1所示，开环传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，用G(z)表示图7―1开环采样系统

若已知系统的z传递函数G(z)及输入信号的Z变换R(z)，则输出的采样信号就可求得，即

c*(t)=Z-1［C(z)］=Z-1［G(z)R(z)］因此，求解c*(t)关键就在于怎样求出系统的Z变换函数G(z)。但是对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号c*(t)。在这种情况下，可在输出端虚设一个采样开关，如图7―1中虚线所示。它与输入端采样开关一样以周期T同步工作。若系统的实际输出c(t)比较平滑，在采样点处无跳变，则可用

c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。

2.开环系统(环节)的z传递函数设开环系统结构如图7―1所示，推导z传递函数的思路是：先求出连续部分在理想脉冲序列作用下的连续输出，即从r*(t)求出c(t)，然后再对c(t)采样求出c*(t)及其Z变换，最后得出G(z)=C(z)/R(z)。因为对线性定常系统来说，在δ(t-kT)(k=0,1,2,…)单位脉冲函数作用下的输出是脉冲响应函数g(kT)(k=0,1,2,…)。根据系统的线性性质，在强度为r(kT)(k=0,1,2,…)的脉冲r(kT)δ(t-kT)作用下，其输出应是r(kT)g(t-kT)。

依据叠加原理，系统在输入脉冲序列r*(t)作用下的连续输出应是取任意时刻t=kT,式(7―28)成为

c(kT)=r(0)g(kT)+r(T)g(kT-T)+r(2T)g(kT-2T)+…(7―29)(7―28)

上式两端同乘z-k，并对k取和式,得(7―30)上式右端各项可分别写为第一项：第二项：因为当t<0时，g(t)=0,所以g(-T)=0,第二项为同理,第三项为下面各项依次类推，将上面各项代入式(7―30)，整理后得

上式左端就是c(z)，右端就是G(z)R(z),即C(z)=G(z)R(z)，故有(7―32)这就是开环系统的z传递函数，由式(7―32)知(7―33)

所以，z传递函数G(z)就是连续系统脉冲响应函数g(t)经采样后g*(t)的Z变换。因此，离散系统脉冲传递函数G(z)的求取步骤为：

(1)先求出系统连续部分的传递函数G(s)。

(2)对G(s)进行拉氏反变换，求出连续系统脉冲响应函数g(t)=L-1［G(s)］。

(3)对g(t)采样，求出离散系统脉冲响应函数(4)求离散系统脉冲响应函数g*(t)的Z变换，即求出z传递函数G(z)为将G(s)进行部分分式展开，通过查表可得G(z)。【例7―18】设连续对象的传递函数为，试求其z传递函数。解系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为其z传递函数为3.串联环节的z传递函数串联环节的z传递函数求法与连续传递函数求法类似,不过离散环节串联时传递函数的求法更复杂些，此时,有三种情况需要考虑，如图7―2所示。图7―2三种环节串联形式

图7―2(a)为两个已经离散的环节串联，其总的脉冲传递函数G(z)等于两个环节的脉冲传递函数的乘积，即G(z)=G1(z)G2(z)；图7―2(b)为两个连续环节串联，其总的传递函数G(z)就等于两个环节串联后再取Z变换，即G(z)=Z［G1(s)G2(s)］；图7―2(c)为两个连续环节串联，但中间有采样开关，这时总的传递函数G(z)就等于两个环节取Z变换后再相乘，即G(z)=Z［G1(s)］Z［G2(s)］=G1(z)G2(z)。

由此可以得出结论：

(1)当开环系统由两个线性环节串联而环节之间无采样开关隔开时,开环系统的z传递函数等于两个环节传递函数乘积的相应Z变换。显然这个结论也可以推广到n个环节串联而无采样开关隔开的情况，这里整个开环系统的z传递函数等于每个环节的z传递函数乘积，即

G(z)=Z［G1(s)G2(s)…Gn(s)］=G1G2…Gn(z)G1(z)G2(z)…Gn(z)≠G1G2…Gn(z)(2)当开环系统由两个线性环节串联而环节之间有采样开关时，开环系统的z传递函数等于两个环节的z传递函数之乘积,这一点也可以推广到n个线性单元串联，每个中间都有采样开关隔开，其ｚ传递函数为4.并联环节传递函数图7―3(a)为离散环节并联，总的脉冲传递函数为G(z)=G1(z)+G2(z)；图7―3(b)为连续环节并联，但输入输出带采样开关，其总的脉冲传递函数为G(z)=Z［G1(s)+G2(s)］=G1(z)+G2(z)；图7―3(c)为分别带采样开关的连续环节并联，其总的脉冲传函为

