2024-2025学年高一【数学(人教A版)】基本不等式(2)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题基本不等式（2）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1．使学生进一步理解基本不等式，能用基本不等式解决简单的最值问题；2．通过运用基本不等式解决实际问题中的最值问题，使学生经历数学建模的过程，并体会基本不等式在解决实际问题中的作用；3．在运用基本不等式解决实际问题的过程中，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的数学建模素养．教学重点：运用基本不等式解决实际问题中最值问题的过程与步骤．教学难点：如何运用基本不等式解决实际问题中的最值问题．教学过程时间教学环节主要师生活动4分钟复习引入教师与学生共同回顾基本不等式的基本内容，以及运用基本不等式研究最值问题的两个重要模型，为本节课的进一步学习做好铺垫.1.基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立．2.已知x，y都是正数，（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值．（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．教师追问：请同学们尝试用自然语言，一句话表达出上述（1）和（2）这两个基本问题．学生：当两个正数变量的积或和为定值时，它们的和有最小值或积有最大值．10分钟研究新知问题一（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？在此环节中，教师从以下两个方面引导学生对问题进行思考与分析：①教师引导学生回顾根据数学建模思想研究实际问题的一般过程．②通过审题，教师分别针对（1）和（2）两个问题引导学生识别问题中的数量关系，判断是否符合利用基本不等式解决最值问题的两个基本模型的条件，即有两个正数变量，且它们的积或和为定值．教师与学生共同完成问题一的解答过程如下．解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，则篱笆的长度为2(x+y)m.（1）由已知，得xy=100，教师追问：当我们已知两个正数的积为定值时，如何求它们的和的最小值呢？学生：运用基本不等式.根据基本不等式，可得，所以，2(x+y)≥40.当且仅当x=y=10时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知，得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xym2.教师追问：当我们已知两个正数的和为定值时，如何求它们的积的最大值呢？学生：仍然是运用基本不等式根据基本不等式可得，，所以，xy≤81.当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81m2.【设计意图】通过对上述两个问题的研究，使学生体会如何运用基本不等式模型来理解和识别实际问题，从而利用基本不等式解决实际问题.特别地，在解决这两个问题的过程中，分别有不同的侧重点：对于问题（1）重点分析变量的个数、已知条件、是否符合基本不等式的模型等特征，以说明解决问题中每一步的必要性；对于问题（2）侧重于运用基本不等式时判断等号是否成立的必要性的再认识，从而对实际问题的结果的合理性作出解释．8分钟思维提升问题二某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？在此环节中，首先由学生独立思考与分析，教师可建议学生画出几何示意图进行研究．然后，教师与学生共同进行分析，识别问题中的数量关系，结合已知条件，引入适当的变量；根据题意可知，水池的总造价由池壁面积（也就是长方体的侧面积）和池底面积（也就是长方体的底面积）及相应的单价来确定的，从而可以将水池的总造价转化为关于池底边长的解析式，进而可以考虑如何求出总造价的最小值．教师与学生共同完成问题二的解答过程如下．解：设贮水池池底的相邻两条边的长分别为xm，ym，水池的总造价为z元.根据题意，得z=150xy+120(2×3x+2×3y)=150xy+720(x+y)由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600，根据基本不等式可得，，根据不等式的基本性质可得，720(x+y)≥720×，所以，240000+720(x+y)≥240000+720×，则z=240000+720(x+y)≥240000+720×=240000+720×=297600.当且仅当x=y=40时，上式等号成立.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.教师追问：同学们，你能自己设计一个有关最值问题的实际问题吗？并解决它.你可以改变上述问题二中的某个条件或某些条件，或者另外设计一个问题.预案：①将问题二中的“容积为4800m3”改为“容积为6000m3”；②将问题二中的“深为3m”改为“深为4m”；③将问题二中的“池底每平方米的造价为150元”改为“池底每平方米的造价为180元”；……【设计意图】通过对问题二中的实际问题的研究过程，使学生能够根据数学建模的数学思想，将实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式模型进行求解，最后将数学问题回归到实际问题中，得出实际问题的设计方案；最后通过一个开放性问题，可以给学生一个自由发挥的空间，有利于学生对问题的再认识.3分钟归纳小结在此环节中，教师引导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，逐步提升数学学科的核心素养.（1）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立；