2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.3 实际问题与二次函数 课后能力提升专练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.3实际问题与二次函数课后能力提升专练(含答案)22．3实际问题与二次函数1．一个正方形的面积是25cm2，当边长增加acm时，正方形的面积为Scm2，则S关于a的函数关系式为__________．2．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为y元，则y与x的关系式为____________．3．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是________cm2.4．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，设矩形面积为S(单位：平方米)，一边长为x(单位：米)．(1)S与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为____________；(2)当x＝________时，矩形场地面积S最大？最大面积是________平方米．5．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋bx来描述，已知水流的最大高度为20米，则b的值为()A．2eq\r(10)B．±2eq\r(10)C．－2eq\r(10)D．±10eq\r(2)6．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图22­3­4.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()图22­3­4A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值7．如图22­3­5，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m、宽AB为2m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m、宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．图22­3­58．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图22­3­6所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m,2.5m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为()图22­3­6A．1.5mB．1.625mC．1.66mD．1.67m9．(改编题)某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润y(单位：元/千度)与电价x(单位：元/千度)的函数关系式为y＝－eq\f(1,5)x＋300(x≥0)．(1)当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(单位：元/千度)与每天用电量m(单位：千度)的函数关系为x＝10m＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？10．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)之间的对应关系如图22­3­7所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(单位：元)与销售单价x(单位：元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．图22­3­7

参考答案1．S＝a2＋10a＋252.y＝173(1－x%)23．44．(1)－x2＋30x0<x<30(2)152255．B6.D7．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又∵抛物线过点(4,2)，则16a＋6＝2，∴a＝－eq\f(1,4).抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,4)x2＋6.(2)当x＝2.4时，y＝－eq\f(1,4)x2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过隧道．8．B9．解：(1)当电价x＝600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y＝－eq\f(1,5)×600＋300＝180(元/千度)．(2)设工厂每天消耗电产生利润为W元，由题意，得W＝my＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)x＋300))＝meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)10m＋500＋300)).化简配方，得W＝－2(m－50)2＋5000.由题意，m≤60，∴当m＝50时，W最大＝5000.即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生最大利润为5000元．10．解：(1)y是x的一次函数，设y＝kx＋b，∵图象过点(10,300)，(12,240)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝300，,12k＋b＝240.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－30，,b＝600.))∴y＝－30x＋600.当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120.即点(14,180)，(16,120)均在函数y＝－30x＋600图象上．∴y与x之间的函数关系为y＝－30x＋60.(2)w＝(x－6)(－30x＋600)＝－30x2＋780x－3600.即w与x之间的函数关系式为w＝－30x2＋780x－3600.(3)由题意，得6(－30x＋600)≤900，解得x≥15.x＝－30x2＋780x－3600图象对称轴为x＝－eq\f(780,2×－30)＝13.∵a＝－30<0.∴抛物线开口向下．当x≥15时，w随x增大而减小．∴当x＝15时，w最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．26.3实际问题与二次函数(一)知识点1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。2、抛物线的顶点是它的最高（低）点，当x=时，二次函数有最大（小）值y=。一、选择题1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A、B、C、D、2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品的售价为x元，则可卖处(350－10x)件商品。商品所获得的利润y元与售价x的函数关系为（）A、B、C、D、3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（）A、130元B、120元C、110元D、100元4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数（t单位s，h单位m）可用来描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（）A、0.71sB、0.70sC、0.63sD、0.36s5、如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数图像大致为（）ABCD第5题6、已知二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、47、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）ABCD第7题8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A、x=10,y=14B、x=14,y=10C、x=12,y=15D、x=15,y=12第6题第8题二、填空题1、已知卖出盒饭的盒数x（盒）与所获利润y（元）满足关系式：，则卖出盒饭数量为盒时，获得最大利润为元。2、人民币存款一年期的年利率为x，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期存款储蓄转存。如果存款额是a元，那么两年后的本息和y元的表达式为(不考虑利息税)。11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式。3、已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当时，x的值=.

