2024-2025学年安徽省马鞍山市高二上学期12月月考数学阶段检测试题（含解析）

2024-2025学年安徽省马鞍山市高二上学期12月月考数学阶段检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的准线方程是（

）A． B．C． D．2．已知数列满足，若，则（

）A． B． C．1 D．23．直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．4．已知等比数列的公比为正数，若，则（

）A． B． C． D．5．两圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．16．已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（

）A．， B．， C．， D．，7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．下列命题正确的是（

）A．若，则与，共面B．若，则共面C．若，则共面D．若，则共面10．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（

）A．直线l与圆C相交B．圆C被y轴截得的弦长为C．点C到直线l的距离的最大值是D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（

）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C． D．直线与双曲线有两个公共点12．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，且，则．14．已知双曲线（a，）的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.15．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么．16．已知实数x，y满足，则的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足的点P的轨迹方程．18．设数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．19．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）．(1)若，求直线l的方程；(2)求面积的最小值．20．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．(1)证明：直线平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．21．已知数列的前n项和满足，(1)求数列的通项公式；(2)若，，求使成立的正整数n的最小值．22．已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为，求的最大值.1．C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为故选：C2．B【分析】由，且，通过计算得到数列是以3为周期的周期数列，即可求出结果.【详解】因为数列满足，且，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：B.3．D【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程.【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．故选：D.4．C【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，因为，所以，而，所以，故选：C5．B【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，即，圆的圆心到公共弦的距离：，圆的半径，公共弦长．故选：B．6．C【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案.【详解】，当，时，，，且随着的变大，变大，当，时，，，且随着的变大，变大，故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C7．C【分析】以D为坐标原点，，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以D为坐标原点，，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点E到平面的距离为．故选：C8．D【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案．【详解】由于M在以为直径的圆上，故，设，则，，根据双曲线的定义，所以，所以，，所以，故在单调递增，当时，，当时，，所以，所以，故选：D．

9．ABD【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断.【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，所以共面；选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；选项D，由可得，则，即，则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；故选：ABD．10．ACD【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．【详解】由，则，得，即恒过定点，由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，所以，可得，故直线为，故D正确．故选：ACD．11．AD【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形，利用勾股定理求解判断；B.利用离心率为求解判断；解：C.利用离心率为，结合求解判断；D.由直线方程与双曲线方程联立，利用判别式判断.【详解】解：如图所示：因为，，所以，又，则，，由勾股定理得，解得，故A正确；则，所以渐近线方程为，故B错误；因为，所以，则，而，所以，所以，故C错误；由，消去x得，则，所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确，故选：AD12．AB【分析】根据数列的递推公式即可判断AC；利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断BD.【详解】对于A，因为，，，所以，，，，，故A正确；对于B，设数列的前项和为，，，故，故B正确；对于C，由A可知，，C错误；对于D，，，故，故D错误.故选：AB.关键点点睛：本题考查斐波那契数列的递推公式，以及其偶数项和奇数项的和的求解，处理问题的关键是通过递推公式，找到相邻项的和与差的关系.13．2【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.【详解】由于，所以，解得，故214．【分析】由题意可得，，焦点到渐近线的距离为，再结合，即可求出，得到该双曲线的方程．【详解】由题意可得，则，设其一焦点为，渐近线方程为，那么，而，解得，那么所求的双曲线方程为．故．本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用以及双曲线方程的求法，属于基础题．15．##0.75【分析】给出的两个数列为等差数列，把转化为两数列的前7项和的比得答案．【详解】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，，．故．16．【分析】先分析和的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列出关系式求解即可.【详解】.的几何意义为表示以点为圆心，为半径的圆.的几何意义为过点和点的直线斜率，点为以点为圆心，为半径的圆周上任一点.结合图形可知：当直线与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值.设直线的斜率为，则直线方程为：，即.令，解得：或，即的取值范围为，所以的取值范围为.故17．(1)圆心坐标为，圆C的半径为1．(2)【分析】（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径，（2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解.【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1．（2）设，则，．由于，则，整理得点P的轨迹方程为：．经检验，上的点都符合条件．18．(1)(2)．【分析】（1）根据时，，作差即可求解，（2）利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）因为，①故当时，．②①②得，所以．又当时，符合，从而的通项公式为．（2）记的前n项和为，由（1）知，则．19．(1)(2)2．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据向量的共线关系可得，即可结合韦达定理求解，或者利用抛物线的焦半径关系，结合图形关系，利用锐角三角函数即可求解，（2）根据面积公式以及韦达定理得表达式，即可根据二次函数的性质求解最值.【详解】（1）法一：抛物线的焦点为，设直线l的方程是．设，，，由得，显然，，，由可得：，则，由于，，所以，．l的方程为：即法二：作出抛物线的准线，设A，B在l上的射影分别是C，D，连接AC，BD，过B作于E．，设，，由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，．因此，中，，，则l的方程为：（2）当时即l的方程为：，此时的面积最小值为2．20．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线BM与底面ABCD所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可.【详解】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，如图．是PD的中点，，．由得，又，，，四边形BCEF是平行四边形，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB．（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则，，，，，设，则，．因为BM与底面ABCD所成的角为，是底面ABCD的法向量，，即．①又M在棱PC上，设，则，，．②由①②解得（舍去）或所以，从而．设是平面ABM的法向量，则即所以可取．于是．因此二面角的余弦值为．21．(1)；(2)5．【分析】（1）利用给定的递推公式，结合求出的通项公式.（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和并求解不等式即得.【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得：，而，解得，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可得，则，于是得，两式相减得，因此，即，解得，所以正整数n的最小值为5.22．(1)；(2)①证明见解析；②.