2023-2024学年北京通州区初三（上）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023北京通州初三（上）期中数学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列各组种的四条线段成比例的是（）A.3cm、5cm、6cm、9cm B.3cm、5cm、8cm、9cmC.3cm、9cm、10cm、30cm D.3cm、6cm、7cm、9cm2.抛物线的顶点坐标为（）A.（－1，2） B.（1，2） C.（1，－2） D.（2，1）3.如图所示，点D、E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC等于（）A.2：1 B.2：5 C.2：3 D.3：54.将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A. B. C. D.5.如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（）A.0.4 B.0.8 C.1 D.1.66.如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（）A. B.C. D.7.若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A. B. C. D.8.函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，y随x的增大而减小；④当时，关于x的方程有4个实数根；其中正确的结论个数是．（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.若，则______．10.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．11.两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为_____．12.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．13.如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________.14.点，为抛物线上两点，则______．（用“”或“”号连接）15.如图，中，，，，，则的长为______．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________．三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式．18.如图，的高，相交于点O．（1）写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；（2）请任选一对进行证明．19.已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中画出函数图象．20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树的高度．21.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．22.已知二次函数在和时的函数值相等．（1）求二次函数图像的对称轴；（2）过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值．23.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD，判断BE与BD的数量关系并证明．24.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．（1）求绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？25.如图，在等腰三角形中，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使．（1）求证：；（2）设，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围26.某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤元的价格销售，平均每天可售出公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？27.已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）点，在该抛物线上，若，求a的取值范围．28.定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．（1）[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．（2）[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．（3）[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．

参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】C【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．2.【答案】A【分析】根据二次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵为二次函数的顶点式，∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．3.【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出AE=2EC，再代入求出即可．【详解】解：∵DE∥BC，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用定理得出比例式，通过比例的基本性质得出结论．4.【答案】B【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．5.【答案】A【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．【详解】解：，，，，，故选：A6.【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【详解】∵是公共角，∴再加上或都可以证明，故A，B可证明，C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明．∵，若再添加，即，可证明，故D可证明．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．7.【答案】A【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可．【详解】函数的图象与x轴有公共点，方程有两个实数根，即，解得：．故选：A．8.【答案】C【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．【详解】解：如图：①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确；②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；③如图所示：当时，y随x的增大而减小，则正确；④如图所示：当时，关于x的方程有4个实数根，则正确；则正确的个数有3个，故选C．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9.【答案】【分析】由变形为，整理后取倒数即可得到答案．【详解】解：∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查了比例，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．10.【答案】答案不唯一（，任何，的二次函数均可）【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．【详解】解：∵顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为y=ax2，∵图象开口向下，∴a＜0，∴可取a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2，故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．11.【答案】4∶9【分析】根据相似三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为4∶9；故答案为4∶9．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．12.【答案】##【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．13.【答案】【分析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．【详解】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，则：点Q的横坐标为-1+4=3，故答案为（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键．14.【答案】【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的对称性将点化在对称轴的同一侧，结合函数的性质比较即可得到答案．【详解】解：由题意可得，抛物线的对称轴为：直线，∴的对称点为：，∵，，∴，故答案为：．15.【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明三角形相似是解题的关键．证明，得到，结合已知代入计算即可．【详解】∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴∴，解得（舍去）．故答案为：．16.【答案】或【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．【详解】解：∵，∴，∴，点P在线段上．∵A点的坐标为，∴，由勾股定理得：；如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点，∴点P是的中点，∴点P的坐标为；如图2所示，当时，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴点P的坐标为；综上所述，或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟知顶点式的特征是解本题的关键；根据顶点坐标设抛物线解析式为，代入已知点坐标计算即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线表达式为，∵抛物线经过点，∴将代入，得：，∴，∴．18.【答案】（1），，（写出一个即可）（2）证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．（1）由于是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可找到与相似的三角形；（2）可选择与，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可．【小问1详解】与相似的三角形有，，，故答案为：，，（写出一个即可）．【小问2详解】证明：∵的高，相交于点O，∴．∵，∴．19.【答案】（1）抛物线的顶点坐标为，抛物线与x轴交点为和（2）见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数的图象，（1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标；（2）先列表、再描点、连线，即可得到答案．准确将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键．【小问1详解】解：∵，∴，∴抛物线的顶点坐标为，令，则，抛物线与y轴交点为，令，则，，∴抛物线与x轴交点为和．【小问2详解】列表如下：x0123y00画图如下：20.【答案】树高5.5m．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【详解】解：在△DEF和△DCB中，，∴△DEF∽△DCB，∴，即解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．21.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．【详解】（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AFE∽△CFD，（Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD，∴，而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，∴AE＝2，AC＝5，∴，而AC＝5，∴AF＝，CF＝，故CF的长为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．22.【答案】（1）（2）【分析】(1)根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．(2)设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【小问1详解】∵二次函数在和时函数值相等，∴对称轴为直线．【小问2详解】∵过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N，设点M在点N的左侧，设，，∵对称轴为直线，，∴，解得，∴点M的坐标为，点N的坐标为∴，，∴，．23.【答案】BE=BD，理由见解析【分析】根据题意证明△EAB∽△DAC即可得出∠AEB=∠ADC，从而得出∠BED=∠BDE，结果可得．【详解】解：BE=BD，理由如下：AD平分∠BAC，∠CAD=∠DAB，AB：AC＝AE：AD，△EAB∽△DAC，∠AEB=∠ADC，∠BED=∠BDE，故BE=BD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△EAB∽△DAC是解题的关键．24.【答案】（1）（2）绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的最值．（1）根据待定系数法即可求解；（2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答．【小问1详解】根据题意，抛物线经过点，．∴，解得，∴绳子所对应的抛物线表达式为：；【小问2详解】身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由如下：∵，∴当时，，∵，∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．25.【答案】（1）见解析（2），【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式．【小问1详解】证明：，，，，，又，；【小问2详解】解：，，，，，，，由题意得：，．26.【答案】（1）元（2）答：销售单价定为每公斤元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是元；【分析】（1）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润利润单价数量即可得到答案；（2）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润利润单价数量写出函数关系式，结合函