河北省沧州市运东五校2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案

2025年普通高中学业水平选择性考试模拟试题数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟．2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数为（）A.290 B.295 C.300 D.330【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】将数据从小到大排序为：，所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为295.故选:B.2.已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增；若单调递增，则，，或，，不能推出，所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件，故选：D．3.已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案．【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，又由圆，可得圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，则，可得，故选C．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据向量投影的概念运算求出，再利用向量数量积运算求得结果.【详解】由题在上的投影向量为，又，，即，.故选：A.5.冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解.【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，因为，所以，在中，由得，故选：C6.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）A.18 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.【详解】当第一棒为丙时，排列方案有种；当第一棒为甲或乙时，排列方案有种；故不同的传递方案有种.故选：B7.已知是三角形的一个内角，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式,可求的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简，即可计算得解．【详解】因为，两边平方得，即，可得，因为是三角形的一个内角，且，所以，所以，得，又因为，，联立解得：，，故有：，从而有．故选：B．8.已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，先根据，得，，代入椭圆方程可得，进而解方程可得.【详解】如图，：的图象，则，，其中，设，，则，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化简得，又椭圆离心率，所以，得故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，，则（）A. B.的实部依次成等比数列C. D.的虚部依次成等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由题意由复数乘除法分别将化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断A；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD，由复数模的运算即可判断C.【详解】因为，，所以，所以，故A正确；因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；，故C正确.故选：ABC.10.已知函数的部分图象如图所示．则（）A.的图象关于中心对称B.在区间上单调递增C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D.将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.【详解】由图象可知，，解得，又，所以，即，结合，可知，所以函数的表达式为，对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.11.定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（）A.为的一个周期 B.C.若，则 D.在上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】结合已知求得为的一个周期，从而A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即可判断B正确；利用中心对称性质求值判断C正确；根据函数的性质判断D错误.【详解】由，将x替换成，得．因为，由上面两个式子，．将x替换成，，所以．所以，所以为一个周期，A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即成立，B正确；满足，即函数图象关于点中心对称，函数的最大值和最小值点一定存在关于点中心对称的对应关系，所以，解得，C正确；已知条件中函数没有单调性，无法判断在上是否单调递增，D错误.故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若集合，，，则的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】先求出集合，然后由，从而求解.【详解】由，解得，所以，因为，，所以，所以的最小值为.故答案为：.13.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.【答案】##【解析】【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故答案为：.14.已知实数，满足，，则__________．【答案】1【解析】【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.【详解】因为，化简得．所以，又，构造函数，因为函数，在上都为增函数，所以函数在上为单调递增函数，由，∴，解得，，∴．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）若直线是曲线的一条切线，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可确定在上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最值；（2）设切点为，结合切线斜率可构造方程组求得和的值.【小问1详解】当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，又，，.【小问2详解】由题意知：，设直线与相切于点，则，消去得：，解得：，则，解得：.16.“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计男生

20

女生15

合计

100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.【答案】（1）有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据男女生各50名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解.（2）根据题意可知的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解.【小问1详解】依题意，列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计男生302050女生153550合计4555100零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，的观测值为，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.【小问2详解】依题意，的所有可能取值为，，所以的分布列为：0123数学期.17.如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用正四棱锥与正四面体的性质得到多面体的棱长全相等，从而利用线面垂直的判定定理证得四点共面，再利用线面平行的判定定理即可得解；（2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角，从而得解.【小问1详解】分别取的中点，连接，由题意可知多面体的棱长全相等，且四边形为正方形，所以，因为平面，所以平面，同理平面.又平面平面，所以四点共面.又因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，所以.设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，即，令，则，所以.设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.18.已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.（1）若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；（2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围.【答案】（1）证明见解析，定点（2）【解析】【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合处的切线方程求得直线所过定点.（2）先求得四边形面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围.【小问1详解】设，直线，联立，可得.在轴两侧，，，由得，所以点处的切线方程为，整理得，同理可求得点处的切线方程为，由，可得，又在直线上，.直线过定点0,2.【小问2详解】由（1）可得在曲线上，.由（1）可知，，，令在单调递增，四边形的面积的范围为.【点睛】方法点睛：求解抛物线的切线方程，有两种方法，一种是利用判别式法，即设出切线的方程并与抛物线方程联立，化简后利用判别式为0列方程来求得切线方程；另一种是利用导数的方法，利用导数求得切线的斜率，进而求得切线方程.19.已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.（1）若，求及；（2）若，求证：互不相同；（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.【答案】（1），.（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到及；（2）先得到，故，再由得到，从而证明出结论；（3）由题意得或，令，得到或，当时得到，当时，考虑或两种情况，求出答案.【小问1详解】因为，所以，则；【小问2详解】依题意，则有，因此，又因为，所以所以互不相同.【小问3详解】依题意由或，知或.令，可得或，对于成立，故或.①当时，，所以.②当时，或.当时，由或，有，同理，所以.当时，此时有，令，可得或，即或.令，