数学知识导航：三角函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3三角函数的图象与性质知识梳理1.正弦函数的图象和性质(1）图象:如图1—图1(2)性质定义域：R.值域：[-1，1].当x=2kπ+(k∈Z）时，y取最大值1；当x=2kπ-(k∈Z)时,y取最小值-1.周期性：周期函数，周期为2π。奇偶性:奇函数.单调性:单调递增区间是［2kπ—,2kπ+]；单调递减区间是[2kπ+,2kπ+］（k∈Z)。2。周期函数一般地,对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，总有f(x+T)=f(x）,那么函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期。规定：在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.3。四种变换画图方法(1）振幅变换：对于函数y=Asinx(A＞0,A≠1)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的。(2）周期变换：对于函数y=sinωx(ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长(当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变)而得到的。(3)相位变换:对于函数y=sin（x+φ)，（φ≠0）的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0时)或向右（当φ＜0时)平行移动|φ｜个单位得到的.（4）平移变换：对于函数y=sinx+b的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向上（当b＞0时）或向下(当b＜0时）平行移动|b｜个单位得到的.4。正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0，ω＞0)的图象和性质(1)有关概念:在正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中，A叫振幅，T=叫周期,f=叫频率，ωx+φ叫相位,φ叫初相.(2）正弦型函数的图象常见画法：五点法和变换法。五点法步骤：①列表(ωx+φ通常取0，,π，，2π这五个值)；②描点；③连线。变换法：（常用的变换步骤)①(相位变换)先把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ＞0时）或向右(当φ＜0时）平行移动|φ|个单位,得函数y=sin(x+φ）的图象；②（周期变换)再把函数y=sin（x+φ）的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变)，得函数y=sin(ωx+φ）的图象；③(振幅变换）再把函数y=sin(ωx+φ）的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变），得函数y=Asin（ωx+φ）的图象；④(上下平移变换)再把函数y=Asin(ωx+φ）的图象上所有点向上(当b＞0时）或向下（当b＜0时）平行移动｜b|个单位，得函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.(3)性质：定义域:R。值域：［—A，A]。当x=(k∈Z)时,y取最大值A+b；当x=(k∈Z）时，y取最小值—A+b。周期性：周期函数，周期为.奇偶性:当且仅当φ=kπ（k∈Z）且b=0时，函数y=Asin(ωx+φ)+b是奇函数，否则不是奇函数;当且仅当φ=kπ+（k∈Z）时,函数y=sin（ωx+φ)+b是偶函数.单调性：单调递增区间是［，］(k∈Z)；单调递减区间是［,](k∈Z）5。余弦函数、正切函数的图象和性质y=cosxy=tanx图象定义域R{x|x≠kπ+，k∈Z}值域［-1，1］当x=2kπ(k∈Z）时，y最大值为1R(无最大值，无最小值)当x=2kπ+π（k∈Z)时，y最小值为—1周期性2ππ奇偶性偶函数奇函数单调性在[（2k—1)π,2kπ］上是增函数;在［2kπ,(2k+1)π］上是减函数（k∈Z)在（—+kπ,+kπ)上是增函数(k∈Z)6。用arccsinx,arccosx,arctanx表示角当sinα=x，x∈[-1,1],α∈[-,］时，α=arcsinx;当cosα=x，x∈［-1，1],α∈［0,π]时,α=arccosx；当tanα=x，x∈R,α∈（-,)时，α=arctanx。知识导学学好本节有必要复习三角函数的定义和三角函数线，这是讨论三角函数性质、画三角函数图象的基础。在学习中，重视应用化归的数学思想，自觉地运用数形结合解决三角问题。疑难突破1。如何理解arcsinx、arccosx、arctanx?剖析：疑点是这三个符号到底是表达了什么，arcsinx=(arc)×（sinx)吗?其突破方法是明确这三个符号是如何规定的.（1）根据正弦函数的图象及性质，为了使符合条件sinx=a（-1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择区间［-,］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件sinx=a（—1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦,记作x=arcsina.因此arcsina,x∈［-1，1］表示在[—,］上正弦值为a的角,即arcsina∈[—,]，且sin(arcsina)=a,a∈［—1，1］。例如：arcsin表示在[—，］上正弦值为的一个角，由于在［-,］上正弦值为的角仅有，则arcsin=.（2）根据余弦函数的图象及性质，为了使符合条件cosx=a（-1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择区间［0,π]作为基本范围，在这个闭区间上符合条件cosx=a（-1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作x=arccosa，即arccosa=x,a∈[—1,1]，表示在[0，π]上余弦值为a的角，即arccosa∈［0，π］,且cos(arccosa)=a,a∈［—1,1］。例如：arccos(-）表示在［0，π］上余弦值为-的一个角，由于在［0,π］上余弦值为—的角仅有，则有arccos(-)=。(3）根据正切函数图象及性质,为了使符合条件tanx=a(a∈R)的角x有且只有一个，选择区间（—,）作为基本范围，在这个区间内，符合条件tanx=a（a∈R)的角x，叫做实数a的反正切,记作x=arctana,即arctana∈R，表示在（—，)上,正切值为a的唯一角,即arctana∈（-，）,且tan（arctana）=a，a∈R.例如：arctan（—1）表示在(—,）上正切值为—1的一个角,由于在(—,）上正切值为-1的角仅有-，则有arctan（-1）=-。由此可见:arcsinx、arccosx、arctanx都是角；并且这些角都分别在特定范围内；它们的同名三角函数值等于x。arcsinx不能写成（arc)×（sinx）,arccosx不能写成(arc)×（cosx）,arctanx不能写成(arc）×(tanx)，也就是这三个符号是一个整体，如果拆开,就没有什么意义了。2.由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数y=sin（ωx+φ）(ω＞0）的图象?剖析:由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径.途径一：先相位变换，再周期变换先将y=sinx的图象向左(φ＞0）或向右（φ＜0)平移｜φ|个单位;再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得y=sin(ωx+φ)的图象.途径二：先周期变换，再相位变换先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变)；再将得到的图象沿x轴向左（φ＞0）或向右(φ＜0）平移个单位，便得y=sin(ωx+φ)的图象。疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同。其突破口是化归到由函数y=f(x）的图象经过怎样的变换得到函数y=f（ωx+φ)的图象。只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。若按途径一有:先将y=f（x）的图象向左（φ＞0）或向右(φ＜0)平移｜φ|个单位，得函数y=f(x+φ）的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=f（ωx+φ）的图象.若按途径二有:先将y=f（x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数y=f(ωx)的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点沿x轴向左（φ＞0)或向右(φ＜0）平移个单位，得y=f(ωx+φ)的图象。若将y=f（x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图象；再将函数y=f（ωx）的图象上各点沿x轴向左（φ＞0）或向右（φ＜0)平移|φ|个单位，得到y=f[ω(x+φ)]的图象，即函数y=f(ωx+ωφ)的图象，而不是函数y=f(ωx+φ）的图象。例如：由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(2x+）的图象?方法一:(先相位变换,再周期变换）先将y=sinx的图象向左平移个单位得函数y=sin（x+)；再将函数y=sin（x+）图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=sin（2x+)的图象.方法二:(先周期变换,再相位变换）先将f（x)=sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数f（2x）=sin2x的图象；再将函数f(2x）=sin2x的图象上各点沿x轴向左平移个单位，得f［2（x+）]=sin2（x+)的图象,即函数y=si