微积分习题讲解与答案

微积分习题讲解与答案（总23页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--内页可以根据需求调整合适字体及大小-#所以(1所以(1AC(X2+l)dr=C-X3+xi 心J2求解初值问题(1)〃3j(1)〃3j=^y233)=l,y'(3)=lJ(l+x)y"+V=ln(x+l)%(o)=o,y'(o)=o解⑴设y'=p,则/=〃?，代入原方程，得dp3dy2J分离变量得pdp=|j2dj积分得42=y3+。，即0»=了3+。由y(3)=l,V(3)=l得。=03 3则了=±y2,由y〃N0知.单调增加,于是y'=y2再积分一次，可得通解_±—2y2=x+q由y⑶=1得1=-5艮口y= 15-X)(2)令y'=p,则y〃=p',原方程化为(x+1)pr+p=ln(x+1)p'+工p=必=。属于一阶线性方程x+1x+1n—edxJjln(x+1)0百dxdx+Cpex+1j ex+1^^xicLx+1 1———卜ln(x+1)dx+C1—=ln(x+1)+~xx+1 1 x+1由y'(0)=0得C1—0xln(x+1) x+1—(x+1)ln(x+1)-2x+ln(1+x)+C2又由J(0)—0得C2—0初值问题的解为y—(x+1)ln(x+1)-2x+ln(1+x)习题.求下列方程通解⑴J〃-2j-3j—0 (2)J〃+7j，+12j—0J〃-6j，+9j―0 (例+jJj―0解⑴j〃-2j-3j—0解特征方程为入2—2X-3—0解得两个不同实根九—3,九--1，所求方程的通解为1 2j―Ce3x+Ce-x

1 2其中C,C是任意常数12⑵J〃+7J'+12J—0解特征方程为入2+7X+12=0解得两个不同实才以=—3,九=-4,所求方程的通解为1 2y=Ce-3x+Ce-4x

1 2其中C,C是任意常数12⑶y〃-6yJ9y=0解特征方程为入2-6X+9=0其特征根九八=3为二重实根，所求方程通解为12y=(C+Cx)e3x

12其中C,C是任意常数12y〃+y，+y=0解特征方程为入2+X+1=0解得两个共轭虚才以=-1+Wi,X=-1-11i，所求方程通解为TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 2 2 23 3 -1xy=(Ccos——x+Csin——x)e2

12 22其中C,C是任意常数12.求方程y〃+2yJ3y=0满足初始条件yI=1,y'I=1的特解x=0 x=0解特征方程为X2+2X+3=0解得两个共轭虚根X=-1+<2i,X=-1-於i，所求方程通解为1 2y=(Ccos^/lx+Csinv,2x)^x1 2由初始条件yI=i,y'i=1得。=1x=0 x=0 1又由yf=(e-xcos^'2x)r+C(e-xsiny'2无)'_ 2 _ _ _ _=e-x(cossinJ2无)+Cx(-sin<2x+J2cosJJx)2由VI=L得。=42x=0 2于是满足初始条件的特解为y=(cosv2x+*，2sinj2x)e-x.求微分方程y〃-2<-3y=3%+1的一个特解解/(x)=3x+1=(3x+l>ox,其中〃=I*=0不是特征方程九2一2入-3=0的根，得j*=ax+b为所给方程的一个特解，直接梅*代入原方程，得-3ax-2a-3b=3x+1比较系数得J—3〃=3

[-2a-3b=l解得〃=-1仍=;所以)*=-%+;即为所求特解.求微分方程P-2旷+y=12xex的通解解f(x)=12xex,其中〃=1*=1对应的齐次方程为y"-2y'+y=0特征方程入2-2九-3=。有二重特征根九二1齐次方程通解为y=Cex+Cxex

1 2由于N=1是重特征根，所以设非齐次方程特解为y*=x2(ax+b)ex直接将y*代入原方程，得(2b+6ax)ex=12xex比较系数得J6a=12\2b=0从而所求方程通解解得a=2,b=0，因此y*=2x3ex为所给方程的一个特解,为从而所求方程通解y=Cex+Cxex+2x3ex

12其中C,C是任意常数1 2.求方程y〃+4y'+4y=cos2x的通解解对应齐次方程为y"+4y'+4y=0它的特征方程入2+4入+4=0有重根九=九=—2

12故对应齐次方程的通解为y=e-2x(C+Cx)

