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文档简介

2023届江苏省无锡市普通高中高三第一次测试数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.2.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.3.设实数、满足约束条件,则的最小值为()A.2 B.24 C.16 D.144.在直三棱柱中,己知,,,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.5.百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数:141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A. B. C. D.6.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.47.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知双曲线的一个焦点为,且与双曲线的渐近线相同,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.9.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则;其中真命题的个数为()A. B. C. D.10.在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的范围是()A. B.C. D.11.设,则(

)A.10 B.11 C.12 D.1312.设直线过点,且与圆:相切于点,那么()A. B.3 C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是__________.14.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB15.已知椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________.16.已知数列满足:,,若对任意的正整数均有,则实数的最大值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆与x轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.18.(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,19.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.20.(12分)已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;(2)已知点,直线与曲线交于、两点,求.21.(12分)在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为(,为常数),离心率等于0.8,过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若时,,求实数;⑶试问的值是否与的大小无关,并证明你的结论.22.(10分)如图,四棱锥中,底面是菱形,对角线交于点为棱的中点,.求证:(1)平面;(2)平面平面.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.2.C【解析】

设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.3.D【解析】

做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.4.C【解析】

由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,,解得从而得出异面直线与所成的角.【详解】连接,,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.5.A【解析】

由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况,用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.【详解】由题意可知当1,2同时出现时即停止摸球,则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种:142,112,241,142,412.则恰好第三次就停止摸球的概率为.故选:A.【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算,属于基础题.6.D【解析】

模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.7.A【解析】

化简复数,求得,得到复数在复平面对应点的坐标,即可求解.【详解】由题意,复数z满足,可得,所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何表示方法,其中解答中熟记复数的运算法则,结合复数的表示方法求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.8.B【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程,结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同,且焦点在轴上,∴可设双曲线的方程为,一个焦点为,∴,∴,故的标准方程为.故选:B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程,易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.9.C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面,那么另一条也垂直于这个平面知①正确;当直线平行于平面与平面的交线时也有,,故②错误;若,则垂直平面内以及与平面平行的所有直线,故③正确;若,则存在直线且,因为,所以,从而,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理,是一道基础题.10.D【解析】试题分析:由已知可得有两个不等实根.考点:1、余弦定理;2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理,函数的极值,涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根,从而可得.11.B【解析】

根据题中给出的分段函数,只要将问题转化为求x≥10内的函数值,代入即可求出其值.【详解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故选:B.【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值,属于基础题.12.B【解析】

过点的直线与圆:相切于点,可得.因此,即可得出.【详解】由圆:配方为,,半径.∵过点的直线与圆:相切于点,∴;∴;故选:B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算,考查圆的方程,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.14.-7【解析】

由题意得AB+【详解】由题意得ABBC+∴AB+【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量的加减运算,将所给向量统一用AC,15.【解析】

先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可.【详解】解:因为椭圆,则焦点为,又因为椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,在椭圆中:由椭圆的定义:在双曲线中:,所以双曲线的实轴长为:,实半轴为则双曲线的离心率为:.故答案为:【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.16.2【解析】

根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.【详解】因为,累加可得.若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.所以.当时,证明:对任意的正整数都有.当时,成立.假设当时结论成立,即,则,即结论对也成立.由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.综上可知,所求实数的最大值是2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)直线恒过定点,详见解析【解析】

(1)依题意由椭圆的简单性质可求出,即得椭圆C的方程;(2)设直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标,同理可求出点的坐标,根据的坐标可求出直线的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)设直线的方程为:,则∴或,∴,同理,当时,由有.∴,同理,又∴,当时,∴直线的方程为∴直线恒过定点,当时,此时也过定点..综上:直线恒过定点.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系应用,定点问题的求法等,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于难题.18.(1)列联表见解析,有把握;(2)分布列见解析,.【解析】

(1)根据频率分布直方图补全列联表,求出,从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关.(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,则抽中男教工:人,抽中女教工:人,从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.【详解】解:(1)由题意得下表:男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.(2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工,所以的可能取值为0,1,2.且,,,所以的分布列为012【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19.(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.20.(1).(2)【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标互化公式,以及消去参数,即可求解;(2)设两点对应的参数分别为,,将直线的参数方程代入曲线方程,结合根与系数的关系,即可求解.【详解】(1)对于曲线的极坐标方程为

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