第06课有理数的乘方(原卷版+解析)

第6课有理数的乘方1、学习有理数的乘方的概念2、掌握有理数的乘方运算方法3、掌握有理数的混合运算知识点01乘方(1)定义:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.(2)记法和读法:一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,即=,读作a的n次方.当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂.【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方,例如2就是,通常，指数1省略不写.（2）当底数是负数或分数时,要用括号将底数括起来,在底数右上方写指数,指数要写得小一些.注意意义不同,同样的意义也不相同.知识点02乘方的运算（1）有理数乘方的符号法则：①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.②正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.（2）乘方的计算:乘方是一种特殊的乘法运算,可以利用有理数的乘法运算法则来进行有理数的乘方运算.【特别提醒】（1）任何一个有理数的偶次幂都是非负数,即(n为正整数);（2）1的任何次幂都是1,－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是l，即(3)(－a)n与－an的意义完全不同,(－a)n表示n个－a相乘，－an表示n个a相乘的积的相反数;(4)在进行幂的运算时一定要注意符号问题.知识点03有理数的混合运算(1)先乘方,再乘除,最后加减.(2)同级运算,从左到右进行.(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.【学霸提醒】1.适当运用运算律,改变运算顺序,尽量简化运算.2.带分数化成假分数,小数化为分数.【特别提醒】(1)“同级运算”是指加和减同级,乘和除同级,乘方和开方同级,其中开方以后会学到.(2)进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序,二要注意符号问题.(3)灵活地运用运算律,可以使运算快速、简便.知识点1乘方1．在中，是（）A．底数 B．指数 C．幂 D．乘方2．代数式可以表示为（

）A． B． C． D．n23．下面对的描述正确的是（）A．个相乘所得的积 B．后面有个C．后面有个 D．后面有个4．若一个幂的底数为5，指数为3，则这个幂写作______（只写形式，不计算结果）知识点2乘方运算5．下列各数中，数值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和6．在，，，，，，中，非负数的个数是……（）A．个 B．个 C．5个 D．个7．任何一个有理数的偶次幂必是（）A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数8．下列各式中，正确的是

）A． B．C． D．9．计算__________．10．已知，满足，则式子的值是________．11．已知，则的值为_______．12．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．13．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？

知识点3有理数的混合运算14．计算的结果为（）A． B． C． D．15．已知，，且，那么的值是____．16．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：，，，，17．计算：．18．计算：1．若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（）A． B． C． D．2．若为正整数，则的意义为（

）A．3个相加 B．5个相加 C．3个相乘 D．8个相乘3．下列算式中，结果与相等的是（）A． B． C． D．4．下列各数，，，中，其中最大数是（

）A． B． C． D．5．下列各组数中，数值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和6．已知为正整数，计算的结果是（）A．1 B．-1 C．0 D．27．已知，则的值为（

）A． B． C． D．8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（

）甲：

乙：丙：

丁：A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁9．在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（

）A． B． C． D．10．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（

）A． B． C． D．11．在中，底数是______，指数是______.计算：______.12．已知，则______________．13．计算：___________．14．若，则=___________．15．计算：．16．计算：17．计算18．计算：．19．计算：．20．小明做了如下一道有理数混合运算的题目：(1)请把小明第一步计算中错误的地方用一部运算的方式摘抄下来，并写出错误的原因．(2)请给出这道题的正确解答．

第6课有理数的乘方1、学习有理数的乘方的概念2、掌握有理数的乘方运算方法3、掌握有理数的混合运算知识点01乘方(1)定义:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.(2)记法和读法:一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,即=,读作a的n次方.当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂.【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方,例如2就是,通常，指数1省略不写.（2）当底数是负数或分数时,要用括号将底数括起来,在底数右上方写指数,指数要写得小一些.注意意义不同,同样的意义也不相同.知识点02乘方的运算（1）有理数乘方的符号法则：①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.②正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.（2）乘方的计算:乘方是一种特殊的乘法运算,可以利用有理数的乘法运算法则来进行有理数的乘方运算.【特别提醒】（1）任何一个有理数的偶次幂都是非负数,即(n为正整数);（2）1的任何次幂都是1,－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是l，即(3)(－a)n与－an的意义完全不同,(－a)n表示n个－a相乘，－an表示n个a相乘的积的相反数;(4)在进行幂的运算时一定要注意符号问题.知识点03有理数的混合运算(1)先乘方,再乘除,最后加减.(2)同级运算,从左到右进行.(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.【学霸提醒】1.适当运用运算律,改变运算顺序,尽量简化运算.2.带分数化成假分数,小数化为分数.【特别提醒】(1)“同级运算”是指加和减同级,乘和除同级,乘方和开方同级,其中开方以后会学到.(2)进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序,二要注意符号问题.(3)灵活地运用运算律,可以使运算快速、简便.知识点1乘方1．在中，是（）A．底数 B．指数 C．幂 D．乘方【答案】A【分析】根据“幂”的意义可得答案．【详解】解：中表示8个相乘，其中是底数，8是指数，故选：A．【点睛】本题考查有理数的乘方，理解幂的意义是正确判断的关键．2．代数式可以表示为（

