2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的表示法-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的表示法教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)补充：了解分段函数的含义；以及分段函数的含义.补充：了解分段函数的含义；2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，补充：进一步理解符号的抽象性，理解函数图象的应用，促进对函数概念的理解；一步理解符号的抽象性，理解函数图象的应用，促进对函数概念的理解.补充：进一步理解符号的抽象性，理解函数图象的应用，促进对函数概念的理解；3.把握不同表示法的特点，渗透数形结合思想，发展直观想象和数学抽象的素养.教学重点：函数的三种表示方法的正确使用.的正确使用的正确使用教学难点：会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数及三种表示法特点的把握.及三种表示法特点的把握。及三种表示法特点的把握。教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟20分钟2分钟1、温故知新2、学以致用三、课堂小结四、课后作业我们前面已经学习了函数的三要素：定义域、对应法则和值域，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？函数三要素在函数的表示法里有哪些体现呢？这节课我们就来研究这些个问题．这里最好有实例（前面学习函数定义时用到，三种不同表达），结合具体例子谈三种这里最好有实例（前面学习函数定义时用到，三种不同表达），结合具体例子谈三种一、温故知新大家可以翻开教科书3.1.1节来复习一下初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的.讨论结果：图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．如3.1.1问题3：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AIRQualityIndex，简称AQI）变化图．这就是函数的图象表示法.定义域：t∈{0≤t≤24}列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数例1的目的是利用这一个问题把三种方法都介绍出来，但哪一种表示法先出，哪个后出，应该考虑到学生的思维习惯，和此题的特点，如解析式在此题中虽然最直接，但如果不特意注明定义域，就会出错，因为解析式只是三要素中的一个要素，而其他两种表示法则不同，特别是图象，直观的同时可以将该函数的所有性质特征一览无余，所以与其三种出全了再去讨论各自的优点，不如在出每一种方法时，就做好铺垫。提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(其中定义域：x追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为这就是图象法表示函数y=fx研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。回答追问2：由列表的过程可知，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.其所用的计算式为y=5这就是解析法表示函数y=提问2：函数的三种表示法各自的特点是什么？在生活中常见应用有哪些？讨论回答解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；根据实际情境来决定是否连线；图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，用列表法表示函数时，选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.自变量必须是离散可列的。列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．提问3、所有的函数都能用解析法表示吗？解析法表示函数时要注意什么？讨论回答只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．用解析法表示时，必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域.画龙点睛：函数的三种表示法各有特点和适用范围，所以往往需要用不同的方法来表示某一个函数，这样才能把这个函数刻画得更加全面而深刻.例2画出函数y=x注意图象二字，后面类似的找出来，改过来不再赘述。这个题目还应该承载着介绍分段函数的任务，需要认真说说分段函数的概念，对定义域，值域的解读等。提问：绝对值函数怎么处理？怎么去绝对值？解：由绝对值的概念可得：这就是把绝对值函数转换成分段函数.所谓分段函数就是其定义域分成若干区间段，在各个区间段内，函数有不同的对应关系.分段函数是一个函数，不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.所以，本题的函数图像为：反映了函数y=x，应变量y随自变量x<0时，自变量x变大时，应变量yx>0时，自变量x变大时，应变量y画龙点睛：由解析式画出图形，即以数化形.解析法抽象而精准，图象法直观而形象，二者相辅相成，能更好的理解这一函数，这就是所谓数形结合.下面我们通过例3来进一步体会数形结合的方法。例3给定函数f在同一坐标系中画出fx∀x∈R，用Mx表示 请分别用图象法和解析法表示函数Mx.解：1）2）先用图象法表示函数Mx.借助图像可知，函数的图象中，红色是抛物线的一部分，蓝色是直线的一部分，所以在用分段函数来表示Mx的时候，要先计算出抛物线和直线的交点，一般用联立来计算.三、课堂小结1、知识总结：本节课学习了：函数的三种表示方法，分段函数的含义，在具体的实际问题中能够选用恰