《浅谈化归思想在中学数学教学中的渗透技巧》10000字（论文）

浅谈化归思想在中学数学教学中的渗透技巧目录1引言 摘要：化归数学思想是中学数学中一种重要思想，它贯穿于整个中学数学教学里.尽管中学数学教师越来越重视化归数学思想在教学中的渗透，但他们对化归数学思想方法在教学中的运用仍缺乏认识.本文先通过归纳整理化归数学思想方法渗透在教学中的研究背景意义及方法，梳理出几个主要化归数学思想方法，然后给出化归数学思想在教学中引导途径，最后根据以上内容提供了具体教学案例.以更好认识化归数学思想及其在中学教学中渗透的重要性.关键词：化归数学思想；中学数学；教学渗透1引言关于化归思想，其产生虽然不是源于数学，但它产生于人们固定思维形式——就是用已经有且了解的方法解决当前面对的新问题.因此，由于数学本身公理化的方法，新概念总由已经存在的概念来定义.并在此基础上处理和解决各种崭新、未知问题.所以，化归思想在数学里起着不可替代的地位，特别在中学数学里，化归思想更起着举足轻重的作用.1.1化归数学思想的研究背景及意义在数学里，化归是指将未解决问题转化归结为相对容易解决或已经解决的问题，最终领得原问题解的过程.化归数学思想方法支配着非常多数学思想方法，数学中最基本思想方法便是化归数学思想方法，这表现在它不仅注重揭示联系实现转换，还要求在转换和转化过程里实现将问题规范化的目的，并且化归数学思想方法中转变能渗透到大多数其他思维方法里.因此，化归在中学里，是一种重要数学思想和基本数学方法.数学思维的转变方法即化归数学思想方法作为数学思想方法的重要组成部分，在现在中学数学教学各个部分中，均体现化归思想.现在数学教学里，越来越多的教师认识到化归的重要性，并且慢慢开始重视在日常教学中运用渗透化归数学思想.不过，在日常教学中教师仍然让学生们进行死板记忆所学知识点，没有将一个概念的产生及发展的过程抽象和概括出来，在解答问题时只重视得到结果，忽略对整个思路的分析及展示，无法将待解决问题归纳转化到化归数学思想方法中.因此化归数学思想方法的本质学生们无法了解，那对学生们化归数学思想的培养无法达到预期效果.通过对化归的数学思想方法进行研究性的学习，有利于培养和提高学生的创新意识，因为在通过对化归的数学思想方法进行研究时，学生就可以充分地掌握其中所包括的基本规则，从而培养他们具有与之相应的数学创新意识、创造力，化归的数学思想方法也将更加有利于促进学生对数学认知结构及迁移能力的改善和提高.教师在探求数学化归思想在教学中渗透时，会更注意化归数学思想方法在日常中的运用，并能把化归数学思想更好的融入中学教学里.因此通过研究化归，对教师保证数学课堂教学质量，学生提高平时学习效率和摆脱固定模仿等许多方面有不可忽视的意义.1.2化归数学思想的研究现状远在中国的古代，就有关于化归数学思想的记载.在《九章算术》中，尽管写的比较抽象，但提到过有很多数学问题，假如能把问题中各种率之间关系找出来，在通过乘使之散，齐同使之通，那么问题就可归结为今有术求解.在其中写道的出入相补原理，就充分的体现了化归数学思想；祖暅曾经首先提出过这样一条简单的原理：“幂势既同，则积不容异.”其中,在这条简单的原理中“幂”所指的其实就是一个水平的切面的积，“势”则实际上是用来表示其高.这条简单的原理其实意思就是：如果一个地方有两个几何体，它们的高相等，并且对于它们之间所有高相同的地方，其水平的切面都会有相同的面积，那么这两个几何体就能够说明它们具有相同的体积.其实这条几何原理也许我们可以简单地理解成：如果将一些书物叠起来放在一个水平的桌面上，然后再动动手去推几下就能够改变这堆书物的外形，但是这堆书物的高度并没有任何变化，所以这些书物的体积在变型之前都是完全相等的.祖暅不仅被认为是最早提出这个几何体原理的人，还顺利地把这一几何体原理运用于对圆球体积进行推理与计算.