）A． B． C． D．n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解：代数式可以表示为；故选：C.【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.3．下面对的描述正确的是（）A．个相乘所得的积 B．后面有个C．后面有个 D．后面有个【答案】B【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解．【详解】解：表示有n个10相乘，故1后面有n个0；故选B．【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．4．若一个幂的底数为5，指数为3，则这个幂写作______（只写形式，不计算结果）【答案】【分析】根据幂的底数和指数即可得出答案．【详解】解：这个幂写作，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数是解题的关键．知识点2乘方运算5．下列各数中，数值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答．【详解】解：A、，，二者数值不相等，不符合题意；B、，，二者数值不相等，不符合题意；C、，，二者数值相等，符合题意；D、和，二者数值不相等，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方法则和有理数的乘法法则是解题的关键．6．在，，，，，，中，非负数的个数是……（）A．个 B．个 C．5个 D．个【答案】C【分析】根据非负数的定义，即正数和零，及有理数多重符号的化简，绝对值的性质，乘方的运算方法即可求解．【详解】解：，，，∴非负数有：，，，，，个，故选：．【点睛】本题主要考查有理数的分类，掌握乘方的运算，绝对值的性质，多重符号的化简，及有理数的分类方法是解题的关键．7．任何一个有理数的偶次幂必是（）A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数【答案】D【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断．【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0，故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握．8．下列各式中，正确的是

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；D、，则此项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．9．计算__________．【答案】6【分析】分别根据有理数的乘方和有理数的绝对值计算每一项，进一步即可求出结果．【详解】解：．故答案为：6．【点睛】本题考查了有理数的乘方和有理数的绝对值，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是关键．10．已知，满足，则式子的值是________．【答案】1【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出a、b，再代值求解即可．【详解】解：∵，，，∴，，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性、有理数的混合运算和代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键．11．已知，则的值为_______．【答案】5【分析】根据幂的乘方法则把32转化为，根据已知条件即可的答案.【详解】∵，∴，故答案为5【点睛】本题考查了乘方，乘方是求几个相同因数积的运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键.12．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)2.25(3)(4)(5)8【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）（5）．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．13．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？

【答案】第次后可拉出根面条．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：，答：这样捏合到第6次后可拉出根面条．【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．知识点3有理数的混合运算14．计算的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先乘方，再根据有理数的乘除运算顺序和运算法则计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数的乘除法混合运算顺序和运算法则．15．已知，，且，那么的值是____．【答案】或/或【分析】利用绝对值和乘方的知识确定x、y的值然后计算即可解答．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，，当，时，，当，时，．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、绝对值的性质，有理数的加法等知识，解题的关键是确定x、y的值．16．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：，，，，【答案】数轴见解析，【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用小于号连接即可．【详解】解：，，，，如图所示：∴．【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小以及绝对值化简和乘方运算，关键是掌握在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．17．计算：．【答案】【分析】先算乘方，乘法，绝对值，最后算加减．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．18．计算：【答案】【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．1．若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，去列式即可．【详解】解：是底数，4是指数，这个算式是．故选：B．【点睛】本题考查了幂的构造，底数，指数，正确理解幂的意义是解题的关键．2．若为正整数，则的意义为（

）A．3个相加 B．5个相加 C．3个相乘 D．8个相乘【答案】C【分析】根据幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂，直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，表示3个相乘，故选C．【点睛】本题考查幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂．3．下列算式中，结果与相等的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据乘方的定义展开即可得．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握乘方的定义．4．下列各数，，，中，其中最大数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简各数，再比较大小即可得到答案.【详解】解：∵，，，而，∴最大数是，故选C【点睛】本题考查的是化简绝对值，乘方运算，化简多重符号，有理数的大小比较，熟练的掌握基础的运算法则是解本题的关键.5．下列各组数中，数值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题．【详解】解：A、因为，，所以和不相等，故A不符合题意；B、因为，，所以和相等，故B符合题意．C、因为，，所以和不相等，故C不符合题意．D、因为，，所以和不相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键．6．已知为正整数，计算的结果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．7．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，进而计算得出答案．【详解】解：，，，，，，故选：．【点睛】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键．8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（

）甲：

乙：丙：

丁：A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁【答案】C【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．【详解】解：，故甲的做法是错误的；，故乙的做法是错误的；，故丙的做法正确；，故丁的做法错误．故选：C．【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．9．在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数的运算法则，逐项代入计算并比较即可．【详解】解：A、；B、；C、；D、；∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题关键．10．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．【详解】解：∵，，，，，，…，∴尾数，，，的规律是4个数一循环，∵，∴的个位数字是，又∵，∴的结果的个位数字与的个位数字相同，∴的结果的个位数字是．故选：A．【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．11．在中，底数是______，指数是______.计算：______.【答案】34【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答．【详解】解：中，底数是3，指数是4，，故答案为：3，4，．【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键．12．已知，则______________．【答案】2【分析】把4写成即可求出m的值．【详解】解：∵且，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成是解答本题的关键．13．计算：___________．【答案】【分析】根据有理数运算法则计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．14．若，则=___________