2023-2024学年北京九中初三（上）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023北京九中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.已知，那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.2.古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为，则此人身高大约为（）A.1 B. C. D.3.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.4.如图，在△中，点，分别为边，上的点，且，若，，，则的长为（）A.3 B.6 C.9 D.125.已知二次函数，若点，是它图象上的两点，则与的大小关系为（）A. B. C. D.不能确定6.若要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度7.如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.和的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若~且两三角形不全等，则P点所在的格点为（）A.P1 B.P2 C.P3 D.P48.已知抛物线与轴交于点，对称轴为，与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与轴的另一个交点是；②点，，，在抛物线上，且满足，则；③常数项的取值范围是；④系数的取值范围是．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是_____．10.请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：_______．11.写出一个当自变量时，y随x的增大而减小的反比例函数的表达式______________．12.把二次函数化为的形式，那么=_____.13.若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，：＝___．15.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是_______16.下图是，二次函数的图象，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是______．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且．（1）求证：ADE∽ACB；（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度数．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．19.在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中已知双曲线过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线，交于点D（t，），与直线y＝4x交于点E（t，y2）．当y1<y2时，直接写出t的取值范围．21.在平面直角坐标系中，二次函数，经过点，．（1）求二次函数的解析式；（2）求此函数的顶点坐标（3）当时，求的取值范围．22.已知二次函数的图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：…01234……11…（1）求这个二次函数的表达式；（2）画出次函数图象（3）当时，直接写出的取值范围．23.已知二次函数．（1）求此二次函数的对称轴（用含的字母表示）（2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围（3）选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点．24.某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）00.52.03.55h（米）1.672.253.002.250请解决以下问题：（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是______米；（3）求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面的高度为2.5米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到水柱．请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由．25.抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点到点的距离（单位：），点到桥拱顶面的竖直距离（单位：）．，近似满足函数关系．通过取点，测量，得到与的几组对应值，如下表：01234022（1）桥拱顶面离水面的最大高度为___________；（2）根据上述数据，求出满足的函数关系和水面宽度的长．26.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线上．（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线，①直接写出的取值范围；②已知点（－1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27.已知：如图①，在正方形中，点是上一个动点，点在的延长线上，且，连接，，．平分，交于点，连接．（1）直接写出与的数量关系与位置关系；（2）求证：；（3）如图②，当点在射线上运动时，过作于点，直接写出线段，与之间的数量关系．28.在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图为点A，B的“确定正方形”的示意图．（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为___________；（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值．（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；B、∵，∴，故B符合题意；C、∵，∴，故C不符合题意；D、∵，∴，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．2.【答案】B【分析】根据黄金分割的定义，即可求解．【详解】解：依题意，此人身高大约为故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．3.