备战2025年高考二轮复习数学专题突破练1　函数的图象与性质(提升篇)

专题突破练(分值:104分)学生用书P135主干知识达标练1.(2024广东广州期末)若函数f(x)=1-x2+lg(2x-1),则f(x)的定义域为A.{x|x>0} B.{x|x≤1}C.{x|0<x≤1} D.{x|-1≤x≤1}答案C解析由1-x2≥0,2x2.(2024山东济南模拟)使得“函数f(x)=3x2-3tx在区间(2,3)上单调递减A.t≥2 B.t≤2C.t≥3 D.43≤t答案C解析由函数f(x)=3x2-3tx在区间(2,3)上单调递减,得y=x2-3tx在区间(2,3)上单调递减,所以3t2≥3,解得t≥2.结合A,B,C,D四个选项,知使得“函数f(x)=3x2-3.(2024陕西西安二模)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为()A.f(x)=cos2x·(ex-e-x)B.f(x)=sin2x·lnxC.f(x)=eD.f(x)=1x·ln答案B解析对于A,函数f(x)=cos2x·(ex-e-x)的定义域为R,而题设函数的图象中在自变量为0时无意义,不符合图象,排除;对于C,当x>0时,f(x)=ex+e-xx对于D,当x>0时,f(x)=1x·lnx2x2+1=1x[lnx2-ln(x2+1)]<4.(2024河北邯郸三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+2)=f(x),且f(x)在[-1,0]上单调递减,若a=f(log345),b=f(-log58),c=f43,则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a答案B解析因为f(x)是偶函数,f(x+2)=f(x),f(x)在[-1,0]上单调递减,所以f(x)在[1,2]上单调递减.a=f(log345)=f(2+log35)=f(log35),b=f(-log58)=f(log58),因为53=125>34=81,83=512<54=625,所以5>343,8<543,所以1<log58<43<log35<2,所以f(log58)>f(43)>f(log5.(2024辽宁一模)已知函数f(x+2)为偶函数,且当x≥2时,f(x)=log17(x2-4x+7),若f(a)>f(b),则(A.(a+b-4)(a-b)<0 B.(a+b-4)(a-b)>0C.(a+b+4)(a-b)<0 D.(a+b+4)(a-b)>0答案A解析因为函数f(x+2)为偶函数,故其图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,当x≥2时,f(x)=log17(x2-4x+7),因为y=x2-4x+7在[2,+∞)上单调递增,而y=log17x在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,则f(x)在(-∞,2]上单调递增,故由f(a)>f(b),可得|a-2|<|b-2|,即|a-2|2<|b-2|2,则a2-4a+4<b2-4b+4,故(a+b-4)·(a-b)<0,故选A.6.(多选题)(2024广东惠州三模)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数:D(x)=1,x是有理数,0,x是无理数.A.D(D(x))=1B.D(x)的值域为{0,1}C.存在x是无理数,使得D(x+1)=D(x)+1D.∀x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)答案ABD解析由D(x)=1,x是有理数,0,x是无理数,可得D(x)的值域为{0,1},所以D(D(x))=1,故选项A,B正确;因为当x是无理数时,D(x)=0且x+1是无理数,所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠D当x是无理数时,x+1,-x-1均为无理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=0,当x是有理数时,x+1,-x-1均为有理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=1,所以∀x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1),故选项D正确.故选ABD.7.(多选题)(2024广东中山模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)是奇函数,f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤1时,f(x)=2x+1-13A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)的图象关于点(-1,0)对称C.f(x+8)=f(x)D.f(2021)=3答案ABC解析设g(x)=f(x-1),因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=f(-x-1)=-g(x)=-f(x-1),即f(-1+x)+f(-1-x)=0,即f(x)的图象关于点(-1,0)对称,B正确;设h(x)=f(x+1),因为h(x)为偶函数,所以h(-x)=h(x),即f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,A正确;由f(x)的图象关于点(-1,0)对称可得f(x)+f(-2-x)=0,由f(x)的图象关于直线x=1对称,可得f(x)=f(2-x),两式联立得f(2-x)+f(-2-x)=0,把x换成x+2,得f(-x)+f(-4-x)=0,即f(x)+f(x-4)=0,把x换成x-4,得f(x-4)+f(x-8)=0,即f(x)=f(x-8),把x换成x+8,则有f(x+8)=f(x),故f(x)的周期为8,故C正确;因为T=8,所以f(2021)=f(252×8+5)=f(5)=f(-3),又f(-1+x)+f(-1-x)=0,令x=-2,得f(-3)+f(1)=0,f(1)=22-131+1=34,所以f(2021)=f(-3)=-f(1)=-8.(5分)(2024山东聊城一模)若函数f(x)=6a-x,x≤4,log答案a>1解析当x>4时,f(x)=log2x,此时f(x)>log24=2,故当x≤4时,有6a-x>2恒成立,即6a>2+x在x≤4时恒成立,即6a>6,即a>1.9.(5分)(2024广东茂名期中)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(3)=0,对任意两个不相等的正实数a,b都有f(a)-f(b)a-b>0,则不等式答案(0,2)解析不妨设a>b>0,则f(a)-f(b)a-b>0等价于f(a)>f(b),所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)∵f(3)=0,∴f(-3)=0,易知当x∈(0,3)时,f(x)<0,当x∈(-∞,-3)时,f(x)<0.则由不等式f(2x-1)<0可知2x-1<-3或0<2x-1<3,即2x<-2或1<2x<4,∴20<2x<22,∴0<x<2,即不等式f(2x-1)<0的解集为(0,2).10.(5分)(2024北京丰台一模)已知函数f(x)具有下列性质:①当x1,x2∈[0,+∞)时,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1;②在区间(0,+∞)上,f(x)单调递增;③f(x)是偶函数.则f(0)=;函数f(x)可能的一个解析式为f(x)=.