G(z)=Z［G1(s)］+Z［G2(s)］=G1(z)+G2(z)。图7―3三种环节并联形式【例7―19】已知

,分别将它连成图7-]2(b)、(c)形式,试分别求它们各自的传递函数G(z)。解①按图7―2(b)的结构②按图7―2(c)的结构

说明：由例7―19可知，系统结构不同，G(z)值就不一样。这一结论对环节作并联时也适用。5.闭环脉冲传递函数在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可以用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式，如图7―4所示。

图7―4两种环节并联形式

图7―4(a)为采样开关在比较器的后面(误差通道上)，采样开关都同步工作。前向通道上的连续部分传递函数为G(s),连续反馈通道传递函数为H(s)。R(s)和C(s)是系统输入输出拉氏变换，而R*(s)和C*(s)是输入输出采样脉冲序列的拉氏变换，其对应的Z变换为R(z)和C(z)，系统闭环z传递函数就为

如图7―4(a),列写出信号的基本关系式为

E(s)=R(s)-B(s)，离散化后为E*(s)=R*(s)-B

*(s)，取Z变换后为E(z)=R(z)-B(z)。同理可得到反馈信号、输出信号的关系式为

B(s)=［G(s)H(s)］E*(s)(取Z变换后为B(z)=GH(z)E(z))C(s)=G(s)E*(s)(相应的Z变换为C(z)=G(z)E(z))联立误差、反馈、输出的信号关系式，有

即可得到闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数分别为若为单位反馈，即H(s)=1,则有闭环和误差传递函数为

图7―4(b)是误差通道和反馈通道都有采样开关，同样可推导出图7―4(b)的传递函数，基本关系式为：

E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C*(s)C(s)=G(s)E*(s)

对上式采样，得

E*(s)=R*(s)-B*(s)B*(s)=H*(s)C*(s)C*(s)=G*(s)E*(s)

其Z变换为

E(z)=R(z)-B(z)B(z)=H(z)C(z)C(z)=G(z)E(z)

整理式(7―34)，可得到闭环传递函数和误差传递函数为(7―34)

通过对以上典型闭环采样系统脉冲函数的推导，可找到一些规律：

(1)将输入R(s)也作为系统的一个环节看待。

(2)把未被采样开关(不包括虚拟采样开关)分割的所有环节的s域传递函数相乘作为一个独立环节，则闭环系统的输出Z变换为C(z)=前向通道所有独立环节Z变换的乘积1+环路所有独立环节Z变换的乘积【例7―20】一个计算机控制系统的结构如图7―5所示，试求该系统的闭环z传递函数。图7―5计算机控制系统结构图

解由图可知几种信号的关系如下：C(s)=Gh(s)Go(s)U*(s)=G(s)D*(S)E*(s)(其Z变换式为C(z)=G(z)D(z)E(z))E(s)=R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)(其Z变换式为E(z)=R(z)-HG(z)D(z)E(z))所以

C(z)=D(z)G(z)R(z)-D(z)HG(z)C(z)故闭环传递函数为7.2离散系统性能分析

与连续系统一样，离散系统同样也有稳定性问题。连续系统中，对线性定常系统，通常用s域(s平面)研究系统稳定性等问题，而离散系统中，用z域研究系统稳定性。因为Z变换是从s变换推广而来，所以首先应从s域和z域的关系开始研究。

7.2.1s域到z域的变换根据Z变换的定义有

z=esT

其中,T为采样周期，值为T=2π/ωs；s是复数，值为s=σ+jω;ωs为采样角频率。所以

z=esT=e(σ+jω)T=eσTejωT=eσT(cosωT+jsinωT)(7―35)|z|=eσT∠z=Ωt(7―36)