【答案】A【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：二次函数的顶点坐标是．故选A．【点睛】此题考查了此题考查了二次函数的性质，的顶点坐标是，对称轴是直线．4.【答案】C【分析】利用相似三角形的判定及性质即可求解．【详解】解：，，，，，，，，解得：，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．5.【答案】A【分析】把（-1，）和（2，）代入二次函数解析式求出和即可得到答案．【详解】解：∵（-1，）和（2，）是二次函数图像上的两点，∴，，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征．6.【答案】A【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【详解】∵抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标为（1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x-1）2+2．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．7.【答案】D【分析】根据三角形相似∽，然后利用DE=2，BC=1，所以DP=4，则易得点P落在P4处．【详解】若∽且两三角形不全等，则==2．所以DP=4．则易得点P落在P4处．故选D【点睛】本题考查了三角形相似的性质,掌握该性质是解答本题的关键.8.【答案】D【分析】根据题意作出草图，进而根据抛物线的对称性和已知条件可知另一个交点即可判断①，根据抛物线与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动，进而可得的范围，且抛物线开口向下，即可判断②③，根据对称轴为，可得，，结合③的结论即可判断④．【详解】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，抛物线与轴的另一个交点是，所以①正确；抛物线与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动，抛物线开口向下，，所以③正确；当时，随的增大而增大，当，；所以②错误；，，时，，即，，即，而，，，所以④正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】下【分析】根据二次函数二次项系数的正负可确定开口方向.【详解】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数为-2＜0，二次函数开口向下，故答案：下.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质,二次函数y=a+bx+c，当a＞0时，函数开口向上，当a＜0时，函数开口向下.10.【答案】y＝x2﹣2(答案不唯一)【分析】根据二次函数的性质，开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴，要求a＞0，c＜0即可．【详解】抛物线y＝x2﹣2开口向上，且与y轴的交点为（0，﹣2），（0，﹣2）在y轴负半轴．故答案为答案不唯一：如y＝x2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a＞0，c＜0．11.【答案】y＝（x＞0），答案不唯一．【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．【详解】只要使反比例系数大于0即可．如y＝（x＞0），答案不唯一．故答案为：y＝（x＞0），答案不唯一．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．12.【答案】3【分析】由，得，可求出h,k的值.【详解】由，得，所以，h=2,k=1,所以，h+k=2+1=3.故答案为3【点睛】本题考核知识点：配方.解题关键点：掌握配方的方法.13.【答案】＜【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项c决定抛物线与y轴交点．14.【答案】1：9【分析】利用平行四边形的性质证明△AOE∽△COB，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，∴△AOE∽△COB，∴：=，∵AE：ED＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∴AE：BC＝1：3，∴：==1：9，故答案为：1：9．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15.【答案】【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点∴的面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．16.【答案】【分析】先利用二次函数的性质得到时，有最大值，在计算出时，，由于关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，然后利用函数图像可得到的取值范围；【详解】，当时，有最大值，当时，，关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，∴的取值范围是；故答案是：．【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】（1）见解析；（2）50°【分析】（1）由得，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE∽△ACB；（2）由△ADE∽△ACB，得∠ADE=∠ACB=75°，再由∠B=55°及三角形的内角和为180°可求出∠A．【详解】（1）证明：∵，∴.又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB，∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.又∵∠B=55°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．18.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD；（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°．∴∠A=∠DCB．又∵∠ACB=∠BDC=90°，∴△ABC∽△CBD；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴CD=，∵CD⊥AB，∴BD=．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．19.