12由于0土2i不是特征根，因此设所给方程的特解为y*=asin2x+bcos2x代入原方程得—8bsin2x+8acos2x=cos2x比较系数得I-8b=018a=111解得a=-,b=0，因此j*=-sin2x为所给方程的一个特解，从而通解为88-v=e-2x(C+Cx)+sin2x-28习题.设某种产品就要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产dx品都是一个宣传品，t时刻产品销售的增长率口7与x(t)成正比，同时，考虑到dt产品销售存在一定的市场容量N，统计表明宝与尚未购买该产品的潜在顾客的dt数量N-x(t)也成正比，试给出x(t)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。解dx——=kx(N-x)dt其中k为比例系数，分离变量积分，可得Nx(t)二 +Ce-kNt由dx CN2ke-kNtdt (1+Ce-kNt)2以及d2xCN3k2e-kNt(Ce-kNt-1)dt2 (1+Ce-kNt)2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dx N当x(t*)<N时，有丁>0，即销量网t)单调增加；当武t*)=-时，dt 2\o"CurrentDocument"d2x N d2x N d2x詈=0,•当x(t*)>-时，产<0,•当x(t*)<-时，产>0,•即当销量达dt2 2 dt2 2 dt2到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S与需求量Q均是价格P的线性函数：S=-1+3P,Q=4—P若价格P是时间t(年)的函数，且已知在时刻t时，价格P的变化率与过剩需求Q-S成正比，比例系数为2,试求价格P与时间t(年)的函数关系，且已知初始价格P=2元，问当t=0.3年时价格应为多少0解依题意，得去二2(Q-S)=2(5-4P)解得3由已知P0=2，代入得。=-彳53于是P=7十二e-8t44则当t=0.3时，P(0.3)氏1.32习题1、计算下列各题的差分

y=f(n)=n2•3n (2)y=n(n—1)(n—2)—(n—m+1)n n解(1)Ay=(n+1)2.3n+1—n2-3n=3n(2n2+6n+3)ny=n(n—1)(n—2)—(n—m+1)n解Ay=(n+1)n(n—1)—(n—m+2)—n(n—1)(n—2)—(n—m+1)n=n(n—1)—(n—m+2)[(n+1)—(n—m+1)]=mn(n—1)—(n—m+2)2、求下列差分方程的通解2、求下列差分方程的通解\o"CurrentDocument"y—y=n+3

n+1 n(3)y +2y=3-2nn+1 ny—2y=2n2—1

n+1 n(4)y +5y=1n+1 n解(1)因a=-1,对应齐次方程通解为解(1)因a=-1,对应齐次方程通解为y=C.1n=c(C为任意常数)设y*(n)=a0n2+a1n代入原方程，有a(n+1)2+a(n+1)—an2—an=n+30 1 0 1比较系数得a=—,a=—，所以y*(n)=-n2+-n0212 2 2所求方程通解为C为任意常数(2)因a=—2，对应齐次方程通解为y=C2n(C为任意常数)设y*(n)=an2+an+a代入原方程，有

0 12\o"CurrentDocument"a(n+1)2+a(n+1)+a—2an2—2an—2a=n2—10 1 20 12比较系数得a=—2,a=—4,a=—5

0 12故有y故有y*(n)=-2n2—4n—5所求方程通解为y(n)=C2n-2n2-4n-5(3)对应齐次方程通解为y=C(-2)n(C为任意常数)又f(n)=3.2n，即b―3,d—2，且a+d—4丰0，因此，原方程的特解为y*(n)―-^—dn—32na+d4故原方程通解为(4)对应齐次方程通解为y=C(-5)n(C为任意常数)又f(n)―1，即b―1,d=0，且a+d丰0，因此，原方程的特解为y*(n)——--dn

a+d故原方程通解为1y(n)=-+C(-5)n63、求下列二阶差分方程的通解⑵y -2y +2yn+2 ⑵y -2y +2yn+2 n+1n+2 n+1 n(3)y(3)y+2y +y—3n+2 n+1 n(4)4y -4y+yn+2 n+1解⑴特征方程2M+入-1=0得特征根=—1,九=一2 2从而得到方程的通解y=C(-1)

n1其中CJC2为任意常数。(2)原方程对应的特征方程为入2—2X+2=0特征方程有两个共轭复根且r=v2,tanP=1，即sin。=—,cosP=—,P=—TOC\o"1-5"\h\z2 2 4知方程有两个特解(一)— (-)—y(n)=\2品cos—n,y(n)=\2品sinn1 4 2 4y(y(n)=(2)「一兀一.兀、Ccos—n+Csin—nI1 4 2 4)其中J,。2为任意常数。(3)特征方程为Q+2X+1=0解得重根于是原方程通解为=(C+Cn)(-11

1 2其中J,。2为任意常数。下面求非齐次方程特解因为f因为f(n)=3，则q=1且不是特征根则形式特解为J则形式特解为J*=An1no0)，代入原方程,一…3比较系数得％二-于是Jn二4原方程通解为3一一y*+y(n)= +(C+Cn)(-1)nn 4 12其中C,C为任意常数。1 2⑷特征方程为4M-4r+1=01解得重根九—2二-，于是原方程通解为(n=