式(7―35)建立了s平面和z平面的联系，即复s平面与复z平面之间的映射关系。

当σ=0，在s平面相当于虚轴；在z平面，由式(7―36)可知，|z|=eσT=1是以原点为圆心的单位圆。也就是说，在s平面当ω从-∞变到+∞时，映射到z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆，只是z平面上相应的点已经沿着单位圆转过无穷圈。因为z是采样角频率ωs的周期函数，当s平面上σ不变，角频率ω由0变到∞时，z的模不变，只是相角作周期性变化。

当σ<0时，在s平面为位于左半平面的点，与之对应的点位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，即

|z|=e-σT,|z|＜1。当σ＞0时，在s平面为位于右半平面的点，与之对应的点位于z平面上以原点为圆心的单位圆外，即|z|=eσT,|z|＞1。当σ=ω=0时，该点为s平面的原点，映射到z平面，相应的点为z=1。

要注意，上述结论是根据式(7―35)从s平面到z平面的映射得到。反之，当考虑从z平面到s平面的映射时，就不是惟一的，是多值变换，即在z平面的每个已知点，在s平面有无穷个数值与其对应。因为两个时间函数只要在采样点(即t=kT,k=0,1,2,…)时是相等的，这两个函数就有相同的Z变换。这点由式(7―35)可以清楚地看出。7.2.2离散系统稳定性及稳定条件由连续系统控制理论可知，线性时不变连续系统稳定的充要条件是，系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递函数W(s)的所有极点，都分布在左半s平面，或者说，系统所有特征根具有负实部，σi＜0。s的左半平面是系统特征根(或极点)分布的稳定区域，s平面的虚轴是稳定边界，如图7―6(a)所示。图7―6连续系统与离散系统及极点分布稳定区域

若系统有一个或一个以上的特征根分布于s平面的右半平面，则系统就不稳定；若有特征根位于虚轴上，则系统为临界稳定，工程上也称为不稳定。按照s平面与z平面的映射关系，s平面左半面在Z变换下映射到z平面上，是z平面的单位圆内部；s平面的虚轴在Z变换下映射到z平面上，是z平面单位圆周；s平面的右半面在Z变换下映射到z平面上，是z平面的单位圆外部。由此可以推断，线性时不变离散系统的稳定条件是：系统特征方程的所有根，亦即系统z传递函数的所有极点都分布于单位圆内部，或者说系统所有特征根的模|pi|＜1。

z平面的单位圆内部是离散系统特征根(或极点)分布的稳定域，单位圆周为稳定边界，如图7―6(b)所示。若系统有一个或一个以上的特征根分布于单位圆外，则系统就不稳定；若有特征根位于单位圆上，则系统为临界稳定，工程上也称为不稳定。离散系统的稳定性还可以用脉冲响应序列说明。设离散系统z传递函数为(7―37)

若系统输入R(z)=Z［δ(t)］=1，则系统输入的Z变换为(7―38)

设闭环z传递函数Φ(z)有n个相异极点zi(i=1,2,…,n),对式(7―38)进行部分分式展开后得

求式(7―40)的Z反变换，又查表得(7―39)(7―40)其中，Ai(i=1,2,…,n)是常数，由式(7―39)得(7―41)

若系统对δ(t)函数的输出响应c(k)随k的增加衰减为零，即(7―42)

则离散系统是稳定的。由此得离散系统稳定的充要条件的另一种表示形式是输出响应的每一分量都要衰减为零，即(7―43)

