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文档简介

广东省深圳市四校发展联盟体2025届高考适应性考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.2.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.3.函数的图象可能是()A. B. C. D.4.若等差数列的前项和为,且,,则的值为().A.21 B.63 C.13 D.845.已知函数,方程有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合,则“函数有两个零点”是“”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,为坐标原点.若,则直线的斜率为()A. B. C. D.7.将函数图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线对称,则函数在上的值域是()A. B. C. D.8.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到次结束为止.某考生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围为()A. B. C. D.9.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°10.设函数满足,则的图像可能是A. B.C. D.11.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.A.360 B.240 C.150 D.12012.已知函数,,若对任意的总有恒成立,记的最小值为,则最大值为()A.1 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.14.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.15.设随机变量服从正态分布,若,则的值是______.16.集合,,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线:()的焦点到点的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,点、分别在第一和第二象限内,求的面积.18.(12分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.(1)求证:平面;(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.19.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.(1)若,,成等差数列,求的值;(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圆的半径为,求△ABC面积的最大值.22.(10分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点.记,则过原点作的切线,设切点为,则切线方程为,又切线过原点,即,将,代入解得.所以切线斜率为,所以或.故选:C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.2、A【解析】

阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.3、A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4、B【解析】

由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求,,然后结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】解:因为,,所以,解可得,,,则.故选:B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础题.5、A【解析】

作出函数的图象,得到,把函数有零点转化为与在(2,4]上有交点,利用导数求出切线斜率,即可求得的取值范围,再根据充分、必要条件的定义即可判断.【详解】作出函数的图象如图,由图可知,,函数有2个零点,即有两个不同的根,也就是与在上有2个交点,则的最小值为;设过原点的直线与的切点为,斜率为,则切线方程为,把代入,可得,即,∴切线斜率为,∴k的取值范围是,∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查了函数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,试题有一定的综合性,属于中档题.6、D【解析】

根据抛物线的定义,结合,求出的坐标,然后求出的斜率即可.【详解】解:抛物线的焦点,准线方程为,设,则,故,此时,即.则直线的斜率.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线斜率公式,属于中档题.7、D【解析】

由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果.【详解】解:把函数图象向右平移个单位长度后,可得的图象;再根据得到函数的图象关于直线对称,,,,函数.在上,,,故,即的值域是,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.8、A【解析】

根据题意,分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知,,,则解得,由可得,答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解,易错点为第三次发球分为两种情况:三次都不成功、第三次成功9、C【解析】

如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.10、B【解析】根据题意,确定函数的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.由得是偶函数,所以函数的图象关于轴对称,可知B,D符合;由得是周期为2的周期函数,选项D的图像的最小正周期是4,不符合,选项B的图像的最小正周期是2,符合,故选B.11、C【解析】

可分成两类,一类是3个新教师与一个老教师结对,其他一新一老结对,第二类两个老教师各带两个新教师,一个老教师带一个新教师,分别计算后相加即可.【详解】分成两类,一类是3个新教师与同一个老教师结对,有种结对结对方式,第二类两个老教师各带两个新教师,有.∴共有结对方式60+90=150种.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情,是先分类还是先分步,确定方法后再计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为.12、C【解析】

对任意的总有恒成立,因为,对恒成立,可得,令,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立,对恒成立,令,可得令,得当,当,,故令,得当时,当,当时,故选:C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题,解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】

先利用导数求切线的斜率,再写出切线方程.【详解】因为y′=-5e-5x,所以切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案为y=-5x+3.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是14、【解析】

采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为.故答案为:【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.15、1【解析】

由题得,解不等式得解.【详解】因为,所以,所以c=1.故答案为1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

分析出集合A为奇数构成的集合,即可求得交集.【详解】因为表示为奇数,故.故答案为:【点睛】此题考查求集合的交集,根据已知集合求解,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)因为,可得,即可求得答案;(2)分别设、的斜率为和,切点,,可得过点的抛物线的切线方程为:,联立直线方程和抛物线方程,得到关于一元二次方程,根据,求得,,进而求得切点,坐标,根据两点间距离公式求得,根据点到直线距离公式求得点到切线的距离,进而求得的面积.【详解】(1),,解得,抛物线的方程为.(2)由题意可知,、的斜率都存在,分别设为和,切点,,过点的抛物线的切线:,由,消掉,可得,,即,解得,,又由,得,,,同理可得,,,,,切线的方程为,点到切线的距离为,,即的面积为.【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题,解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式18、(1)见解析;(2).【解析】

(1)根据菱形的特征和题中条件得到平面,结合线面垂直的定义和判定定理即可证明;

2建立空间直角坐标系,利用向量知识求解即可.【详解】(1)证明:∵四边形是菱形,,平面平面,又是的中点,,又平面(2)∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.平面,∴直线与平面所成的角为,即.因为,则在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.则所以设平面的一个法向量为,则,可得,取平面的一个法向量为,则,所以二面角的正弦值的大小为.(注:问题(2)可以转化为求二面角的正弦值,求出后,在中,过点作的垂线,垂足为,连接,则就是所求二面角平面角的补角,先求出,再求出,最后在中求出.)【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解,属于中档题.19、见解析【解析】

(1)因为,,成等差数列,所以,由余弦定理可得,因为,所以,即,所以.(2)若B为直角,则,,由及正弦定理可得,所以,即,上式两边同时平方,可得,所以(*).又,所以,,所以,与(*)矛盾,所以不存在满足为直角.20、(1);(2)证明见解析【解析】

(1)将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可;(2)先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】(1)①当时,恒成立,;②当时,,即,;③当时,显然不成立,不合题意;综上所述,不等式的解集为.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)上述三式相加可得(当且仅当时取等号),,故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用,解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.21、(1)B(2)【解析】

(1)由已知结合余弦定理,正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB,进而可求B;(2)由已知结合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围,然后结合三角形的面

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