专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题（原卷版）

专题13函数中的三角形、四边形存在性问题函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定定理列出方程，并求出未知数。 （2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3(2)P点坐标为（，）(3)h的取值范围为3≤h≤4(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG•AE3×（﹣m2+5m﹣3）（m2﹣5m+3）（m）2，∵0，∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，∴P点坐标为（，）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，∴m，此时m2﹣4m+3＝，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；∵＜2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝，D（﹣，5）(3)存在，Q（﹣2，）【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；（3）设P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质（2022·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．(1)把，代入即可得出抛物线的表达式；（2）①求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出．进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；②分以BC为边时，即，，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案．【答案】(1)(2)①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．【详解】（1）解：将点，代入得：解得∴抛物线的表达式为．（2）①由（1）可知：，设直线BC：，将点，代入得：解得∴直线BC：，则直线MN：．∵抛物线的对称轴：，把代入，得，∴．设直线CD：，将点，代入得：解得∴直线CD：．当时，得，∴，∴．②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．理由如下：（I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即．由点D在直线MN上，设．如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则．过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则．∵，∴，∵轴，∴，∴．又∵，∴，∴，，

∵，，∴，解得．∴，如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则．同理可证：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．∴如图2-3，存在一种平行四边形，即．设，，同理可证：，∴，∵，，，∴．解得∴，．综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.1．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟）已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．(1)①求的值；②判断的形状，并说明理由；(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标(3)如图3，连接､，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由3．（2022·四川德阳·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．(3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为S，点M运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使为直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．（2021·贵州遵义·校考模拟）如图，直线与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C的，与轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022·四川泸州·校考模拟）如图1，已知抛物线过三点)，过线段的中点，若点为所在圆的圆心．(1)求抛物线的解析式；(2)求的度数；(3)求圆心点的坐标，并判断点是否在这条抛物线上；(4)若弧的中点为，是否在轴上存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在说明理由．7．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，若过点O的直线交线段于点P，将三角形的面积分成的两部分，请求出点P的坐标；(3)若Q是直线上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当的面积等于的面积时，求出Q点的坐标；(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2022·重庆·重庆八中校考模拟）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)如图1，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作PZx轴交于点Z，过点P作PQCB交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点．点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图，拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；(3)在平面内是