现在人们将此条原理统统地命名为祖暅原理.到如今，在任爽《中学数学中化归思想的研究》中，她通过历史发展的角度，将数学中的化归思想分别进行纵向和横向的对照分析，给出了几点我们如何在中学数学的教学中运用化归数学的提议：第一，教师应不断加深对基础知识的记忆以完备知识框架；第二，在课堂教学里有意识进行对学生解决待解问题能力的培养；第三，理解和掌握一些以化归数学思想为指导的数学答题方法.除此之外，杨文华在《化归思想方法在高中数学教学中的渗透》一文中，将化归数学思想方法渗透应用于立体几何、解析几何和代数等问题中，使他学习并掌握了在中学教学中渗透化归数学思想方法的一些知识和技巧：即一准二快三巧，准是对于概念、性质记忆要正确；快的前提之一就是我们要掌握所需要使用的内容，运算技能也要熟练；巧就是通过一些合乎道理的转化，巧妙的对其进行了化归.2化归数学思想的内涵与方法在中学数学里，化归是解决某些问题的重要手段和方法，它贯穿于整个中学数学.因此，要充分挖掘化归具体含义及其所蕴含的思维方法，且将化归数学思想渗透于教学里，使学生既能了解知识，又能在掌握知识时学习化归数学思想方法，并把这种思想能用于日常思考和分析里.2.1化归数学思想方法的内涵化归数学思想方法就是对待需要解决的未解问题，通过转化的方法，将待解决问题化归成相比较而言更方便解答或已经解答出的问题，使待解决的问题得以解决的一种解题方法.把陌生题目转化为自己熟悉的题目就使化归数学思想方法在数学里的目的，还可以是把复杂问题转换成比较简单的问题、把要解决问题转化成已经解出的题目.其实，在解决问题时，目的就是要缩小待解决和已解决问题之间的差别最终得到问题答案.它就是将一个未知的知识逐步变为一个已知的知识,求解一个系统对另一个目标体系不断地靠近的过程.在大多数思想方法里都包含着化归思想，处处都存在着化归这种思想方法.而且，化归思想方法不光是各种思考方式的基本，也是其他思想方式的灵魂.因此,化归数学思想方法常被视为解决问题的基础方法.2.2化归数学思想常见的方法要解决待解决的数学问题，探索过程通常便是利用已知某些条件将待解决问题进行一系列转化归结，最后达到将待解决问题解出的目的，并且某些时候，如果进行恰当转化，就能够准确并且迅速的解决待解决问题.但实际上，学生经常有这种感受：知道转化，也想转化，但却无法实现转化.所以，要实现正确转化，教师不光要引导学生掌握常见的转化手段、方法，还要引导他们总结转化归结方法，以提高平时的解题能力.以下给出几种主要的化归数学思想方法：换元法、转化思维角度法、构造法、分合法、特殊化手段.另外，还有很多种化归手段，如把某些实际问题通过利用数学理论转化成具体数学问题、映射法、等价转化法等等，它们可以使问题变得直观、具体、简单，以达到解题的目的.总之，解决数学待解决问题的原则，就是利用已知条件对待解决问题进行一系列恰当变换归结和解决，从而降低解决问题难度，灵活的变换能产生方法和速度，熟练而恰当的变换能准确解决问题.事实上，将化归数学思想渗透到待解决问题的事例有很多，但其所包含的方法不是仅仅几种类型就可以概括了，日常学习过程中，需要认真考虑各种不同问题，及时总结各种转化归结方法，这样学生解决问题的能力和灵敏性就会逐步提高了.2.2.1换元法对于换元法，是当我们需要解决这个问题时，根据已知条件特点性质引入新变量，对待解决问题进行变换形成用新变量表达的问题，并通过解决这个新问题，以达到解决原本问题的目的.其实，转化才是换元的本质，因此在进行换元的关键就是要建立一个构造元并重新设元，根据一个等量替代理论来变换所要研究的对象，将待解决的问题融入到一个新对象所包含的知识背景中去进行研究，这样就可以让复杂的问题更加简单易于处理.