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文档简介
2025届河北省乐亭二中高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两个不同的点,若,则线段的中点到轴的距离为()A.5 B.3 C. D.22.已知,,,若,则()A. B. C. D.3.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.114.已知函数,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.5.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格6.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作,每项工作至少一人,每人做且仅做一项工作,甲不能安排木工工作,则不同的安排方法共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.64种7.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为()A. B. C.或- D.和-9.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.11.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.12.设复数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.14.设全集,,,则______.15.记等差数列和的前项和分别为和,若,则______.16.在数列中,,则数列的通项公式_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的离心率为,右焦点为抛物线的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)为坐标原点,过作两条射线,分别交椭圆于、两点,若、斜率之积为,求证:的面积为定值.18.(12分)设函数,.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)时,若,,求证:.19.(12分)如图,空间几何体中,是边长为2的等边三角形,,,,平面平面,且平面平面,为中点.(1)证明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.20.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长的最小值.21.(12分)如图,四边形是边长为3的菱形,平面.(1)求证:平面;(2)若与平面所成角为,求二面角的正弦值.22.(10分)选修4-5:不等式选讲已知函数(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)对及,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解:由抛物线方程可知,,即,.设则,即,所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.2、B【解析】
由平行求出参数,再由数量积的坐标运算计算.【详解】由,得,则,,,所以.故选:B.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,考查数量积的坐标运算,掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.3、B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.4、A【解析】
首先求得时,的取值范围.然后求得时,的单调性和零点,令,根据“时,的取值范围”得到,利用零点存在性定理,求得函数的零点所在区间.【详解】当时,.当时,为增函数,且,则是唯一零点.由于“当时,.”,所以令,得,因为,,所以函数的零点所在区间为.故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.5、D【解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.6、C【解析】
根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,有种分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,有2种情况,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,有种情况,此时有种情况,则有种不同的安排方法;故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.7、B【解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.8、C【解析】
直线过定点,直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),可以发现∠QOx的大小,求得结果.【详解】如图,直线过定点(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,⇒∠1=120°,∠2=60°,∴由对称性可知k=±.故选C.【点睛】本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题.9、C【解析】
利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.10、B【解析】
由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,,,由,得.如图:设三角形的外心为,连接,,,可得,则.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.则三棱锥的体积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.11、B【解析】
设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:【点睛】本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.12、A【解析】
由复数的除法运算可整理得到,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由得:,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解,涉及到复数的除法运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为,则一次取出2只球,基本事件为、、、、、共6种,其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种;所以所求的概率是.考点:古典概型概率14、【解析】
先求出集合,,然后根据交集、补集的定义求解即可.【详解】解:,或;∴;∴.故答案为:.【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于基础题.15、【解析】
结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.16、【解析】
由题意可得,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,对分奇数和偶数两种情况,分别求出,从而得到数列的通项公式.【详解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,∴当为奇数时,,当为偶数时,则为奇数,∴,∴数列的通项公式,故答案为:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,解题关键是由已知递推关系得出,从而确定数列的奇数项成等差数列,求出通项公式后再由已知求出偶数项,要注意结果是分段函数形式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】
(1)由条件可得,再根据离心率可求得,则可得椭圆方程;(2)当与轴垂直时,设直线的方程为:,与椭圆联立求得的坐标,通过、斜率之积为列方程可得的值,进而可得的面积;当与轴不垂直时,设,,的方程为,与椭圆方程联立,利用韦达定理和、斜率之积为可得,再利用弦长公式求出,以及到的距离,通过三角形的面积公式求解.【详解】(1)抛物线的焦点为,,,,,,椭圆方程为;(2)(ⅰ)当与轴垂直时,设直线的方程为:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)当与轴不垂直时,设,,的方程为由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距离综上:为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查韦达定理的应用,考查了学生的计算能力,是中档题.18、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1)首先对函数求导,再根据参数的取值,讨论的正负,即可求出关于的单调性即可;(2)首先通过构造新函数,讨论新函数的单调性,根据新函数的单调性证明.【详解】(1),令,则,令得,当时,则在单调递减,当时,则在单调递增,所以,当时,,即,则在上单调递增,当时,,易知当时,,当时,,由零点存在性定理知,,不妨设,使得,当时,,即,当时,,即,当时,,即,所以在和上单调递增,在单调递减;(2)证明:构造函数,,,,整理得,,(当时等号成立),所以在上单调递增,则,所以在上单调递增,,这里不妨设,欲证,即证由(1)知时,在上单调递增,则需证,由已知有,只需证,即证,由在上单调递增,且时,有,故成立,从而得证.【点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性,借助构造函数和单调性证明不等式,属于难题.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)分别取,的中点,,连接,,,,,要证明平面,只需证明面∥面即可.(2)以点为原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立空间直角坐标系,分别计算面的法向量,面的法向量可取,并判断二面角为锐角,再利用计算即可.【详解】(1)证明:分别取,的中点,,连接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以点为原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立如图所示空间直角坐标系由面,所以面的法向量可取,点,点,点,,,设面的法向量,所以,取,二面角的平面角为,则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查学生的运算能力,在做此类题时,一定要准确写出点的坐标.20、(1)(2)【解析】
(1)因为,所以,由余弦定理得,化简得,可得,解得,又因为,所以.(6分)(2)因为,所以,则(当且仅当时,取等号).由(1)得(当且仅当时,取等号),解得.所以(当且仅当时,取等号),所以的周长的最小值为.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由已知线面垂直得,结合菱形对角线垂直
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