湖南省顶级名校2024-2025学年高二上学期期中考试试题数学试题含答案

数学得分：__________本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分.第I卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.2.已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（）A.5B.C.D.3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点的椭圆的标准方程为（）A.B.C.或D.或4.已知方程表示双曲线，则的取值范围为（）A.B.C.D.5.在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.6.已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（）A.B.14C.D.7.已知，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（）A.B.6C.D.8.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知两点到直线的距离相等，则的值可取（）A.B.C.D.10.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（）A.B.C.双曲线的渐近线方程为D.直线的斜率为411.已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点在上，且直线的斜率为，则（）A.顺次连接的四个焦点构成一个正方形B.的面积为的4倍C.的方程为D.线段的中点始终在直线上第II卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作直线，使它被直线和截得的线段被点平分，则直线的方程为__________.13.直线与抛物线相交于两点，则__________.14.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）将点和点并入点的轨迹得曲线，若过点的直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的方程.16.（本小题满分15分）如图，在棱长为的正方体中，分别是上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成夹角的正切值.17.（本小题满分15分）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.（1）若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围；（2）是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且.（1）求证：直线平面；（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.19.（本小题满分17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，点为坐标原点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设和分别与椭圆交于点和.若分别是线段和的中点，求面积的最大值.数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案CACBDBCAACBCABD1.C【解析】因为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选C.2.A【解析】由条件知点的坐标为，所以.故选A.3.C【解析】当椭圆焦点在轴上时，长半轴长，短半轴长，方程为，当椭圆焦点在轴上时，短半轴长，长半轴长，方程为，所以椭圆方程为或.故选C.4.B【解析】由条件可得或，故的取值范围为.故选B.5.D【解析】设点在底面内的投影为点，由题意知，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，所以，，所以.故选D.6.B【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，则，的周长，当且仅当在的延长线上时取等号.的周长的最大值等于14.故选B.7.C【解析】直线的方程为，设点关于直线的对称点为，则得，即，点关于轴的对称点为，由题意可知，如图所示，点都在直线上，由对称性可知，，所以光线经过的路程.故选C.8.A【解析】设，则，整理得，所以动点的轨迹方程是.故选A.9.AC【解析】当直线过线段中点时，有，得，当直线时，有，得.故选AC.10.BC【解析】由，设，由，得，则，而，解得，因此，对于A，，A错误；对于B，显然，则，B正确；对于C，易知，在中，由，得，则，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确；对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误.故选BC.11.ABD【解析】椭圆的焦点为，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，则椭圆的焦点为，所以顺次连接的四个焦点构成一个正方形，故A正确；将上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆，所以与为相似曲线，相似比为2，所以的面积为的面积的倍，故B正确；且的方程为，即，故C错误；设，则，又，所以，即，所以，即，所以，所以线段的中点始终在直线上，故D正确.故选ABD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.【解析】设直线与直线的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在直线上，代入直线的方程得，解得，即点在直线上，所以直线的方程为.13.0【解析】由可得，设，则有，所以，所以.13.【解析】由双曲线的渐近线方程为，即，又由双曲线的右焦点到渐近线的距离为，所以，则直角的内切圆的半径为，如图所示，设的内切圆与切于点，则，因为，可得，所以，可得，所以双曲线的离心率为.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）法一：设，因为，所以由，得，所以动点轨迹方程为.法二：由题，所以点的轨迹是以中点为圆心，半径为1的圆去掉两点得到的，所以点的轨迹方程为.（2）由题设知曲线的方程为，因为直线与曲线有只有一个公共点（如图），①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与曲线切于点，②当直线斜率存在且与曲线相切时，设，即，根据圆心到切线距离等于半径可得，得，所以此时直线方程为.综上，直线方程为或.16.【解析】（1）如图，构建空间直角坐标系，令，且，所以，则，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大，所以当时，，故分别为的中点，所以，故，若为平面的法向量，则令，得，又平面的法向量为，所以，设平面与平面所成夹角为，则，所以，所以，所以平面与平面所成夹角的正切值为.17.【解析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设.设直线的方程为，因此点到直线的距离为，联立则，显然，所以，则，所以，因为，则，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，所以的取值范围为.（2）设直线方程为，即，联立得，故，即，又，易知，因为，则，因为，所以，即，解得或，故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或.18.【解析】（1）设，连接，为底面圆的内接正三角形，为中点，，又.，且.平面平面，平面平面平面.（2）为中点，又为中点，，，以为坐标原点，方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，设.设平面的法向量，则令，解得，设直线与平面所成夹角为，，令，则，，当，即时，，，此时，点到平面的距离.19.【解析】（1）由题意，因为为直角三角形，所以.又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由