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解；（2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图像法求出的取值范围即可．【小问1详解】解：∵一次函数的图像由函数的图像平移得到，∴．∵一次函数的图像经过点，∴．∴．∴这个一次函数的解析式为．【小问2详解】解：由题意，得：时直线在直线的下方，如图：当直线在之间时，满足题意：当与平行时，，当过点时：，∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．20.【答案】（1）（2）B(，-2)，C(，2)（3）或【分析】根据待定系数法求解即可．解析式联立，组成方程组，解方程组求解即可．根据图象即可求解．【小问1详解】解：∵双曲线经过（1，1），∴【小问2详解】解：由题意得：与交于B、C两点，∴解得：或∴B（，-2），C（，2）【小问3详解】解：根据题意画出函数图象，观察函数图象．由(2)得，与交于B、C两点，横坐标为，∴当时，t的取值范围为：，或．【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点左边，反比例函数与一次函数的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法，联立方程，根据题意画出函数图象．21.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）配方法化为顶点，即可求解；（3）根据对称轴为直线，开口向上，进而求得时取得最大值，即可求解．【小问1详解】解：将点，代入得解得：∴【小问2详解】解：∵∴顶点坐标为【小问3详解】解：∵，抛物线开口向上，顶点坐标为∴当时取得最小值，∵，∴时，取得最大值，即∴当时，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．22.【答案】（1）（2）见解析（3）当或时【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用描点法画出函数图象；（3）求出时函数图象上的点的坐标，利用函数的开口方向确定答案．【小问1详解】解：设二次函数的解析式为，将代入，得，解得，∴二次函数的解析式为；【小问2详解】【小问3详解】当时，，解得或，∴函数过两点，，∵图象开口向上，∴当或时．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画函数的图象，根据函数值确定自变量的取值范围，正确掌握二次函数的解析式的求法和函数图象的画法是解题的关键．23.【答案】（1）直线（2）（3）和(答案不唯一)【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，即可求解；（2）在，令，根据已知可得，解之即可求出的取值范围；（3）在（2）的的取值范围内，任选一个数值，解相应的一元二次方程即可．【小问1详解】二次函数,该二次函数的对称轴为直线，故此二次函数的对称轴是直线；【小问2详解】二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，令，则，，，故的取值范围是；【小问3详解】当时，，令，则，，．故此二次函数图象与轴的交点是和(答案不唯一)．【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与轴的交点的意义，根的判别式，解相应不等式和一元二次方程是解本题的关键．24.【答案】（1）见解析（2）3（3）（0≤x≤5）（4）船能符合要求通过，理由见解析【分析】（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，描点顺次顺滑连线；（2）根据抛物线的最高点（2,3）得出结论；（3）根据抛物线的顶点为（2,3），设解析式为，再把（5,0）代入求出a的值；（4）使船的中轴线在抛物线的对称轴上，把点（1，m）代入解析式计算m的值，与2.5比较大小，得出结论【小问1详解】【小问2详解】根据图象看出，水流最高点距离湖面的高度是3米；故答案为3；【小问3详解】设抛物线的解析式为，将（5,0）代入，得，，解得，，∴（0≤x≤5），【小问4详解】符合要求，理由：设船的横断面为矩形ABCD，行驶时使船的中轴线在抛物线形水流的对称轴上，设直线AB与抛物线交点为E(1,m)，则，符合要求【点睛】本题主要考查了二次函数的表示法，由表格法转换为图象法与解析法，解题的关键是描点，顺次光滑连线，根据表格中数据特点熟练运用待定系数法求解析式，同时能够准确看出顶点，根据对称性处理行船问题25.【答案】（1）（2）米【分析】（1）把，分别代入，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解；（2）令，解方程即可求解．【小问1详解】解：把，分别代入得解得：即抛物线的解析式为：即∴桥拱顶面离水面的最大高度为米，故答案为：【小问2详解】由（1）得令，即解得：∴（米）．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键．26.【答案】（1）；（2）①；②，见解析【分析】（1）把点（1，m），m＝0，代入抛物线，利用待定系数法求解解析式，再利用公式求解抛物线的对称轴方程；（2）①先判断异号，求解抛物线的对称轴为：抛物线与轴的交点坐标为：根据点（1，m）和（2，n）在抛物线上，则可得从而可得答案；②设点（－1，y1）关于抛物线的对称轴的对称点为，再判断．结合抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，从而可得答案.【详解】解：（1）∵点（1，m）在抛物线上，m＝0，∴．∴．所以抛物线为：∴该抛物线的对称轴为．（2）①则异号，而抛物线的对称轴为：令则解得：所以抛物线与轴的交点坐标为：点（1，m）和（2，n）在抛物线上，即②．理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x轴另一交点的横坐标为x´．∵抛物线经过点(1，m)，(2，n)，mn＜0∴1＜x＜2．∴．设点（－1，y1）关于抛物线的对称轴的对称点为．∵点（－1，y1）在抛物线上，∴点也在抛物线上．由得．∵，∴1＜2t＜2．∴2＜2t＋1＜3．∴．由题意可知，抛物线开口向下．∴当时，y随x的增大而减小.∵点（，y2），，（3，y3）在抛物线上，且，∴【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的对称性与增减性，掌握“利用抛物线的增减性判断二次函数值的大小”是解本题的关键.27.【答案】（1），（2）见解析（3）当点在边的延长线上，；当点在边的延长线上，【分析】（1）证明，可得，，则，所以；（2）由，得，由，得，所以，而，则，所以；（3）分两种情况，一是点在边上，作于点，于点，先证明四边形是正方形，根据角平分线的性质得，再证明，，得，，即可推导出，其中，则，所以；二是点在边的延长线上，作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四