第2章 二次函数专题训练4 二次函数在实际生活中的常见应用(含答案)

专题训练四二次函数在实际生活中的常见应用抛物线问题1.一名运动员在10m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m.(1)求y关于x的函数表达式;(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.2.城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池.图2是主视示意图.喷水装置OA的高度是2m,水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2m时达到最高点B,此时距路面的最大高度为3.6m.为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处,另一端与路面的垂直高度NC为1.8m,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3m.点C到水池外壁的水平距离CE为0.6m,求步行通道的宽OE.(结果精确到0.1m,参考数据:2≈1.41) 图1 图2最大利润问题3.某超市购进一款洗衣液,由于原材料价格上涨,今年每瓶洗衣液的进价比去年上涨4元,今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同,当每瓶洗衣液的现售价为36元时,每周可卖出600瓶,为了薄利多销,该超市决定降价销售,经市场调查发现,每降价1元,每周销量可增加100瓶,规定每瓶的售价不低于进价.(1)求今年这款洗衣液每瓶进价是多少元?(2)当每瓶售价定为多少元时,每周的销售利润最大?最大利润是多少元?面积最大(或最小)值问题4.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2m,AB=3m,AF=BC=1m,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是多少?5.【发现问题】由(a-b)2≥0,得a2+b2≥2ab;如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不等式:a+b≥2ab,当且仅当a=b时取到等号.【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢?【分析问题】例如:已知x>0,求式子x+4x的最小值解:令a=x,b=4x,则由a+b≥2ab,得x+4x≥2x·4x=4,当且仅当x=4x时,即x=2时【解决问题】请根据上面材料回答下列问题:(1)2+322×3;6+626×6;(用“=”“>”或“<”填空)

(2)当x>0时,式子x+1x的最小值为【能力提升】(3)当x<0,则当x=时,式子4x+36x取到最大值(4)用篱笆围一个面积为32m2的矩形花园,使这个矩形花园的一边靠墙(墙长20m),问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?(5)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别是8和14,求四边形ABCD面积的最小值.

【详解答案】1.解:(1)根据题意可得,抛物线过点(0,10)和(3,7),对称轴为直线x=1,设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c,∴c=10,∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10.(2)在y=-x2+2x+10中,令y=0,得0=-x2+2x+10,解得x=11+1或x=-11+1(舍去),∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(11+1)m.2.解:如图,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意知:A(0,2),B(2,3.6),∵抛物线的最高点为B,∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3.6,把A(0,2)代入得4a+3.6=2,解得a=-0.4,∴抛物线的表达式为y=-0.4(x-2)2+3.6.当y=1.8时,-0.4(x-2)2+3.6=1.8,解得x=2+322(∴D2+3∴OE=xD-DN-CE≈2+3×1.412-0.3-0.6≈3答:步行通道的宽OE的长约为3.2m.3.解:(1)设今年这款洗衣液每瓶进价是m元,根据题意,得1解得m=24,经检验,m=24是原方程的解,也符合题意,∴今年这款洗衣液每瓶进价是24元.(2)设洗衣液每瓶的售价为x元,每周的销售利润为w元,根据题意,得w=(x-24)[600+100(36-x)]=-100x2+6600x-100800=-100(x-33)2+8100,∵-100<0,∴当x=33时,w取最大值8100,∴当这款洗衣液每瓶的售价定为33元时,这款洗衣液每周的销售利润最大,最大利润是8100元.4.解:连接CF,分别交HM,GN于点Q,P,如图,∵AF=BC=1m,∠A=∠B=90°,∴AF∥BC,∴四边形ABCF是矩形,∴∠AFC=∠BCF=90°,AB∥CF.∵四边形MNGH是矩形,∴∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG,∴∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1m,∵∠BCG=∠AFH=135°,∴∠HFQ=∠GCP=45°,∴FQ=HQ,CP=GP,∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1,同理得:CP=MH-1,∴AM=NB=MH-1,∴MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH,∴S矩形MNGH=MN·MH=(5-2MH)·MH=5MH-2MH2=-2M=-2MH-∴当MH=54m时,铁皮的面积最大,最大值为258m5.解:(1)>=(2)2(3)-3(4)设这个矩形垂直于墙的一边的长为xm,平行于墙的一边长为y(0<y≤20)m,则xy=32,∴y=32x,∴所用篱笆的长为32x∵32x+2x≥232∴当且仅当32x=2x时,32x+2x∴x=4或x=-4(舍去).∴这个矩形的长、宽分别为8m,4m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是16m.(5)设点B到AC的距离为h1(h1>0),点D到OC的距离为h2(h2>0).∵△AOB、△COD的面积分别