试卷解析：广东X侨中学、广州协X中学、增X中学2024届高三上学期期末联考数学试题（原卷版）

2023学年第一学期三校联考高三数学试题2024年1月命题：广东XX中学高三数学备课组审题人：高三数学备课组试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A.B.C.D.2.已知为虚数单位，复数满足，则虚部为（）A.B.C.D.13.已知，则（）A.B.C.D.4.设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（）A.B.C.15D.315.若，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键.其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（）A.150种B.210种C.240种D.540种7.已知双曲线：，的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.已知定义在上的函数满足，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（）A.25B.15C.50D.30二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.若事件和事件互斥，B.若变量服从，，则C.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8D.若，，，则10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.最小正周期为B.函数在区间内有6个零点C.的图象关于点对称D.将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（）A.B.既是三角形数，又是正方形数C.D.，，总存，使得成立12.已知抛物线：焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，，则（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相切C.设是一个定点，则的最小值为D.过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_______.14.已知，，且，则在上的投影向量为_______.15.曲线与曲线的公切线方程是_______.16.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，面积为，求的周长.18.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，.（1）求数列，的通项公式.（2）对任意的正整数，，求数列的前项和.19.已知三棱锥，，为等边三角形，，为等腰直角三角形，其中.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.20.某平台为了解当代大学生对“网络公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.为了调查当代大学生对④、⑥、⑧、⑩四道选答题的答题情况，从同济大学在④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道人数20303020（1）学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：（规定同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人）性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性30女性7总计100请完成上述2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关.（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的数学期望；参考公式：，其中.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82821.已