数学章末测试第二章圆锥曲线与方程A

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷（选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x＝－7,则抛物线的标准方程为（）A．x2＝－28yB．y2＝28xC．y2＝－28xD．x2＝28y2．设P是椭圆eq\f（x2，25）＋eq\f（y2，16）＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则｜PF1|＋｜PF2|等于(）A．4B．5C．8D．103．以椭圆eq\f（x2，16）＋eq\f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2，48)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27）＝1 C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1或eq\f（y2，9)－eq\f（x2，27）＝1 D．以上都不对4．椭圆eq\f（x2,25)＋eq\f(y2，9）＝1上一点P到两焦点的距离之积为m,则m取最大值时，P点坐标是（)A．(5，0）或（－5,0) B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5，2)，\f（3\r(3)，2)）)或eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5,2），－\f（3\r(3）,2)))C．（0，3)或(0，－3） D.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5\r(3)，2），\f(3，2)）)或eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(5\r（3）,2)，\f(3，2）））5．双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(）A．2 B。eq\r（3） C。eq\r(2) D.eq\f（3，2）6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（)A．(－2,1）B．(1,2）C．(2，1)D．（－1，2)7．设双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a＞0，b＞0）的离心率为eq\r(3)，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为（)A.eq\f（x2，5）－eq\f(y2，6）＝1B。eq\f（x2，7）－eq\f（y2，5)＝1 C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2，6)＝1D.eq\f（x2,4)－eq\f（y2,3)＝18．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上,且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点（)A．（4，0)B．(2，0)C．(0,2）D．(0，－2）9．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1,d2，焦点为2c，若d1，2c，d2成等差数列,则椭圆的离心率为()A。eq\f（1，2）B.eq\f（\r(2)，2）C.eq\f(\r(3），2)D。eq\f（3，4)10．已知F是抛物线y＝eq\f（1,4)x2的焦点,P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（)A．x2＝y－eq\f(1，2） B．x2＝2y－eq\f（1,16）C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2第Ⅱ卷（非选择题共50分)二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分,共25分．把答案填在题中的横线上)11．若双曲线eq\f(x2,4）－eq\f(y2,b2）＝1(b＞0）的渐近线方程为y＝±eq\f(1，2）x，则b等于__________．12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点（4，0)，离心率为eq\f(\r（3）,2），则椭圆的标准方程为__________．13．椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为eq\r(3),则这个椭圆方程为__________．14．已知过点(－2,0）的直线l和抛物线C：y2＝8x有且只有一个公共点，则直线l的斜率取值集合是__________．15．过双曲线C：eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0,b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线,切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为__________．三、解答题（本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距,且离心率为eq\f(\r（5），5)的椭圆的标准方程．17．（6分)已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及｜P1P2|.18．(6分)已知椭圆方程为eq\f（x2，9）＋eq\f（y2，4)＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A（a，0)（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1？若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在,说明理由．19．（7分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e。(1）若直线l的倾斜角为eq\f(π,3)，且恰好经过椭圆C的右顶点,求e的大小;（2)在(1）的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点,且过A，B,F三点的圆恰好与直线l：x＋eq\r（3)y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．参考答案1。解析:由条件可知eq\f（p,2)＝7,所以p＝14，抛物线开口向右,故方程为y2＝28x。答案:B2。解析：由题可知a＝5，P为椭圆上一点，所以｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10。答案：D3。解析：当顶点为（±4，0)时，a＝4,c＝8，b＝eq4\r(3），双曲线方程为eq\f(x2，16)－eq\f（y2,48）＝1；当顶点为(0，±3）时，a＝3,c＝6，b＝eq3\r(3），双曲线方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1。答案：C4.解析:因为|PF1｜＋|PF2｜＝2a＝10，所以｜PF1|·|PF2｜≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（|PF1｜＋|PF2｜，2)))2＝25.