微积分基础-答案1-4

#3若jf(x)dx=x2e2x+c，2xe2x(1+x)2x2e2x2xe2xxe2x4若f(x)3若jf(x)dx=x2e2x+c，2xe2x(1+x)2x2e2x2xe2xxe2x4若f(x)=x+xx(x>0)则jfr(x)dx=(A).A.x+-Jx+cB.x2+x+c33C,x2+—x2+c2D.1 23—x2+—x2+c2 35以下计算正确的是(A3xdx=d3ln3B．dx1+x2=d(1+x2)C. -dx=d、；xxxD. Inxdx=d(—)x6xf'(x)dx=(A)A.xf'(x)-f(x)+cxf'(x)+c1x2f'(x)+cD.(x+1)f'(x)+c解：’(x)dx=xcdf'(x)=xf'(x) jf'(x)dx=xf'(x)f(x)+c7dja2xdx=(A)．a2x-2a2xlnadxa2xdxa2xdx+c8果等式f(x)exdx=ex+°,则f(x)=(B)B.x21C.一x1D.—x21 1 1解：两边求导，得：f(x)ex=ex—x2三、计算题(每小题7分，共35分)%x3+xsinxi dx

TOC\o"1-5"\h\z3一、.'x3+xsinx 1,解：J dx=3dx一xdx+Jsinxdxx x? 23=3lnx-x2—cosx+c3J(2x-1)iodx解：J(2x-1)iodx=-J(2x-1)10d(2x-1)=---1-(2x-1)10+1+c2 210+1=.£(2x-1)11+c221sin—J——xdxx21TOC\o"1-5"\h\zx 1.解：J dx=-Jsin cos—+cx2 xxxJxsin2xdx解：Jxsin2xdx=--Jxdcos2x=-—(xcos2x-Jcos2xdx)2 21125.Jxe-xdx25.Jxe-xdx解：Jxe-xdx=-Jxde-x=-(xe-x-Je-xdx)=-xe-x-e-x+c四、极值应用题（每小题12分，共24分）设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60-x厘米，以60-x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：V=兀x2（60-x），即：V=60Kx2-nx3dV dV=120nx-3nx2,令=0,得：dx dxx=0（不合题意，舍去），x=40，这时60-x=20由于根据实际问题,有最大体积,故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时,才能使圆柱体的体积最大。欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为竺米，从而所用建筑材料为：xTOC\o"1-5"\h\z216 648L=2x+3• ,即：L=2x+一xxdL 648 dL 216-—=2一 ,令％-=0得：x=18（取正值），这时 =12dx x2 dx x由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省五、证明题（本题5分）函数f（x）=x—八在（—8,0）是单调增加的.证明：因为f（x）=1—八，当x£（—8,0）时，f（x）=1—ex>0所以函数f（x）=x—ex在（—8,0）是单调增加的.微积分初步形成性考核作业（四）解答定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）12.J1(sinxcos2x-x2)dx=一-i 3.J2(x5—4x+cosx)dx=2正2.已知曲线y=f（x）在任意点x处切线的斜率为飞后，且曲线过（4,5）,则该曲线的方程TOC\o"1-5"\h\z23 1；是y=-x2——3 3.若J”5x3—3x+2)dx=4—15．6．由定积分的几何意义知，JQ飞a2—x2dx=1Ka20 5．6．—Jeln(x2+1)dx=dx17．J0e2xdx一g8．微分方程y'=y,y(0)=1的特解为y=ex9．微分方程y'+3y=0的通解为y=a-3-10．微分方程（y"[3+4xy⑷=y7sinx的阶数为4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A）．A.y=x2+3B.y=x2+4AA）．2.若J1(2x+k)dx=2,0A．1B．C．03．下列定积分中积分值为0的是（A）．1ex—e—xA.J——-——dx—1 2C.JK(x3+cosx)dx—KB．D．1ex+e—x1 __dx—1 2J兀(x2+sinx)dx—K5．6．8．9．4.设f（x）是连续的奇函数，则定积分Jaf（x）dx=（D）A.2J0f(x)dx-aK.J21sinxdx-(2A．0B．-aB．）．J0f(x)dx c.-aC．下列无穷积分收敛的是（B）.A．C．7．A．C．Jaf(x)dxD.0D．2J+sexdx0J+」dx1x下列无穷积分收敛的是（B）.J+"sinxdx0J+」dx1xB．D．J"e-xdx0J+s1B．上dx

xJ+se-2xdxD.J+s1上dx%x下列微分方程中，（D）是线性微分方程.A.yx2+lny=y'微分方程y'=0的通解为（c）.A.y=Cx10.下列微分方程中为可分离变量方程的是dyA.=x+y；dxdyC.——=xy+sinx；dxB．D．(B)y"sinx-y'ex=yInxdyB.=xy+y；dxdyD. -x(y+x)dx三、计算题（每小题7分，共56分）1．Jln2ex(1+ex)2dx解：Jln2ex(1+ex)2dx=卜2(1+ex)2d(1+ex)=3(1+ex)3ln22．Je1+5lnxdx1xD.y=0819—9—————3 3解：Je1+5lnxdx1x=Je(1+51nx)dInx=-Je(1+51nx)d(1+51nx)1 513．解：4．解：5．解：=_._(1+51nx)2=_(6-1)=-52 10 210J1xexdx0J1xexdx=J1xdex=xex00J兀-x,xsin—dx0 21兀xsinxdx=2J兀xsin02=-2(xcosX2-J1exdx=e-ex0-21兀xdcosX0 2-卜cos匕dx)=2,

0 20=4}cos0,.x=4sin—2④2xsinxdx0Z £2xsinxdx=-J2xdcosx=-(xcosx0 0自-J2cosxdx)0 0=sinxy76.求微分方程y'+x=x2+1满足初始条件-⑴=4的特解・解：微分方程的通解为y=e-Jp(x)^^[Jq(x)eJp(x)dxdx+c]这里p(x)=-，q(x)=x2+1

x11 1代入得微分方程的通解为y=-(-x4+x2+°)x4 27将初始条件y⑴二4代入上式，解得°二111 1所以微分方程的特解为y二古x4+2x2+1)7.求微分方程y'--=2xsin2x的通解。

x解：微分方程的通解为y=e-JP(x)dx[Jq(x)eJp(x)dxdx+c]这里P(%)=-—,q(x)=2xsin2xx代入得微分方程的通解为y=x(-cos2x+c)四、证明题(本题4分)证明等式J0f(x)dx=Ja[f(-x)+f(x)]dx。证明：Jaf(x)dx=J0f(x)dx+Jaf(x)dx0令x=-t，则dx=dt，从而TOC