在换元法里，可以化分为整、化高阶为低阶，而且换元法对于方程、函数、不等式、数列、三角等诸多复杂问题的理论研究里，也可以具有非常广泛的实际应用.换元法包含形式有很多，但它们之间都有一共同原则，就是改变待解决问题结构以形成新问题，让待解决问题变得可以被解决，且换元法是化归数学思想里重要体现.换元计算方法中最主要的换元方法方式是:局部进行换元、三角进行二次换元、均值进行换元等等.比如，当遇到x＋y=S这种形式时，我们可以利用换元法中的均值换元形式，设x=S/2+t,y=S/2-t解决问题等.在采用换元法来解决这个问题时,应该严格遵守运算简单、利于标准化的基本原则,并且记住在换元后再次选取一个新的变量范围,且新变量的范围还得与原来变量所取值的范围相适应.换元法最神奇的一点就是可以简化运算.比如原来一层套一层的运算，直接计算的话非常复杂，甚至无法下手.但是经过换元之后，复杂计算就变为经常见到的加减乘除四则混合运算，换元法可以脱离线性思维的局限，让艺术的美感显露在数学中.2.2.2转化思维角度法转化思维角度，顾名思义，是一种转换视角思维.如果从发展的角度看问题，从多角度观察同一个现象，就会对这个事物有更全面的认识；如果从多层次、多方面、多角度思考同一个问题，可能会得到一个更完整的解决方案.在数学语言中，主要有符号语言、图形语言和文字语言.我们常常需要将一种语言“翻译”成另一种语言来解决所要解决的问题，以揭示命题实质特点，最后找回可以解决待解决问题的办法.因此，当用常规思维难以解决某些问题时，要考虑从其他角度来研究这问题.就像一些三角题和代数题中常含有潜在的几何背景，当我们通过利用其背景图形某些性质去进行分析时，它能使较抽象的概念和复杂的定量关系变得几何直观，从而使待解决问题的思路和结论便于找到.如果已知x,y满足式子(x-2)²-y²=3，求y/x最大值.虽然题目的给出形式是代数形式，但其背后却存在着较为明显的几何背景，即我们可以利用将代数语言变换为几何语言的方法，解决此问题.设y/x=K，即y=Kx，问题被我们转化为：要去找一点p，它不仅要在圆上，还满足它与原点连线斜率最大.做op切圆于点p，则Kop最大(如图2.1)，又因为tanθ=3½，所以原问题中y/x最大就为3½.像上面这个题目，我们通过将代数问题“翻译”成几何问题的转换思维，极大的简化了的题目的步骤、降低了解题的难度.2.2.3构造法构造法，就是根据题目中一个已知条件或者说明结论的基础和其本质、特征作为依据，构造出一个新的数学模型，且这个新的模型必须符合一个新的条件或者说明结论，最后通过运用构造得出的新数学模型去分析求解一个原本问题的一种方法.它在解决数学问题中，有着很宽泛的应用.构造可以划分为：数列的构造、图形的构造、反例的构造、结论的构造、数学关系的构造(例如：方程的构造、函数的构造、不等式的构造等)、复数或者向量的构造等.如果已知a，b，c是三个实数，且它们满足c²-ab-16，b=8-a这两个关系，则证明a与b相等.因为这个题目里有三个未知数,但由于只有两个方程,所以我们可以首把c消除,这样就把一个已知三元方程变换成关于ab的一元二次方程,又由于已有的条件当中都包含了ab和a+b，我们马上也能联想到韦达定律,那么我们就可以直接采用这点来做构造法,把已经知道的等式组合，来构造成一元二次方程,这样就开始可以用来去解a,b了.首先构造一个方程x²-8x+(c²+16)=0，且这个一元二次方程的两个解分别为a、b，解得x=4，则方程有两个相等实根4，因此得到a与b相等.运用构造法进行分析和解题时，必须具备丰富的数学常识，足够的逻辑联想能力，独特的观察、机敏的逻辑思考能力.