2024-2025学年高一【数学(人教A版)】诱导公式(1)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题诱导公式（1）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.能够利用三角函数的定义及单位圆推导三角函数的诱导公式，并运用诱导公式，完成对任意角的化简求值；2.通过对诱导公式的探求，体会转化与化归的思想，提升对知识间内在联系的把握；3.在诱导公式的推导应用过程中发展数学运算和数学推理的素养.教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式二、三、四；运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.教学难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟13分钟5分钟2分钟（一）情景导入（二）新知探究（三）典例分析、举一反三（四）课堂小结、布置作业各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师明昱，很高兴今天与大家一起研究、学习“诱导公式（1）”.前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求间的角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．我们先来回顾前面学习的公式一：公式一：，，，其中.探究1：公式一研究的是终边相同的角的同一三角函数的值相等，我们利用公式一，可以将任意范围内的角的三角函数值转化到内的角的三角函数值，那么如何继续将间的角的三角函数值转化到我们熟悉的间的角的三角函数值呢？我们发现，有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等.那么它们的三角函数值有何关系呢？请同学们探究完成：终边关于原点中心对称的角的三角函数值之间有什么关系？师生活动：学生自由发言，教师引导学生进一步观察、研探.设计意图：师生共同回顾，为新课做准备．学生分组讨论，教师引导学生发现规律：利用函数的重要性质——对称性，并借助单位圆及三角函数的定义来进行推导.如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点P1，设P1(x,y).将角的终边按逆时针方向旋转角，终边与单位圆交于点P2，则P2是点P1关于原点的对称点，所以P2(-x,-y).根据三角函数的定义，得，，.，，.从而得公式二：终边关于原点中心对称的角.，，.提问：你能用文字语言表述公式二吗？回答：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.提问：公式二解决了什么样角的求值化简问题？回答：公式二解决了形如的三角函数值求值化简问题.探究2：你能类比公式二，证明下面的公式吗？公式三：终边关于x轴对称的角.，，.公式四：终边关于y轴对称的角.，，.学生分两组讨论后，选派一名代表进行证明.教师指出：①公式中的α指任意角.例如化简，这样的式子时，角1，都是任意角；②诱导公式二、三、四的结构特征：左右两端三角函数名称不变，角不变，只是前面放一个符号；符号的判断方法：把看成锐角时原函数值的符号.设计意图：由两个角的终边相同到终边关于原点中心对称、关于x轴对称以及关于y轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式二、公式三和公式四，并将问题2研究方法一般化.例1利用公式求下列三角函数值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.思考：由例1，你对公式一至公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？师生共同小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数.可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）设计意图：阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角的数量关系→终边及圆的对称关系→交点的坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.例2化简（为第三象限角）.提问：是否可以用公式二、三、四进行化简？事实上，公式中的角指的是任意角，由一般到特殊，即便没有“为第三象限角”这个条件，我们也可以用公式进行化简.解：，，，，所以原式.师生共同小结：用诱导公式化简求值的方法：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.教师活动：请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦……学生活动：知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数