试卷解析：广东省华南X范大学附X中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年度第一学期高一年级期末检测数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回.第I卷选择题（36分）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用交集定于求出.【详解】集合，，则.故选：C2.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得.故选：D3.已知：，下列式子正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用作差法比较各项即可.【详解】对于A项，因为，又，，所以，，所以，所以，故A项错误；D项正确；对于B项，，又，，所以，所以，所以，故B项错误；对于C项，，又，，所以，所以，所以，故C项错误.故选：D.4.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，即，解得或，又由函数在单调递减，在单调递增，因为在定义域上为单调递增函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.故选：D.5.已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象，得到，进而可求出，再根据图象，当时，函数取到最大值，得到，即可求出结果.【详解】由图易知，，，得到，又，，所以，又由图知，，得到，又，令，得到，所以，故选：B.6.若奇函数和偶函数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值.【详解】由，用代替，可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立，解得，，所以，，则．故选：D．7.已知则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数与正弦函数的性质，分别求得的范围，即可求解.【详解】由对数函数的性质，可得，即，所以，又由正弦函数的性质，可得，又因为，所以.故选：D.8.已知，为锐角，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力.二、选择题：本题共4小题，每小题3分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数与的图象关于原点对称B.函数，且恒过定点C.已知命题，则的否定为：D.是的充分不必要条件【答案】AC【解析】【分析】A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据与的互相推出情况进行判断.【详解】对于A：设上任意一点，其关于原点的对称点为，所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确；对于B：令，所以，此时，所以过定点，故B错误；对于C：修改量词否定结论可得，故C正确；对于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误；故选：AC.10.若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．【详解】函数同时满足（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是定义域上的减函数，对A：是偶函数，且不是单调函数，故A不是“理想函数”；对B：是奇函数，且是减函数，故B是“理想函数”；对C：是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故C不是“理想函数”;对D：，定义域为，，所以，所以是奇函数，且是上减函数，故D是“理想函数”．故选：BD11.由知实数a，b满足，则（）A.ab的最大值为B.的最大值为CD.当时，的最大值为【答案】AC【解析】【分析】由不等式，可判定A正确；设，联立方程组，结合，可判定B不正确；设，联立方程组，可判定C正确；，转化为，结合三角函数的性质，可判定D不正确.【详解】对于A中，由不等式，可得，解得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B中，设，联立方程组，整理得，由，解得，可得，所以的最大值为，所以B不正确；对于C中，设，联立方程组，整理得，由，解得，可得，所以的最大值为，所以C正确；对于D中，由，即，设，则，设，可得，可得，因为，可得，即，不妨设，可得则，所以又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确.故选：AC.12.已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则（）A.若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象B.C.在上有且仅有两条对称轴D.不存在，使得在上单调递减【答案】BD【解析】【分析】根据余弦函数的图象和性质，分析可得正确结果.【详解】在上恰有两个零点，而：.所以:.求函数的递减区间，得：，因为函数在上递减，所以：，又，，所以，.综上：.故B正确；对A：当时，向右平移个单位，得，故A错；对C：当时，，由，.当时，；当时，，所以函数在上只有1条对称轴.故C错；对D：若函数在区间上单调递减，则：且，所以：，结合可得：满足条件的不存在.故D正确.故选：BD第II卷非选择题（64分）三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.13.函数的值域是__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性即可求解.【详解】的定义域为，由于函数和函数均为上的单调递增函数，所以，故值域为，故答案为：14.已知圆心角为2的扇形，其弧长为5，则扇形的面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合扇形的弧长和面积公式，准确运算，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，因为扇形的圆心角为且弧长为，可得，解得，所以扇形的面积为.故答案为：.15.设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______.【答案】①.2②.【解析】【分析】计算与，比较大小可得；结合解不等式，得出的解析式，作出图象，将方程恰有三个不同的实数解，转化为直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得答案.【详解】，，则；由，解得，由，解得或，则，作出图象，如图，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，此时方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为.故答案为：2；.16.在中，，且，则___________．【答案】【解析】【分析】将设为，然后把角都用表示，展开求解.【详解】设，则，因为，所以.由已知可得所以所以，解得或（舍）故答案为：四、解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17.计算（1）已知.求的值.（2）已知，且，，求角的值；【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式和齐次式化简，化为关于的式子，代入求值即可；（2）利用同角三角函数关系及角的范围得到和，从而利用余弦差角公式求出，从而求出角的值.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，故，因为，所以18.已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.（1）求的解析式；（2）求使方程的根都在区间内的实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可设，且，由在区间上的最大值是12，可得，求出的值，从而可求出的解析式，（2）转化为方程的根都在区间内，令，则可得从而可求出实数的取值范围【小问1详解】因为是二次函数，且的解集是，所以可设，且易知，所以在区间上的最大值是，由已知得，所以，所以.【小问2详解】方程等价于.设，依题意有解得，所以实数的取值范围.19.设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；（2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：由命题函数定义域为，设，则在上恒成立，当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.【小问2详解】解：由（1）知，命题为真命题，则，又由命题，使得不等式成立，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，因为中只有一个真命题，当为真命题，为假命题时，可得，解得；当为假命题，为真命题时，可得，此时无解，综上可得，实数的取值范围为.20.如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．（1）设，用分别表示AB和AD；（2）当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】20.，.21.当时，最大，为【解析】【分析】借助三角函数表示和，进一步表示矩形的面积，可求矩形面积的最大值.【小问1详解】如图：过做于.则，所以，.【小问2详解】，当且仅当即时取“”.故当时矩形场地的面积最大且最大为.21.对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质．（1）若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；（2）己知，为定义在上的奇函数，且满足；①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有．求证：与不具有“4关联”性．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数与具有“m关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案.（2）根据满足的性质，推出其对称性以及周期，可得，再结合正弦函数的性质推出，即说明不存在，使得，即可得结论.【小问1详解】由题意可知，故，则m的取值范围为；【小问2详解】证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1，且为定义在上的奇函数，故在上当且仅当时，取得最小值-1，由对任意，有，可知图象关于点对称，又，即，故2a为函数的周期，故，，当时，，时，，若，，，此时有为最大值；当时，，时，，若，，此时有为最大值，由于，故，即不存在，使得，所以与不具有“4关联”性．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解函数与具有“m关联”性质的定义，明确其含义，继而结合定义去解决问题，特别是第2问的证明，要结合定义说明不存在，使得成立.22.己知函数．（1）判断的奇偶性；（2）己知，都有，求实数a的取值范围．【答案】（1）偶函数（2）或.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断，即可得答案；（2）化简，