不过，如果我们掌握了运用构造法来解决这个问题，有利于增强灵活运用和掌握数学的基础知识的能力，提升了分析和求解这个问题方面的水平，培养了创新能力和逻辑思维能力.2.2.4分合法分合法，就是在我们需要解决一个数学问题时，把解答问题中某个对象看作成一个整体，之后根据我们需要解决这个问题合理的需要，把这个整体再重新分解出来形成一个可以便于我们求解的几个部分，然后将各个部分所计算和求得的结果，进行恰当的排列和组合，使原本待解决的难题能够得到分析和求解的一种数学问题的方式.其实，在我们解题过程中，有些时候也会分解问题过程中的已知条件，然后将符合各部分的条件的对象的集合求出，那么这个时候时候，符合各个部分条件的那些对象的集合的交集就是要求得的解；但有的时候，是将问题直接作为要分解的对象，即是把整体分解成局部的和；还有的时候，是将问题看作是某一整体的其中一部分，这时就是把局部分解成整体和另一个局部的差.在分合法中，主要分为形体分割法、轨迹交会法、补集法等.例如，通过形体分割法，相对复杂的图案面积能利用已掌握的扇形、三角形等基本图形面积公式计算，弓形面积就等于所在扇形面积减三角形面积.如果关于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集是φ，则a的取值范围是？首先根据绝对值的几何意义，我们可以知道|x+2|+|x-1|表示的是数轴上的点x到-2与1的距离之和，并且其距离最小值为3，我们可以利用补集法反向考虑这个问题，因为当a>3时，解集就不能为φ，所以如果解集是φ，那么a取值范围应为a≤3.日常对分合法进行应用练习，对培养学生发散思维以及逆向思维能力有积极作用，如果灵活掌握此方法，可以提高学生的解题能力.2.2.5特殊化手段特殊化，是从考虑一组给定的集合到该集合一个较小子集或仅一个对象的过渡.如果我们的问题比较困惑或者是难以解决，我们就可以通过将这个问题进行特殊化的方法和手段，得出一般性的分析和结论并最终得到这个问题的正确答案，对症下药以得出这个问题的正确答案.特殊化比较常用的有特殊图像、特殊函数、特殊点法等.例如下面这个问题，常数a、b、c是否存在，且可以使等式1.2²+2.3²+…n·(n+1)²=n(n+1)/12·(an²+bn+c)对一切自然数都可以完全成立？其实这个问题是一道开放型题目，a、b、c很难直接被我们求出，因此我们考虑运用特殊取值法，又由n的任意性，取n=1，2，3带入原式，组成方程组后，可以通过上述方程组，求得a，b，c值，又因为求得的值并不具有一般性，所以最后我们还要通过数学归纳法来证明等式成立，即最后又将问题由特殊到一般的转化.通过将一个问题进行特殊化，其解题的困难大大降低，然后通过分析得出的结论，可以让其在解题的过程中变得更加简洁和自然.这个特殊化的意义就是可以广泛地适用于不同的题型里，尤其特别是像比较客观的题目，将这个题目进行特殊化可以有效地避免繁琐的逻辑思考和计算.通过对这个题目进行专门的特殊化分析和解答，还可以拓宽解题的思路，培养创新意识.3化归思想在中学数学教学中的渗透技巧“渗透”的形式是“教者有意，学者无心”，通过结合具体内容知识，不断反复向学生介绍化归数学思想，并通过不断积累和应用，不断提升学生对其认识和理解.不过以上提到的“反复”，并不代表说话时的重复解释说明，反复的目的其实是在学生头脑里产生对于化归的“思维定势”.3.1引导学生在掌握数学概念的过程中运用化归数学思想数学中得概念和定理蕴藏着丰富的化归数学思想方法.然而事实上，概念的分析形成和对定理方法证明的过程中大部分均是化归数学思想方法的典型实际应用，比如复数相等的概念包括了化归数学思想，即根据复数相等的定义，当实部、虚部分别分离情况下，复数范围问题可以转化为实数范围问题去进行处理.在进行概念和定理学习时，学生们就可以在此过程中形成一套固定且标准化的问题解决模式和方法，并且这是化归过程中的化归目标，因此，要把数学模型在教学中不断巩固，为学生可以找到化归策略奠定基础.