专题9.2 二项式定理（解析版）

专题9.2二项式定理目录题型一：求(a＋b)n形式的“特定项” 3题型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 5题型三：三项式的展开式 7题型四：“二项式系数”与“项的系数”的最值问题 8题型五：“二项式系数”与“项的系数”的和 10知识点总结知识点总结二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式通项Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0,1,2，…，n)二项式系数各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＝C\o\al(n－m,n))得到.直线r＝eq\f(n,2)将函数f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值：当k<eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而增大；当k>eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而减少.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n,2)＋1))的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)))与Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)＋1))的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.杨辉三角的性质(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，….(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数．例题精讲例题精讲求(a＋b)n形式的“特定项”【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数.注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．在的展开式中，的系数为24．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，令，解得，所以的系数为．故答案为：24．若的展开式中共有个有理项，则的值是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：的展开式通项公式为：，，1，2，3，4，5，6，7，8，当，4，8时，，，为有理项，故．故选：．“”是“的二项展开式中存在常数项”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【解答】解：由题意，展开式的通项为：，当时，，展开式的第五项为常数项，充分性成立；当时，展开式中存在常数项，如，，故必要性不成立，所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件．故选：．已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为A．28 B． C．45 D．【解答】解：令，则展开式中各项系数之和为，解得，所以的展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中的系数为．故选：．二项式的展开式中含项的系数是A．6 B． C． D．12【解答】解：因为二项式的展开式通项为，令，则，所以二项式的展开式中含项的系数为．故选：．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数A．15 B．54 C．12 D．【解答】解：由于二项式系数的和是16，故，解得，故，当时，展开式中项的系数为．故选：．的展开式中项的系数是A． B． C． D．【解答】解：根据的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中项的系数是．故选：．求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项已知展开式中的系数为48，则实数A．1 B． C．2 D．【解答】解：展开式的通项公式为，，1，，令，则，令，则，展开式中的系数为，解得．故选：．展开式中含的系数是A．28 B． C．84 D．【解答】解：展开式的通项为，，1，2，，9，当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，由，可得；当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，由，可得；当选取1时，由已知可得，应选取展开式中含的项，由，可得，所以展开式中含的系数是．故选：．展开式中的系数为A．56 B． C．64 D．【解答】解：的二项展开式满足，当时，系数为，当时，系数为，故展开式中的系数为．故选：．二项式展开式中的系数为A．120 B．135 C． D．【解答】解：二项式，故它的展开式中的系数．故选：．已知的所有项的系数和为3，则的系数为A．80 B．40 C． D．【解答】解：由题意令中即可得到，解得，此时变为了，若要得到这一项分以下两种情形：情形一：第一步若取中的，则第二步只能取1个中的，取3个中的，所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形一所对应的的系数为；情形二：第一步若取中的，则第二步能取2个中的，取2个中的，所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形二所对应的的系数为．因此由分类加法计数原理可知的展开式中的系数为．故选：．三项式的展开式【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解.转化的方法通常为配方、因式分解.在的展开式中，的系数为A．60 B．15 C．120 D．30【解答】解：在的展开式中，含的项为，故含的系数为，故选：．的展开式中，的系数为A． B．60 C． D．120【解答】解：因为，所以的展开式通项为，令，得，则的系数为．故选：．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有A．72项 B．75项 C．78项 D．81项【解答】解：由题设，多项式展开式各项形式为，且，，，且都为整数），故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即．故选：．在的展开式中，的系数是A．24 B．32 C．36 D．40【解答】解：根据题意，的项为：．故的系数是40．故选：．“二项式系数”与“项的系数”的最值问题【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项（第eq\f(n＋1,2)项与第eq\f(n＋1,2)＋1项）的二项式系数相等并最大.已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为A． B． C． D．【解答】解：展开式中只有第5项是二项式系数最大，则，展开式的通项为，则该展开式中各项系数，若求系数的最小值，则为奇数且，解得，系数的最小值为．故选：．的展开式中各项系数的最大值为A．112 B．448 C．896 D．1792【解答】解：该二项式的通项公式为，由，可得．因为，所以展开式中各项系数的最大值为．故选：．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由题知，（2），因为存在常数项，所以，所以，为正整数，故时，最小，为3，故选：．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：（1）所有二项式系数之和．（2）系数绝对值最大的项．【解答】解：的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则，解得，（1）的展开式中所有二项式系数之和为；（2）的展开式中系数的绝对值最大的项，即的展开式中系数的最大的项，的展开式的通项公式为，，即，解得，，，系数绝对值最大的项为．已知．（1）若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求；（2）若展开式中存在常数项，求的最小值．【解答】解：（1）由题意，；（2）展开式通项为，令，可得，时，有最小正整数值5．“二项式系数”与“项的系数”的和【要点讲解】(1)①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).(2)对于展开式中含有(m＋x)因式的展开问题的一般策略是①“换元法”，即令(m＋x)＝t，则x＝t－m，再将x＝t－m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；②“整体代入”法，实质是和“换元法”一致的，即将(m＋x)看成一个“因子”，左右两端都转化为有(m＋x)的因式即可求解．已知．（1）求的值；（2）求的展开式中含项的系数．【解答】解：（1）令得，①令得，②，①②得，即；（2）由题知展开式通项为，则，，所以的展开式中含项的系数．已知，其中．（1）求实数的值；（2）求的值．【解答】解：（1）根据二项展开式，当时，，解得；（2）当时，，当时，；故．已知在的展开式中，前3项的系数分别为，，，且满足．（Ⅰ）求展开式中各项的二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项；（Ⅲ）求展开式中所有有理项．【解答】解：的展开式通项公式为：，，1，2，，则，，，，解得，（Ⅰ）展开式中各项的二项式系数的和；（Ⅱ）记第项系数为，记第项系数最大，则有，且，又，于是，解得，所以系数最大项为第3项和第4项；（Ⅲ）通项，令，1，2，，所以只有当，6时，对应的项才为有理项，有理项为，．从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．已知，且的二项展开式中，____．（1）求的值；（2）①求二项展开式的中间项；②求的值．【解答】解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，则有，化简可得，求得或（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有，化简可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二项展开式的中间项为．②易知，、、、、为正数，、、、为负数．在中，令，可得．再令，可得，．在二项式的展开式中，_______，给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有偶数项的二项式系数的和为256；③若展开式中第7项为常数项．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求展开式中系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）【解答】解：选择①：，即，即，解得或（舍去）．选择②：，即，解得．选择