为此每一个根的模|zi|＜1,如果有一个根的模|zi|＞1，则系统就不稳定，有一个根的模|zi|=1，则系统处于临界稳定状态。7.2.3参数对稳定性影响

1.开环增益对系统稳定性影响【例7―21】当K变化时，分析对象的稳定性。解由题意可得系统的闭环特征方程为

z2+(0.368K-1.368)z+0.368+0.264=0

对其作双线性变换得特征方程为

0.632Kw2+(1.264-0.528K)w+2.736-0.104K=0

若使该系统稳定，必须保证上面方程各系数为正，即0.632K>01.264-0.528K>02.736-0.104K>0

由上式可知，当0<K<2.4，该系统稳定。上述结果表明，K增大时系统可能就变得不稳定，即增大K对系统稳定不利。2.采样周期对系统稳定性影响

【例7―22】在例7―22中，若采样周期为Ts，用零阶保持器联系对象与控制器，讨论系统的稳定性。解系统的广义脉冲传递函数为其特征方程为整理后得

当Ts=2时,特征方程为

z2+(1.135K-1.135)z+(0.595K+0.135)=0

对上式作双线性变换，得

1.73w2+(1.73-1.19K)w+(2.27-0.54K)=0

要使系统稳定，上式各项系数必须大于0，即0<K<1.45。当Ts=0.5时，可以算出，要使系统稳定K应满足0<K<4.36。

由以上分析可以看出：Ts从1s增大到2s，临界开环比例系数从原来的2.4减小到1.45，而当减小到0.5s时，临界开环比例系数增大到4.36。这说明增大采样周期对系统稳定不利，而减小采样周期对稳定有利，当Ts→0，采样系统就成为连续系统了。这就说明，稳定的连续系统经采样构成数字系统后不一定稳定。7.2.4采样系统的动态特性分析通过前面的学习，我们知道了采样系统稳定的充分必要条件是其闭环特征方程的全部根，也就是闭环系统的全部极点都位于z平面的单位圆内。但工程上不仅要求系统是稳定的，而且还希望它具有良好的动态品质。与连续系统类似，采样系统的闭环极点和零点在z平面的分布对系统的瞬态响应起着决定的作用，因此要分析采样系统的动态特性必须研究它们与脉冲响应的关系。1.实轴上的单实极点所对应的脉冲响应如果系统的闭环极点有一个是位于实轴上a处的单极点，那么在输出C(z)中必然含有形如的项。其中，A是将C(z)作部分分式展开的系数，在单位脉冲作用下对应于这一项的输出序列为

假设在k<0时，c(k)=0，当a位于z平面不同位置时所对应的脉冲响应序列如图7―7(a)、(b)所示。图7―7单实极点位置及其对应的响应序列

由7―7(a)、(b)图可知：当a<-1时，c(k)是交替变号的发散脉冲序列；a=-1时，c(k)是交替变号的等幅脉冲序列；-1<a<0时，c(k)是交替变号的衰减脉冲序列；0<a<1时，c(k)是单调衰减正脉冲序列，且a越接近0，衰减越快；a=1时，c(k)是等幅正脉冲序列；a>1时，c(k)是发散正脉冲序列。2.共轭复数极点对应的脉冲响应假设系统具有一对共轭复数极点p1,p2=ae±θ，于是有(z-p1)(z-p2)=z2-2(acosθ)z+a2

查Z反变换表可知，这一对复数极点所对应的c(k)取aksin(kθ+φ)之形。当|a|＞1时，一对共轭复数极点在单位圆外，c(k)为发散振荡序列。当|a|＜1时，一对共轭复数极点在单位圆内，c(k)为衰减振荡序列，且a的模愈小，衰减愈快;当|a|=1时，一对共轭复数极点在单位圆上，为等幅振荡序列。如图7―8(a)、(b)所示。图7―8共轭复数极点位置及其对应的响应序列3.闭环附加零点和极点对动态响应的影响闭环零点以及主导极点(即位于单位圆内而最接近圆周的一对共轭复数极点)以外的其他极点对瞬态响应的影响也有与连续系统类似的结论：闭环零点使动态响应加快，但会使超调增加；附加极点使动态响应变慢但使超调减小。当然也可以仿照连续系统中的研究方法，找出闭环零点或极点与超调量和过渡过程时间的一些近似关系作为工程应用的参考。对于采样系统的动态特性分析也可仿照连续系统中的根轨迹法，在z平面中画出闭环特征方程根的轨迹。其绘制方法与连续系统中的绘制方法完全相同，这里不再重复。7.3数字控制器直接设计法

计算机控制系统设计就是根据系统的稳态和动态性能指标，在已知被控制对象的前提下，确定控制器的数学模型。控制器设计分为模拟化设计和直接数字化设计两种方法。模拟化设计方法的主要缺点是采样周期的值不能取得过大，否则，会使系统性能变差。而直接数字化设计方法就克服了这个缺点。本章主要介绍控制器的直接数字化设计方法。7.3.1直接数字控制器的脉冲传递函数图7―9是数字控制系统的原理框图。图7―9计算机控制系统原理图D(z)——数字控制器；Gh(s)——保持器(本书用零阶保持器)；Go(s)——控制对象传递函数；Φ(z)——系统闭环脉冲传递函数；R(z)——输入信号的Z变换；C(z)——输出信号的Z变换。由图7―9可求得系统的闭环传递函数为(7―44)

