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文档简介
海南省临高县第二中学2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.2.已知函数的图象在点处的切线方程是,则()A.2 B.3 C.-2 D.-33.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.4.设复数满足,在复平面内对应的点为,则不可能为()A. B. C. D.5.己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.若与互为共轭复数,则()A.0 B.3 C.-1 D.47.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()A. B.0 C.1 D.38.设等差数列的前项和为,若,则()A.23 B.25 C.28 D.299.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()A.6 B.7 C.8 D.910.双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.11.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数12.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切,与相切于点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,若向量与共线,则________.14.(5分)已知曲线的方程为,其图象经过点,则曲线在点处的切线方程是____________.15.已知,,则与的夹角为.16.已知抛物线的焦点为,斜率为2的直线与的交点为,若,则直线的方程为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M
),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1
(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.19.(12分)在中,,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,连接,如图:(1)证明:平面平面(2)求平面与平面所成二面角的大小.20.(12分)如图,在三棱柱中,平面平面,侧面为平行四边形,侧面为正方形,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小.21.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上上一点,且点的横坐标为,.(1)求抛物线的方程;(2)过点的直线与抛物线交于、两点,过点且与直线垂直的直线与准线交于点,设的中点为,若、、四点共圆,求直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.2、B【解析】
根据求出再根据也在直线上,求出b的值,即得解.【详解】因为,所以所以,又也在直线上,所以,解得所以.故选:B【点睛】本题主要考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.4、D【解析】
依题意,设,由,得,再一一验证.【详解】设,因为,所以,经验证不满足,故选:D.【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义,还考查了推理论证能力,属于基础题.5、B【解析】
考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又,当时,,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当时,,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.6、C【解析】
计算,由共轭复数的概念解得即可.【详解】,又由共轭复数概念得:,.故选:C【点睛】本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.7、C【解析】
先根据奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数,,用替换,得,化简得,即令,所以,故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。8、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【详解】解:是等差数列,又,公差为,,故选:D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力,是基础题.9、A【解析】
先令,找出的关系,再令,得到的关系,从而可求出,然后令,可得,得出数列为等差数列,得,可求出取最小值.【详解】解法一:由,所以,由条件可得,对任意的,所以是等差数列,,要使最小,由解得,则.解法二:由赋值法易求得,可知当时,取最小值.故选:A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项,采用了赋值法,属于中档题.10、C【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知,双曲线的渐近线方程是.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的简单性质的合理运用.11、C【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.12、D【解析】
可设的内切圆的圆心为,设,,可得,由切线的性质:切线长相等推得,解得、,并设,求得的值,推得为等边三角形,由焦距为三角形的高,结合离心率公式可得所求值.【详解】可设的内切圆的圆心为,为切点,且为中点,,设,,则,且有,解得,,设,,设圆切于点,则,,由,解得,,,所以为等边三角形,所以,,解得.因此,该椭圆的离心率为.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质,注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质,切线的性质,考查化简运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
计算得到,根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得,因为与共线,所以有,即,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数,意在考查学生的计算能力.14、【解析】
依题意,将点的坐标代入曲线的方程中,解得.由,得,则曲线在点处切线的斜率,所以在点处的切线方程是,即.15、【解析】
根据已知条件,去括号得:,16、【解析】
设直线l的方程为,,联立直线l与抛物线C的方程,得到A,B点横坐标的关系式,代入到中,解出t的值,即可求得直线l的方程【详解】设直线.由题设得,故,由题设可得.
由可得,
则,从而,得,所以l的方程为,故答案为:【点睛】本题主要考查了直线的方程,抛物线的定义,抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明(2)以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.【详解】(1)取BC的中点O,连接,,由于与是等边三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)设,是全等的等边三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,又平面的一个法向量为,所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.18、(1)见解析,,x[0,1];(2)P(,)时,视角∠EPF最大.【解析】
(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系,设出方程,通过点的坐标可求方程;(2)设出的坐标,表示出,利用基本不等式求解的最大值,从而可得观测点P的坐标.【详解】(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系由题意知:B(1,0.5),设抛物线方程为代入点B得:p=1,故方程为,x[0,1];(2)设P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,记∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,则:,当且仅当即,即,即时取等号;故P(,)时视角∠EPF最大,答:P(,)时,视角∠EPF最大.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的实际应用,理解题意,构建合适的模型是求解的关键,涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解,侧重考查数学运算的核心素养.19、(1)证明见解析(2)45°【解析】
(1)设的中点为,连接,设的中点为,连接,,从而即为二面角的平面角,,推导出,从而平面,则,即,进而平面,推导四边形为平行四边形,从而,平面,由此即可得证.(2)以B为原点,在平面中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.【详解】(1)∵是的中点,∴.设的中点为,连接.设的中点为,连接,.易证:,,∴即为二面角的平面角.∴,而为的中点.易知,∴为等边三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分别为的中点.∴四边形为平行四边形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如图,建立空间直角坐标系,设.则,,,,显然平面的法向量,设平面的法向量为,,,∴,∴.,由图形观察可知,平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.∴平面与平面所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小,难度一般,通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.20、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接,交与,连接,由,得出结论;(2)以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用夹角公式求出即可.【详解】(1)连接,交与,连接,在中,,又平面,平面,所以平面;(2)由平面平面,,为平面与平面的交线,故平面,故,又,所以平面,以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,,,,,,,设平面的法向量为,,,由,得,平面的法向量为,由,故二面角的大小为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取中点,连接,根据等腰三角形的性质得到,利用全等三角形证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,结合锥体体积公式,求得四面体的体积.【详解】(1)证明:如图,取中点,连接,由则,则,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查锥体体积
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