2024-2025学年高一【数学(人教A版)】全称量词与存在量词-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题1.5全称量词与存在量词教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.通过丰富的例子理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的含义，会判断全称量词命题与存在量词命题的真假，会写出其否定形式；2.使学生体会从特殊到一般的归纳方法，体验从具体到抽象的认知发展过程；3.培养学生逻辑用语的理解能力和表达能力，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.教学重点：理解全称量词命题和存在量词命题的含义.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，写出全称量词命题和存在量词命题的否定形式.教学过程时间教学环节主要师生活动一、引入新课二、建构新知三、深化认识四、课堂小结五、布置作业请同学们阅读下列两组命题，看看语言上有什么特点？A组：(1)对任意一个xZ，2x+1是整数.(2)每一个素数都是奇数.(3)所有的矩形都是平行四边形.B组：(1)有些三角形是等腰三角形.(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直.(3)存在一个xR，使得x2>0.我们发现，A组中的短语“任意一个”、“每一个”、“所有的”指的是事物的全部，B组中的短语“有些”、“至少有一个”、“存在一个”指的是事物的一部分。这两种短语就是我们今天要学习的全称量词与存在量词。1.短语“任意一个”，“每一个”，“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.A组命题都是全称量词命题，为了更好地观察命题的结构，我们把A组命题改用集合语言叙述：(1)对于整数集合中的任意一个元素x，2x+1是整数.(2)素数集合中的任意一个元素x都是奇数.(3)矩形集合中的任意一个元素x都是平行四边形.不难发现，全称量词命题的结构特点是：集合M中的任意一个元素x，都满足条件p.因此全称量词命题的一般形式就可以写成：“对M中任意一个x，都有p(x)成立”，用符号简记为“，p(x)”.2.短语“有些”、“至少有一个”、“存在一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.B组命题都是存在量词命题，同理，从集合的角度看，存在量词命题的结构特点是：集合M中至少存在一个元素x，满足条件p.它的一般形式可以写成：“存在M中的元素x，使得p(x)成立”，用符号简记为“，p(x).”为了更好地理解全称量词命题与存在量词命题的含义及关系，我们进一步研究命题的真假与命题的否定.1.判断命题的真假例１判断下列全称量词命题的真假：(1)x∈R，|x|＋1≥1；(2)对任意一个无理数x，x2也是无理数.分析要判定全称量词命题“，p(x)”为真，就需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称量词命题“，p(x)”为假，举一个反例即可:在集合M中找一个x0，使得p(x0)不成立．解(1)x∈R，总有|x|≥０，因此|x|＋1≥1．所以该命题是真命题.(2)是无理数，但是有理数，即至少有一个无理数的平方不是无理数，所以该命题是假命题.例2判断下列存在量词命题的真假:(1)有一个偶数是素数;(2)存在一个三角形，它的内角和不等于1800.分析要判定存在量词命题“x∈M,p(x)”为真，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可(找特例).要判定存在量词命题“x∈M,p(x)”为假，就需要证明M中不存在使p(x)成立的元素,即对M中的任意一个元素x，p(x)都不成立.解(1)因为偶数2是素数，所以该命题是真命题.(2)因为任意一个三角形的内角和都等于1800，所以内角和不等于1800的三角形不存在，所以该命题是假命题.练习判断下列命题的真假：(1)所有能被３整除的整数都是奇数；(2)任意两个等边三角形都相似；(3)有一个实数x,使x2+2x+3=0；(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.解(1)举反例：6能被3整除，但是6不是奇数，所以该命题是假命题.(2)因为任意两个等边三角形对应角相等(都是600)，所以它们相似，所以该命题是真命题.(3)分析：“有一个实数x,使x2+2x+3=0”的含义是“方程x2+2x+3=0有解”.因为∆，所以方程x2+2x+3=0无实根，因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以该命题是假命题.(4)因为平面内过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，所以平面内任意两条相交直线都不可能垂直于同一条直线，即平面内不存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以该命题是假命题.另：由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以该命题是假命题.小结：判断全称量词命题、存在量词命题的真假，关键在于读懂命题的含义.在研究命题含义的过程中，我们会经常遇到与原命题意义想反的命题，即命题的否定.比如例1第(2)题原命题是“对任意一个无理数x，x2也是无理数”，举反例，就说明“存在一个无理数x，x2不是无理数”，这个命题就是原命题的否定.再如例2第(2)题原命题是“存在一个三角形，它的内角和不等于1800”，相反意义的命题是：“内角和不等于1800的三角形不存在”，即“任意一个三角形的内角和都等于1800”.2.命题的否定(1)全称量词命题的否定原命题：对M中任意一个x，都有p(x)成立，记为，p(x).命题的否定：“存在M中的元素x，使得p(x)不成立”，记为，p(x).(2)存在量词命题的否定原命题：存在M中的元素x，使得p(x)成立，记为，p(x).命题的否定：对M中任意一个元素x，p(x)都不成立，记为，p(x).(3)全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．例3写出下列命题的否定：(1)任意一个实数都有平方根;(2)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于３;(3)x∈R，使得x2-2x+2<0;(4)有些四边形的四个顶点在同一个圆上.解(1)命题的否定：有的实数没有平方根.(2)命题的否定：x∈Z，使得x2的个位数字等于３.(3)命题的否定：x∈R，都有x2-2x+2≥0.(4)命题的否定：任意一个四边形的四个顶点都不在同一个圆上.思考将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)三个连续整数的乘积是６的倍数；(3)三角形不都是中心对称图形；(4)一元二次方程不总有实数根．解(1)原命题：任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分.(2)原命题：任意三个连续整数的乘积是６的倍数.命题的否定：存在三个连续整数，它们的乘积不是６的倍数.(3)原命题：有些三角形不是中心对称图形.命题的否定：任意一个三角形都是中心对称图形.(4)原命题：有的一元二次方程没有实数根．命题的否定：所有的一元二次方程都有实数根．全称全称量词全称量词命题存在量词存在量词命题概念含义关系本质作用本节课先从认识具体的量词短语开始，形成初步的概念，再通过判断命题的真假进一步理解了全称量词命题与存在量词命题的含义，通过写命题的否定理解了两种命题的关系，即全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题：“，p(x)”的否定