也可求得控制器的传递函数为(7―45)这就是我们分析和设计数字控制器的基础和基本模型。7.3.2最少拍有波纹控制器设计最少拍控制系统设计，也称为时间最佳系统设计，是计算机控制系统设计最有效的方法。所谓最少拍，是指在典型输入作用下，系统在有限个采样周期(有限拍)内，就能达到稳态。但只保证在采样点处无误差。系统的性能指标是调整时间最短。下面讨论最少拍控制系统的设计及其局限性。1.最少拍控制系统的设计最少拍控制系统的闭环传递函数，已经在上节中得到，即式(7―44)，这里将其作变形如下：(7―46)同时由图7―9可求出系统的误差传递函数为(7―47)(7―48)

由式(7―47)可导出数字控制器的传递函数为(7―49)

由此可看出，数字控制器及被控对象及误差z传递函数有关。由式(7―44)得系统误差的Z变换为

E(z)=Φe(z)R(z)(7―50)

根据Z变换的定义(7―51)

最少拍控制器设计要求系统在k≥N(N为正整数)时，e(k)=0(或e(k)=常数)，这样E(z)只有有限项。设计时，要求N尽可能小，即最少拍。下面介绍误差传递函数与系统输入类型的关系。典型的输入信号一般为：单位阶跃输入：单位斜坡输入：单位加速度输入：

由上面三种输入的Z变换可以看出，它们都可用下式表示：(7―52)

其中：A(z)为不含(1-z-1)的z-1多项式。所以误差可表示为(7―53)

为使E(z)有尽可能少的有限项，要选择适当的Φe(z)。利用Z变换的终值定理，稳态误差为

当要求稳态误差为零时，由于A(z)中无(1-z-1)的因子，所以Φe(z)必须含有(1-z-1)m，则Φe(z)有下列形式:Φe(z)=(1-z-1)mF(z)(7―54)

式中,F(z)是z-1的有限多项式，即

F(z)=1+f1z-1+f2z-2+…+fnz-n(7―55)

由式(7―48)求出闭环z传递函数，即

所以，在z=0处Φ(z)仅有极点。Φ(z)具有z-1的最高幂次,为p=m+n，这表明系统的闭环响应经过p个采样周期(p拍)，在采样点的值达到稳态。当F(z)=1，即n取最小值n=0时，系统采样点的输出达到稳态，即有限拍(m拍)内达到稳态。(7―56)

对于不同的输入，可以选择不同的误差z传递函数Φe(z)。选定Φe(z)后，最少拍控制器可以根据式(7―49)计算确定。故在单位阶跃输入时，Φe(z)=1-z-1。由式(7―50)可得误差和输出为：(7―57)

由式(7―51)得时域误差为：

e(0)=1，e(1)=e(2)=…=0

系统的稳态误差及输出序列如图7―10所示。由图7―10可知，单位阶跃输入时系统的调整时间为T，只需一拍就达到了稳态。

当系统输入为单位斜坡时，

Φe(z)=(1-z-1)2(7―58)

由式(7―50)可得误差和输出为：图7―10单位阶跃输入时误差与输出序列

由式(7―50)得时域误差为：

e(0)=0，e(T)=T,e(2)=e(3)=…=0

系统的误差及输出序列如图7―11所示。此时，单位阶跃输入时系统的调整时间为2T，只需两拍就达到了稳态。(7―59)图7―11单位斜坡输入时误差与输出序列

当系统输入为单位加速度时，

Φe(z)=(1-z-1)3(7―60)

由式(7―50)可得误差和输出为：

由式(7―61)得时域误差为：

系统的误差及输出序列如图7―12所示。可见，单位阶跃输入时系统的调整时间为3T，只需三拍就达到了稳态。对于三种典型输入，最少拍控制系统的调整时间、误差传递函数、闭环传递函数汇总于表7―1。图7―12单位加速度输入时误差与输出序列表7―1最少拍控制系统各参量表2.最少拍控制器的可实现性和稳定性要求最少拍系统设计的可实现性是指将来时刻的误差值，它是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。也就是说，控制器当前的输出信号只能与当前时刻的输入信号、以前的输入信号和输出信号有关，而与将来的输入信号无关，即要求数字控制器的z传递函数D(z)，不能有z的正幂项zi(即不能含有超前环节)。