因此，教师将基础的数学知识在课堂上讲授给每一个学生时，不能仅是把所有的知识都灌输给每一个学生，而是要求教师应该尽量充分调动他们逻辑思维的主动性，使他们能够可以在课堂中总结出化归的规律、理解其实质，提高他们的综合数学和逻辑能力.在中学数学中，很多定义概念都包括着化归思想.例如，在中学数理几何中“弦切角定理”的证明中，关于夹弧AB的弦切角∠CAB与圆周角∠ADB之间的关系（如图3.1），若直接验证其是否为相等，会比较困难，所以我们不能直接去证明；但是如果当弦AB为圆的直径时，可以比较简单的证明所得结论.因此，教师可以引导学生进行思考，通过作直径AE的方法，将这个问题化归成一个特殊情形，并且结合定理同弧所对的圆周角相等，便很容易得出结果.第二章所提到的特殊化法就渗透在此问题所运用的化归思想中，其蕴含了由一般化性变化为特殊性的思想，即特殊化往往主要表现在范围的收缩或局部限制，即从一个更加大规模问题向一个更加小规模问题进行过渡，或从某一类型问题向其某一子类型问题进行过渡.并且在这个问题的证明过程中，教师可以引导学生思考发现，因为运用了化归数学思想方法，让问题变得简单且可证.教师在平时教学活动中，要不断激发学生去大胆进行猜想，从特殊入手，去探寻解决问题有效方式和方法.3.2引导学生在解题过程中运用化归数学思想在数百年的数学发展中，关于很多问题的解决，都已经有了固定的模式和套路.但数学是变化无穷的学科，因此在我们跟学生探求问题答案的过程中，很多情况下都需要运用化归数学思想，把一些较复杂的问题转化为简单的问题去解决.在解决问题的过程中，通过一般的方法可以证明出某些结论，比如角相等、线段相等、线段垂直等.但有些结论比较特殊，但我们可以通过转化为一般结论来证明.比如在几何题中的关键是添加正确的辅助线，是解题难点，像函数y=f(x)图像与方程f(x)

=0的x轴交点横坐标就是方程的解，在解决数学问题时，如果要确定函数过程中某些变量，能将它们转换为求解这些变量所满足的方程，将要解决的函数问题用构造函数图像的方法，去形象的展现出来，然后通过求解方程得到最终解，这样提升了问题求解的效率.如果学生日常解题过程中能够理解并运用化归数学思想，许多问题也就迎刃而解了.总之，中学数学教学过程中，教师应把握好每一个教学内容，让化归数学思想不断渗透在教学过程里，让学生开始对数学的感性认识逐渐上升为理性认识，以便能更灵活地对待数学难题.例如，解方程组x+ay+a²z=a³；x+by+b²z=b³；x+cy+c²z=c³.这时学生会首先想到直接用三元一次方程组消元法去解题(略).但教师还可以引导学生考虑另一种解法，学生可以将原方程组改写为a³-a²z-ay-x=0；b³-b²z-by-x=0；c³-c²z-cy-x=0.考虑到方程根的定义,可以把a，b，c看作关于t的三次方程t³-zt²-yt-x=0三个根.通过回忆韦达定理得：abc=x，ab+bc+ac=y，a+b+c=z.原方程组解便解出了，为：x=abc，y=ab+bc+ca，z=a+b+c.当比较例题中两种解法时，可以发现，第一种方法作是通用的一般方法，但解题过程非常麻烦，需要大量的计算，费力还不能保证准确率，所以这种方法舍去；第二种方法，构造一个满足待解决问题条件的以t为自变量的三次方程，构造元素是a，b，c构造支架是由原方程转化得到的关系式“t³-zt²-yt-x=0”.这第二种解法里，利用第二章提到的化归数学思想方法中构造法，将问题中已知条件看为新问题的元素，数学里一些关系式是新问题的支架，在思维中“构建”一种新建筑物的方法在化归中具有一定意义.在解决问题时，这种思维创造性活动具有“构造”特点，我们可以把它称为构造性思维，运用构造性思维解题的方法，便就是构造法.