4、如图，抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为14、如图，点P在抛物线y=x2－4x+3上运动，若以P为圆心，为半径的⊙P与x轴相切，则点P的坐标为。5、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．三、解答题1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=－2x+80。设这种产品每天的销售利润为y（元）。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。问（1）该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间的函数关系式；（2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。4、（2010，黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）5、（2012，长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：。（年获利=年销售收入－生产成本－投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。（选作）

参考答案一、选择题1、D2、B3、B4、D5、D6、B7、B8、D二.填空题1、6002400002、3、4、5、0.166、（－2,1）7、3三．解答题1、解：设每天的房价为60+5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30－x个房间．∴度假村的利润y=（30－x）（60+5x）－20（30－x），其中0≤x≤30．∴y=（30－x）•5•（8+x）=5（240+22x－x2）=－5（x－11）2+1805．因此，当x=11时，y取得最大值1805元，即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。2、解：（1）y=（x－20）w=（x－20）（－2x+80）=－2x2+120x－1600，∴y与x的函数关系式为：y=－2x2+120x－1600；（3分）（2）y=－2x2+120x－1600=－2（x－30）2+200，∴当x=30时，y有最大值200，∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（6分）（3）当y=150时，可得方程：－2（x－30）2+200=150，解这个方程，得x1=25，x2=35，（8分）根据题意，x2=35不合题意，应舍去，∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．3、解：（1）把点（3，9），（4，16）代入函数关系式：解得：∴y=－x2+14x－24（2）当时，∴7月份获得最大利润，最大利润是25万元．（3）当y=0时，有方程：x2－14x+24=0解得：x1=2，x2=12．所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数，因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份．4、解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50，答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x，当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x∴y=600x(0≤x≤10，且x为整数)−10x2+700x(10＜x≤50，且x为整数)200x(x＞50，且x为整数)（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=35时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元．5、解：（1）∵25＜28＜30，y＝40−x(25≤x≤30)25−0.5x(30＜x≤35)∴把x=28代入y=40－x得，∴y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）①当

25≤x≤30时，W=（40－x）（x－20）－25－100=－x2+60x－925=－（x－30）2－25，故当x=30时，W最大为－25，即公司最少亏损25万；②当30＜x≤35时，W=（25－0.5x）（x－20）－25－100==故当x=35时，W最大为－12.5，即公司最少亏损12.5万；对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）①当

25≤x≤30时，W=（40－x）（x－20－1）－12.5－10=－x2+61x－862.5≥67.5，－x2+61x－862.5≥67.5，化简得：x2－61x+930≤0

解得：30≤x≤31，当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30；②当30＜x≤35时，W=（25－0.5x）（x－20－1）－12.5－10=化简得：x2－71x+1230≤0

解得：30≤x≤41，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30≤x≤35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．26.3实际问题与二次函数（二）知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。一、选择1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=－2x2B．y=2x2C、D、第1题第2题第3题第4题2、有长24m的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm，面积是sm2，则s与x的关系式是（）A、B、C、D、3、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A、B、C、D、4、在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）A、y=（60+2x）（40+2x）B、y=（60+x）（40+x）C、y=（60+2x）（40+x）D、y=（60+x）（40+2x）5、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A、B、C、D、6、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（）A、y=36（1－x）B、y=36（1+x）C、D、7、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A、B、C、D、第5题第7题第8题8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=－x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A、4米B、3米C、2米D、1米二、填空题1、一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数解析式是2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为第10题第13题第14题第15题3、二次函数中，，且x=0时y=4,则y的最（大或小）值=4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是5、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8,9），则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出约米。6、如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是米。7、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外。8、某文具店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售（6－x）个，则当x=时，一天出售这种文具盒的总利润y最大。9、某一型号的飞机着陆后滑行的距离y（米）与滑行时间x（秒）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行米才能停下来。10、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC,BC为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是。三、解答题1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x的变化而变化。（1）请直写出S与x之间