专题12 几何初步与平行线【考点精讲】（解析版）

专题12几何初步与平行线1．直线、射线、线段与角（1）直线：经过两点有且只有一条直线，直线是向两方无限延伸的，直线没有端点.（2）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只有一个端点.（3）线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.（4）两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.（5）1°=60'，1'=60″.（6）1周角=2平角=4直角=360°.（7）余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.2.对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.3.角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.

4.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.5.垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.

6.线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

7.平行线（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行线的性质:①两条直线平行，同位角相等;

②两条直线平行，内错角相等;

③两条直线平行，同旁内角互补.

（3）平行线的判定:①同位角相等，两条直线平行;

②内错角相等，两条直线平行;

③同旁内角互补，两条直线平行.

【考点1】直线、射线、线段（1）直线没有端点，射线有1个端点，线段有2端点。（2）经过两点有且只有一条直线，简述为两点确定一条直线。（3）两点之间的所有连线中，线段最短，简述为两点之间线段最短。（4）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。考点例题【例1】如图，已知三点A、B、C．（1）请读下列语句，并分别画出图形①画直线AB；②画射线AC；③连接BC．（2）在（1）的条件下，图中共有条射线．（3）从点C到点B的最短路径是，依据是．【分析】（1）按题意，直接作图即可．（2）根据射线的定义进行判断，写出即可．（3）根据两点间线段最短的性质即可求解．【解答】解：（1）如图所示：直线AB、射线AC、线段BC即为所求．（2）图中共有3+2+1＝6条射线．（3）最短路径是CB，依据：两点间线段最短．故答案为：6；CB，两点间线段最短．【例2】请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理．情景一：如图，小明家到学校有3条路可走，一般情况下，小明通常走第二条路，其中的数学道理是．情景二：同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理：．【分析】根据线段的性质和直线的性质填空即可．【解西】解：情景一：如图，小明家到学校有3条路可走，一般情况下，小明通常走第二条路，其中的数学道理是两点之间线段最短；故答案为：两点之间线段最短；情景二：同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理：两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．1．（2021·浙江台州市）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据线段的性质即可求解．【解析】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．2．如图，在平面内有A，B，C三点．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；（3）数一数，此时图中线段共有条．【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，线段BC，射线AC；（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．【解析】解：（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；（3）由题可得，图中线段的条数为8，故答案为：8．3．已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）．（1）经过这四点最多能确定条直线．（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？【分析】（1）两点确定一条直线，即可得出经过这四点最多能确定6条直线；（2）依据两点之间线段最短，即可得到结论．【解析】解：（1）经过这四点最多能确定6条直线：直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，直线BD，故答案为：6；（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中路线2；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线1，因为两点之间，线段最短，路线2比路线1短，可以节省材料；而路线1较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光．【考点2】角的有关概念与计算1．由两条具有公共端点的射线所组成的图形叫做角．两条射线的公共端点是这个角的顶点．2．按照角的大小，角可分为锐角、直角、钝角、平角和周角．3．1°=60'，1'=60″.4．1周角=2平角=4直角=360°.5．余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.6．对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等.考点例题【例3】35.48°＝度分秒．【分析】根据大单位化小单位乘以进率，先把0.48°化成分，再把0.8′化成秒，即可得出答案．【详解】解：0.48°＝（0.48×60）′＝28.8′，0.8′＝（0.8×60）″＝48″，所以35.48°＝35°28′48″．故答案为：35，28，48．【例4】已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（）A．120° B．60° C．30° D．150°【分析】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°﹣∠2．【详解】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，∵∠2与∠3互补，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故选：D．（1）互为余角的两个角的和等于90°;（2）互为补角的两个角的和等于180°.1．如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（）A.内错角 B.对顶角 C.同位角 D.同旁内角【答案】A【分析】根据三线八角的概念，以及内错角的定义即可做出判断．【详解】如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，故∠1与∠2是内错角，故选：A．2．如图，八点三十分时针与分针所成的角是（）A．75° B．65° C．55° D．45°【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：钟面每份是30°，上午8：30时时针与分针相距2.5份，此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是30°×2.5＝75°．故选：A．3．（2021·上海）的余角是__________．【答案】【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70°的余角是90°-70°=20°故答案为：20°．4．一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】设这个角为α，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，解得α＝35°．故选：B．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOC＝50°．求∠BOE的度数.【答案】∠BOE＝40°【分析】先算出∠DOE和∠DOB，相减即可算出∠BOE.详解】解：如图所示．∵∠BOD＝∠AOC＝50°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°∴∠BOE＝90°－50°＝40°【考点3】角平分线与垂直平分线1．角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.

2．线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

考点例题【例5】如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．【分析】设∠DOE＝2x，根据题意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根据平角为180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度数．【详解】解：如图，设∠DOE＝2x，∵∠DOE：∠BOD＝2：5，∴∠BOE＝3x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．故答案为：60°．【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．【详解】解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.1．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．【详解】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=12（∠BAC+∠∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．2．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，BP=CPDP=EP∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=APDP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．3．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠AOB＝120°，则∠COE是多少度？（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．可得∠COE=12∠（2）用∠BOE，表示∠COD，∠AOC，∠BOC和∠AOD，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOC＝∠DOC．∵OE是∠BOD的平分线，∴∠BOE＝∠DOE，所以∠COE=1（2）设∠BOE的度数为x，则∠DOE的度数也为x．∵∠EOD﹣∠COD＝30°，∴∠COD＝∠AOC＝x﹣30°，∴∠AOD＝2∠AOC＝2（x﹣30°）．∴∠BOC＝3∠AOD，∴可列方程为x+x+x﹣30°＝3×2（x﹣30°），解得x＝50°，即∠BOE的度数为50°．【考点4】平行线的性质与判定1．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质:①两条直线平行，同位角相等；②两条直线平行，内错角相等；③两条直线平行，同旁内角互补.

3．平行线的判定:①同位角相等，两条直线平行；②内错角相等，两条直线平行；③同旁内角互补，两条直线平行.

考点例题【例1】（性质）（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（

）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：，ACEF，故选C【例2】（判定）（2022·湖南郴州）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；B、当时，；故B不符合题意；C、当时，；故C符合题意；D、∵，则，∵，则，∴；故D不符合题意；故选：C（1）同位角相等，两直线平行;（2）内错角相等，两直线平行;（