D(z)的一般表达式为(7―62)

式(7―62)中要求n≥m,若n＜m，则分子会出现z的正幂项。另外，要求a0≠0，否则相当于分母降了一阶，也会使分子出现z的正幂项。如果被控对象含有纯滞后z-p，则按式(7―49)求取的D(z)将含有zp的因子，故不能实现，因此，为了实现控制，Φ(z)必须含有zp，即要把纯滞后保留下来，以抵消对象传递函数G(z)中的z-p因子，以避免D(z)中含有超前环节。由以上分析可知，最少拍控制中要求闭环z传递函数Φ(z)要在被控对象纯滞后的基础上加以确定，使Φ(z)分子与分母的阶次差等于G(z)分子分母的阶次差。这样设计的最少拍控制系统才是物理可实现的。3.最少拍控制器的稳定性要求在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制量收敛，方能使闭环系统在物理上真正稳定。控制变量u对于给定的输入量r的z传递函数可由式(7―44)导出，即(7―63)

如果被控对象G(z)的所有零极点都在单位圆内，那么系统是稳定的;如果G(z)有单位圆上和圆外的零、极点，即G(z)和U(z)含有不稳定的极点，则控制变量u的输出也将不稳定。由式(7―44)知

可以看出，在系统的闭环脉冲传递函数中，D(z)一般总是和G(z)成对出现的，但不能简单地用D(z)的相关极点和零点去抵消G(z)中的单位圆上或圆外的零极点。因为，若要使G(z)在单位圆上和圆外的零点抵消掉，D(z)分母中必然含有相应的不稳定的极点，从而使D(z)不稳定。另外，如果D(z)抵消了G(z)的不稳定的极点，则D(z)必然包含相应的单位圆上的和单位圆外的零点。这样，在理论上可得到一个稳定的控制系统，但这种稳定是建立在G(z)的不稳定极点被D(z)的零点准确抵消的基础上，

在实际控制中，由于存在对系统参数辨识的误差及参数受外界环境影响及随时间的变化，这类抵消是不可能准确实现的，从而使系统不能真正稳定。因此，要使系统补偿成稳定系统，就必须采取其他方法，即必须在确定闭环脉冲传函Φ(z)时增加附加条件。由可知，要避免G(z)在单位圆外或圆上的零、极点与D(z)的零、极点抵消，则必须使得：(1)当G(z)有单位圆外或圆上的零点时，在Φ(z)表达式中应把这些零点作为其零点而保留。

(2)当G(z)有单位圆外或圆上的极点时，在Φe(z)表达式中应把这些极点作为其零点而保留。这就是最少拍系统设计的稳定性要求或叫稳定性约束条件。此时，可得到最小拍系统控制

器设计步骤如下：

(1)根据被控对象的数学模型求出广义对象的脉冲传递函数G(z)。

(2)根据输入信号类型，查表7―1确定误差脉冲传递函数Ge(z)。

(3)将G(z)、Ge(z)代入式(7―45)进行Z变换运算，即可求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。

(4)根据结果，分析控制器效果，求出输出序列及画出其响应曲线。【例7―23】已知被控对象的传递函数为

，设采样周期T=0.5s时，试设计单位阶跃输入时的最小拍数字控制器D(z)(设用零阶保持器连接控制器与对象)。解系统的广义对象传递函数G(z)为

计算结果G(z)中含有z-1因子，并有单位圆外的零点z=-1.4815，因此，闭环脉冲传递函数Φ(z)中应包含有(1+1.4815z-1)项及z-1的因子，当把G(z)的单位圆外零点及z-1因子作为被控对象的零点和因子，同时考虑到误差脉冲传递函数应选定为Ge(z)=1-z-1，以及Φ(z)、Ge(z)应该是同阶次的多项式后，应有Φ(z)=1-Ge(z)=az-1(1+1.4815z-1)Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)

上述方程组中a、b为待定系数，且有

(1-b)z-1+bz-2=az-1+1.4815az-2

由上式得

1-b=a

b=1.4815a

所以得a=0.403,b=0.597

故得闭环传递函数和误差传递函数为

Φ(z)=1-Ge(z)=0.403z-1(1+1.4815z-1)Ge(z)=(1-z-1)(1+0.597z-1)

