湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

衡阳县四中2024-2025学年上学期高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A=x∈N∗x2−2x−3≤0，A．{−1,0,1,2} B．{0,1,2} C．{1,2} D．{1,2,3}2．已知复数z=1−i2+2i，则A．i B．−i C．0 D．3．“x>y>1”是“x−1y>y−1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知平面向量a,b满足a⋅(a−b)=2，且aA．π6 B．2π3 C．π5．在x3−2A．−4 B．4 C．−32 D．326．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f(x)=x|x|−1的图象大致形状是（A． B．C． D．7．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（

）A．33 B．233 C．48．已知圆x2+y2−2x+2y+a=0截直线x+y−4=0A．2−17,2+17C．−15,+∞ D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若SA．当n=9时，SnB．使得Sn<0C．aD．数列Sna10．已知函数f(x)=sinωx+acosωx(ω>0)的最大值为A．ω=1B．函数y=fx−C．y=f(x)在[0,m]上有4个零点，则13D．当x∈0,π3时，函数11．已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(1+y)+f(y)f(1+x)，且f(1)=1，f(−1)=−1，则（

）A．f(0)=0 B．f(x+2)=−f(x)C．n=12024f(n)=2024 D．对任意第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知m>0，n>0，且m+n=1，则mn8m213．已知双曲线x2a2−y14．对∀x∈R，都有fx=x4四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列an的前n项和为S(1)求an(2)若等比数列bn满足b1=a2,b16．（15分）已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=BB1=2

(1)证明：A1E⊥平面(2)求平面ABC1与平面17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2(1)若c=3，a+b=6，求边AB上的角平分线(2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF=6，求3CF−AF18．（17分）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为−33且过F2的直线l与椭圆C交于P,Q19．（17分）已知函数fx(1)当a=1时，求fx的图象在点1,f(1)(2)若∀x∈0,+∞，fx数学答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】ABD10．【答案】ABC11．【答案】ABD12．【答案】1813．【答案】514．【答案】m≥015．【解】（1）因为数列an的前n项和为S当n=1时，a1当n≥2时，an又因为a1=4=2×1+2，符合所以an的通项公式为：an=2n+2（2）设等比数列bn的公比为q因为等比数列bn满足b1=a2所以q=b2b所以bn的前n项和T16．【解】（1）∵A1A⊥平面ABC,BE⊂又∵AB=BC,AE=EC.∴BE⊥AC，又∵A1A∩AC=A，A1A,AC⊂平面又∵A1E⊂平面∴∠A即A1E⊥EF.又EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF，∴A（2）如图所示，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴建立空间直角坐标系，

易得A(2,0,0),B(0,0,0),CBA设平面ABC1的法向量n=取y=1，则法向量n=由（1）可知A1E=∴平面ABC1与平面BEF的夹角为17．【解】（1）因为sin2A−sin所以sin2由正弦定理得a2−ab=c由余弦定理得cosC=a2+b又因为c=3，a+b=6，所以即32=62−3ab，解得ab=1，设AB则S=12a+b即32=62x，解得x=22（2）延长AF交BC于M，延长BF交AC于E，设∠BCF=θ,θ∈0,所以∠ACF=π3−θ，在Rt在△CEB中，∠ECB=π3，∠BEC=π在Rt△BMF中BF=同理可得在Rt△AEF中AF=2EF=123==2因为θ∈0,π3，所以θ所以32tanθ2+18．【解】（1）由题意可知：2a=4，则a=2，∵e=ca=3∴b=a∴椭圆C:（2）F1−3,0F23,0联立方程组x24+设Px则x1+PQ点F1到直线PQ的距离∴S

19．【解】（1）fx=lnf1=ln所以