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文档简介
安徽定远启明中学2025届高三第二次联考数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.2.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()A. B. C. D.3.a为正实数,i为虚数单位,,则a=()A.2 B. C. D.14.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.5.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.46.已知命题:,,则为()A., B.,C., D.,7.已知数列满足,且成等比数列.若的前n项和为,则的最小值为()A. B. C. D.8.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.9.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()A.1 B. C.2 D.310.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的值为()A.0 B.1 C. D.11.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R12.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.360二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是定义在上的偶函数,其导函数为.若时,,则不等式的解集是___________.14.若一组样本数据7,9,,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为______.15.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y16.已知函数,且,,使得,则实数m的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最大值;(2)若,求证:.18.(12分)已知(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.19.(12分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线:.(1)当时,求与的交点的极坐标;(2)直线与曲线交于,两点,线段中点为,求的值.21.(12分)已知正实数满足.(1)求的最小值.(2)证明:22.(10分)为提供市民的健身素质,某市把四个篮球馆全部转为免费民用(1)在一次全民健身活动中,四个篮球馆的使用场数如图,用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场,在中随机取两数,求这两数和的分布列和数学期望;(2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为,其相应维修费用为元,根据统计,得到如下表的数据:x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程;②叫做篮球馆月惠值,根据①的结论,试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式:,
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.2、D【解析】
设,,联立直线与抛物线方程,消去、列出韦达定理,再由直线与抛物线的交点求出点坐标,最后根据,得到方程,即可求出参数的值;【详解】解:设,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故选:D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用,弦长公式的应用,属于中档题.3、B【解析】
,选B.4、C【解析】
设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.5、D【解析】可以是共4个,选D.6、C【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题,即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题,且命题:,,.故选:.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.7、D【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得,再利用二次函数的性质,可得当或时,取到最小值.【详解】根据题意,可知为等差数列,公差,由成等比数列,可得,∴,解得.∴.根据单调性,可知当或时,取到最小值,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当或时同时取到最值.8、B【解析】
根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9、C【解析】
连接AO,因为O为BC中点,可由平行四边形法则得,再将其用,表示.由M、O、N三点共线可知,其表达式中的系数和,即可求出的值.【详解】连接AO,由O为BC中点可得,,、、三点共线,,.故选:C.【点睛】本题考查了向量的线性运算,由三点共线求参数的问题,熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.10、A【解析】
根据输入的值大小关系,代入程序框图即可求解.【详解】输入,,因为,所以由程序框图知,输出的值为.故选:A【点睛】本题考查了对数式大小比较,条件程序框图的简单应用,属于基础题.11、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算12、A【解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
构造,先利用定义判断的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化为,结合奇偶性,单调性求解不等式即可.【详解】令,则是上的偶函数,,则在上递减,于是在上递增.由得,即,于是,则,解得.故答案为:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.14、1【解析】
根据题意,由平均数公式可得,解得的值,进而由方差公式计算,可得答案.【详解】根据题意,数据7,9,,8,10的平均数为9,则,解得:,则其方差.故答案为:1.【点睛】本题考平均数、方差的计算,考查运算求解能力,求解时注意求出的值,属于基础题.15、2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式:2x-y2+4y当2x-y=2y,即x=328故答案为:2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.16、【解析】
根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集;分别求值域即可得到结论.【详解】解:依题意,,即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.因为在上的值域为()或(),在上的值域为,故或,解得故答案为:.【点睛】本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)详见解析【解析】
(1),在上,因为是减函数,所以恒成立,即恒成立,只需.令,,则,因为,所以.所以在上是增函数,所以,所以,解得.所以实数的最大值为.(2),.令,则,根据题意知,所以在上是增函数.又因为,当从正方向趋近于0时,趋近于,趋近于1,所以,所以存在,使,即,,所以对任意,,即,所以在上是减函数;对任意,,即,所以在上是增函数,所以当时,取得最小值,最小值为.由于,,则,当且仅当,即时取等号,所以当时,.18、(1)(2)函数有两个零点和【解析】试题分析:(1)求导后根据函数在区间单调递增,导函数大于或等于0(2)先判断为一个零点,然后再求导,根据,化简求得另一个零点。解析:(1)当时,,因为函数在上单调递增,所以当时,恒成立.[来源:Z&X&X&K]函数的对称轴为.①,即时,,即,解之得,解集为空集;②,即时,即,解之得,所以③,即时,即,解之得,所以综上所述,当函数在区间上单调递增.(2)∵有两个极值点,∴是方程的两个根,且函数在区间和上单调递增,在上单调递减.∵∴函数也是在区间和上单调递增,在上单调递减∵,∴是函数的一个零点.由题意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的两个根,∴,,∴∵函数图像连续,且在区间上单调递增,在上单调递减,在上单调递增∴当时,,当时,当时,∴函数有两个零点和.19、(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)的取值范围是;对应的的值为.【解析】
(1)当时,求的导数可得函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,利用导函数,可得的范围,再表达,构造新函数可求的取值范围,从而可求取到最小值时所对应的的值.【详解】(1)函数由条件得函数的定义域:,当时,,所以:,时,,当时,,当,时,,则函数的单调增区间为:,单调递减区间为:,;(2)由条件得:,,由条件得有两根:,,满足,△,可得:或;由,可得:.,函数的对称轴为,,所以:,;,可得:,,,则:,所以:;所以:,令,,,则,因为:时,,所以:在,上是单调递减,在,上单调递增,因为:,(1),,(1),所以,;即的取值范围是:,;,所以有,则,;所以当取到最小值时所对应的的值为;【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题,考查利用导数求函数的最值,体现了转化的思想方法,属于难题.20、(1),;(2)【解析】
(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),再对分三种情况考虑;(2)利用直线参数方程参数的几何意义,求弦长即可得到答案.【详解】(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),当时,联立解得交点,当时,经检验满足两方程,(易漏解之处忽略的情况)当时,无交点;综上,曲线与直线的点极坐标为,,(2)把直线的参数方程代入曲线,得,可知,,所以.【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.21、(1);(2)见解析【解析】
(1)利用乘“1”法,结合基本不等式求得结果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,证明即可.【详解】(1)因为,所以因为,所以(当且仅当,即时等号成立),所以(2)证明:因为,所以故(当且仅当时,等号成立)【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理论证能力,属于中档题.22、(1)见解析,12.5(2)①②20【解析】
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