也就是说，利用联想和化归思想去构造一些辅助图形模型、方程及函数，帮助解决原问题，这种解题方法可以视为化归中构造解题方法.在利用化归数学思想方法解决问题时，学生可以发现，如果一个题目的解决可以运用化归数学思想方法，那么从题目初始分析，到解答过程，最后得出结果，都是不断由繁到简，让题目里关系都逐渐明了，学生在解题时可以感受到步骤变得清晰，且能够按照逻辑一步一步得到问题答案.因此，化归数学思想在解题时是一种重要解题思维、一种基本思维策略.但是，要深入分析问题，找到化归方向，就要抓问题的关键点，注意考察问题意义，抓问题关键，而不是总想着一套解决问题的模式.只有这样，才能确定转化突破口，找到转换方法，实现问题解决.即通过进行这样的螺旋上升变式过程，学生能逐渐体会到化归数学思想的魅力.3.3引导学生在课后的知识归纳中运用化归数学思想 在教材里，通过采用蕴含信息披露的方法，将化归数学思想数学融入知识框架中.因此，教师很有必要在课后引导学生正确总结归纳和整理概括化归数学思想.所以，教师首先应该将概括化归数学思想正确的融入到教学规划中，引导学生有目的、有步骤的参与提炼和总结概括化归数学思想过程，尤其在章节结束或单元知识复习中，概括性的指出支配具体知识的化归数学思想方法，这样既能不断增强和提高学生运用化归数学的思想和解决方法的意识，也能促使学生对更好运用化归数学思想解决问题具体操作方法有更层次深理解，有利于培养和帮助学生形成独立分析、活学活用所学知识和解决问题的新思维能力.一般而言，归纳总结和运用化归数学思想方法大致可划分为两个步骤:一是揭示化归数学思想的内容原理和规律，即把新知识转换为旧知识去研究和学习，把新问题转化为已被解决的问题去研究和解决；二是进而阐述清楚化归数学思想方法与具体知识之间相关的关系，即将化归数学思想方法与具体知识的学习相结合进行研究和实践，实现从个别认识到一般认识的上升.比如，解方程(x²-2)²+(x²-2)-2=0和(x+2)/(x-1)+(x-1)/(x+2)=5/2，教师引导学生发现，相较于直接解出方程，运用第二章提到的化归数学思想方法里换元法，解决问题更容易，即把x²-2、x+2、x-1各看为一个整体带入原方程得到一个新方程，解出新方程那么原方程答案就解决出来了.在研究解决上述问题之后基础上，将那些已经能够充分利用换元法来解决的方程特点进行理论推广和分析，并由此概括出换元法可以把复杂方程转换成简单方程.即如果从简化的角度看，换元法是一种化归方法，将无法处理的代数式化归成我们熟悉的代数式，便可以将其纳入已知领域进行处理.所以学生可以清楚意识到，化归数学思想方法也是利用换元法进行来进行的一种高度概括.由此可见，在进行数学课堂教学的过程中，教师需要不断地总结化归的数学方法和解题的一般性原理，善于挖掘教材中所包含的化归数学思想，提炼其中所包含的思想.把这种化归数学思想的课堂教学融入到每一个环节，让学生真正体会到这种化归的数学思想所存在的形式和作用.并且能够在对定律和公式的探究与发现的过程中深化归思想，在数学概念的形成和实际应用的过程中渗透化归的数学思想，在对问题进行解决的过程中了解到化归的数学思想，在对知识点进行归纳整合总结的过程中概括化归的数学思想.使得学生逐步认识到，在数学中，新往往是转化为旧、复杂往往是转化为简单.4总结与反思本人通过以专家学者的相关理论为基础来研究化归数学思想方法在教学中的渗透技巧，所以关于此方面收获了很多，也发现了自己的不足之处.总结了大概几点如下：首先，化归数学的思想被广泛应用于数学的学习和研究中，重视这一理念在中学数学教学中的渗透，对于改变当前重结论轻过程、重知识轻方法的教学现状具有重要意义.其次，在将培养学生数学思维与教学同时进行，使其知识学习与能力培养相结合，需要一段时间训练和逐步渗透.教师不光培养