将所得结果代入式(7―45)，得最少拍控制器的脉冲传递函数为在单位阶跃输入时其输出响应为即图7―13最少拍系统输出响应【例7―24】如图7―14所示，已知被控对象传递函数为

，设计采样周期为T=0.5s，试设计一在单位速度输入时的数字控制器D(z)。图7―14最少拍控制系统原理图

解当用零阶保持器联系数字控制器与被控对象时，该系统的广义对象的脉冲传递函数G(z)为

系统输入为r(t)=t，查表7―1知误差脉冲传递函数选定为Ge(z)=(1-z-1)2,于是将G(z)、Ge(z)代入式(7―49),可求得数字控制器的脉冲传递函数D(z)为

这样，可得系统输出序列的Z变换为上式中各项系数就是c(t)在各个采样时刻的输出数值，即c(0)=0，c(T)=0，c(2T)=2T,c(3T)=3T,c(4T)=4T,…输出响应曲线如图7―15所示。图7―15单位速度输入时最少拍输出序列7.3.3最少拍无波纹控制器设计前面提到的最少拍系统设计是以采样点上误差为零或保持恒定为基础的，采用Z变换方法进行设计并不保证采样点之间的误差也为零或保持恒定值，因此在采样点之间可能存在纹波，即在采样点之间有误差存在，这就是有纹波设计。而无纹波设计是指在典型输入信号的作用下，经过有限拍系统达到稳态，并且在采样点之间没有纹波，输入误差为零。

由于系统在采样点上是闭环控制，采样点之间产生的纹波不能反映在采样点信号上，也就是对采样点之间的信号，不能形成闭环控制。在最少拍控制系统设计中，虽然考虑了可实现性和稳定性问题，但是在设定Φ(z)时，考虑了被控对象G(z)在单位圆上和单位圆外的零点，而对G(z)单位圆内的零点没有考虑。在典型输入下，控制器的z传递函数由下式可得

可见，G(z)在单位圆内的零点成为D(z)的极点，位于单位圆内的负实轴上或第二、第三象限内，控制输出U*(t)必有振荡衰减。由C(z)=Φ(z)R(z)，C(z)=U(z)G(z)可得(7―64)

由以上分析可见，要得到最少拍无纹波系统设计，其闭环z传递函数Φ(z)必须包含被控对象G(z)的所有零点。设计的控制器D(z)中消除了引起纹波振荡的所有极点，采样点之间的纹波也就消除了。此时，系统的闭环z传递函数Φ(z)中的z-1的幂次增高，系统的调整时间ts增长了。因此，最少拍无纹波设计，要求Φ(z)的零点包含G(z)的全部零点。这就是最少拍无纹波设计与最小拍有纹波设计惟一不同之处。【例7―25】如图7―14所示，已知对象传递函数

，采样周期T=0.1s。要求：

(1)试设计单位阶跃输入时的最少拍无波纹数字控制器D(z)。

(2)将按单位阶跃输入时的最少拍无波纹设计的数字控制器D(z)改为按单位速度输入时，分析其控制效果。

解(1)系统广义对象的脉冲传递函数为因G(z)有z-1因子，零点z=-0.707，极点p1=1，p2=0.368。闭环脉冲传递函数Φ(z)应选为包含z-r因子和G(z)的全部零点，所以

Φ(z)=1-Ge(z)=az-1(1+0.717z-1)Ge(z)应由输入形式、G(z)的不稳定极点和Φ(z)的阶次三者来决定。所以选择

Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)

式中(1-z-1)项是由输入型式决定的，(1+bz-1)项则应由Ge(z)与Φ(z)的相同阶次决定。因Ge(z)=1-Φ(z)，将上述所得Ge(z)与Φ(z)值代入后，可得

(1-z-1)(1+bz-1)=1-az-1(1+0.717z-1)

所以，解得a=0.5824，b=0.4176。于是便可求出数字控制器的脉冲传递函数为

由U(z)可判断所设计的D(z)是否是最少拍无波纹数字控制器系统，由式U(z)=D(z)Ge(z)R(z)可得图7―16单位阶跃输入时响应(2)将上述按单位阶跃输入时的最少拍无波纹设计的数字控制器D(z)，改为按单位速度输入时：由Z变换定义可知：

u(0)=0，u(T)=0.1528，u(2T)=