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.答案:C5。解析：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1的两条渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，依题意eq\f(b，a)·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（b,a）))＝－1，故eq\f（b2，a2)＝1,所以eq\f(c2－a2,a2)＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝eq\r（2）.答案：C6。解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知，｜PF|＝｜PN｜,所以|AP|＋｜PF｜＝|AP｜＋｜PN｜≥｜AN1|，当且仅当A,P，N三点共线时取等号，所以P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，即可排除A,C，D项，故选B。答案：B7。解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3.由题意,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（c＝3，,\f(c,a)＝\r（3），，c2＝a2＋b2,）)解得a2＝3，b2＝6，故所求双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1。答案：C8。解析：直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点（2,0）．答案:B9.解析:由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，又由d1，2c，d2成等差数列，所以4c＝d1＋d2＝2a,所以e＝eq\f（c,a）＝eq\f（1,2）.答案：A10。解析：由y＝eq\f（1,4)x2x2＝4y，焦点F(0,1），设PF中点Q(x,y），P(x0，y0),则所以x2＝2y－1.答案：C11.解析：由题意知eq\f（b，2)＝eq\f（1，2)，解得b＝1.答案：112。解析：若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝eq\f(\r(3)，2)，可得c＝eq2\r(3)，所以b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为eq\f（x2,16)＋eq\f(y2，4)＝1.若焦点在y轴上，则b＝4，由e＝eq\f(\r（3），2）,可得eq\f(c，a）＝eq\f(\r（3），2)，所以c2＝eq\f(3,4）a2.又a2－c2＝b2，所以eq\f(1，4)a2＝16，a2＝64.所以椭圆方程为eq\f（x2，16）＋eq\f（y2，64)＝1。答案：eq\f(x2，16）＋eq\f(y2，64)＝1或eq\f(x2，16)＋eq\f（y2，4）＝113.解析:由题意知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a－c＝\r(3),,\f(c，a）＝\f（1，2),)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r（3），，c＝\r（3),)）所以椭圆方程为eq\f(x2，12）＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f（y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1。答案：eq\f（x2,12）＋eq\f(y2,9）＝1或eq\f（y2,12）＋eq\f(x2,9)＝114.解析：设直线l的方程为y＝k(x＋2),将其与抛物线方程联立，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝8x，，y＝k（x＋2），）)①消去y，得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0。②（1）当k＝0时，x＝0，从而y＝0，方程组①只有一组实数解，从而直线l与抛物线只有一个公共点；（2)当k≠0时,令判别式Δ＝（4k2－8）2－16k4＝－64k2＋64＝0，可解得k＝±1，此时方程②有两个相等的实数解，代入方程组①中的第二个方程，知方程组①仅有一组实数解，从而直线l与抛物线只有一个公共点．综上知直线l的斜率的取值集合是｛－1，0,1}．答案：{－1,0,1}15．解析：如图,设双曲线一个焦点为F，则△AOF中，|OA｜＝a，｜OF｜＝c，∠FOA＝60°。所以c＝2a，所以e＝eq\f（c，a)＝2.答案：216.解:把方程4x2＋9y2＝36写成eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,4）＝1，则其焦距2c＝eq2\r(5），所以c＝eq\r（5)。又e＝eq\f（c,a)＝eq\f（\r(5）,5），所以a＝5，b2＝a2－c2＝52－5＝20。故所求椭圆的方程为eq\f（x2，25）＋eq\f（y2,20）＝1，或eq\f（y2,25)＋eq\f(x2，20)＝1。17。解：设直线上任意一点坐标为(x，y），弦两端点P1(x1，y1),P2（x2，y2）．因为P1，P2在抛物线上，所以y21＝6x1,y22＝6x2.两式相减,得（y1＋y2)（y1－y2)＝6（x1－x2)．因为y1＋y2＝2，所以k＝eq\f（y1－y2,x1－x2）＝eq\f(6，y1＋y2）＝3。所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x,,y＝3x－11，））得y2－2y－22＝0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－22。所以|P1P2｜＝eq\r（1＋\f(1,9)）×eq\r（22－4×（－22)）＝eq\f（2\r（230）,3）。18.解：设存在点P(x，y）满足题设条件,则｜AP|2＝(x－a）2＋y2.因为eq\f(x2,9）＋eq\f（y2,4）＝1，所以y2＝4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（x2，9)））.所以|AP|2＝（x－a）2＋4eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（x2,9))）＝eq\f（5，9)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(9,5）a）)2＋4－eq\f(4,5)a2.因为｜x｜≤3，又0＜a＜3,当eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（9，5)a)）≤3，即0＜a≤eq\f（5,3)时，｜AP｜2的最小值为4－eq\f（4,5）a2.依题意，得4－eq\f（4,5）a2＝1,所以a＝±eq\f(\r(15），2)eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（5,3）))。当eq\f(9，5)a＞3，即eq\f(5，3）＜a＜3时，此时x＝3,|AP|2取最小值（3－