答案-1|x|-1(答案不唯一)解析因为当x1,x2∈[0,+∞)时,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,可得f(0)=f(0)+f(0)+1,解得f(0)=-1.不妨令f(x)=|x|-1,x∈R,则f(x)=|x|-1=x-1,x≥0,-x-1,x<0,又f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x),所以f(x)为偶函数,满足③;当x1,x2∈[0,+∞)时,f(x1+x2)=|x1+x2|-1=x1+x2-1,f(x1)=|x1|-1=x1-1,f(x2)=|x2|-1=x2-1,所以f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,满足①.关键能力提升练11.(2024广西柳州三模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)=f(x)+x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是()A.(-1,2) B.(1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)答案D解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,即f(x)+f(-x)=0,∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x),故g(x)为奇函数.∵对于任意的x,y∈R,有|f(x)-f(y)|<|x-y|,∴|(g(x)-x)-(g(y)-y)|<|x-y|,当x≠y时,有|g(即|g(x)-g(y)x-y-1|<1,∴0<∵g(2x-x2)+g(x-2)<0,∴g(2x-x2)<-g(x-2)=g(2-x),∴2x-x2<2-x,整理得,x2-3x+2>0,解得x>2或x<1,故选D.12.(多选题)(2024福建莆田二模)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则()A.y=f(x)是奇函数B.若f(1)=1,则f(-2)=4C.若f(1)=-1,则y=f(x)+x3为增函数D.若∀x>0,f(x)+x3>0,则y=f(x)+x3为增函数答案ABD解析对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,令x=y=0,可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0.令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故y=f(x)是奇函数,A正确;对于B,令x=y=1,可得f(2)=2f(1)-3×2,又f(1)=1,则f(2)=2×1-6=-4;由A可知,y=f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=4,故B正确;对于C,由A知,f(0)=0,又f(1)=-1,对y=f(x)+x3,当x=0时,y=f(0)+0=0;当x=1时,y=f(1)+1=0.故当f(1)=-1时,y=f(x)+x3不是增函数,故C错误;对于D,在R上任取x1>x2,令h(x)=f(x)+x3,则h(x1)-h(x2)=f(x1)+x13-f(x2)-x23=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1-x2)(x12+x22+x1x2)=f(x1-x2)+f(x2)-3(x1-x2)x2[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1-x2)(x12+x22+x1x2)=f(x1-x2)-3x1x2(x1-x2)+(x1-x2)(x12+x22+x1x2)=f(x1-x2)+(x由题可知∀x>0,f(x)+x3>0,又x1-x2>0,故f(x1-x2)+(x1即h(x1)-h(x2)>0,h(x1)>h(x2),故y=h(x)在R上为增函数,也即y=f(x)+x3在R上为增函数,故D正确.故选ABD.13.(多选题)(2024湖南邵阳一模)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R,且y=f(x)-x与y=g(1-2x)均为偶函数,则下列说法一定正确的有()A.f(x)关于x=1对称B.f(x)C.g(x+2)+g(x)=2D.g(0)=1答案BCD解析对于A项,因为y=g(1-2x)为偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称.若f(x)的图象关于直线x=1对称,则导函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,这与g(x)的图象关于直线x=1对称矛盾,所以A错误;对于B项,因为y=f(x)-x为偶函数,所以f(x)-x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,所以f(x)x-f对于C项,因为y=f(x)-x为偶函数,所以y=f'(x)-(x)'=g(x)-1为奇函数,所以y=g(x)-1的图象关于点(0,0)对称,g(x)的图象关于点(0,1)对称,所以g(-x)+g(x)=2.又g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1)).所以,g(x+2)=g(1+(x+1))=g(1-(x+1))=g(-x)=2-g(x),所以g(x+2)+g(x)=2,故C正确;对于D项,由C知,g(-x)+g(x)=2,所以g(0)=1,D正确.故选BCD.14.(5分)(2024福建龙岩一模)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在(-∞,2]上单调递减,则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为.

答案[-1,0]解析因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,又因为f(x)在(-∞,2]上单调递减,则f(x)在[2,+∞)上单调递增,则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|,即|2x+1|≤1,解得-1≤x≤0,则不等式的解集为[-1,0].15.(5分)(2024山东日照期末)已知f(x)不是常数函数,且满足:f(x)+f(-x)=0,f(x+π)=f(x).①请写出函数f(x)的一个解析式:;②将你写出的解析式f(x)构成h(x)=f(x)+log2(x2+1-x)+-a2+2a-32,若h(-3)答案y=sin2x(答案不唯一,是周期为π的奇函数均可)0或2解析由f(x)+f(-x)=0,可知函数f(x)为奇函数,由f(x+π)=f(x),可知函数是周期函数,周期为π,函数f(x)的一个解析式为y=sin2x.设g(x)=log2(x2+1-x),定义域为则g(-x)+g(x)=log2(x2+1+x)+log2(x2+1-x)=log21=0,所以函数g(则h(-x)+h(x)=-a2+2a-3,由题意可知,-a2+2a-3=-3,解得a=0或a=2.16.(5分)(2024浙江杭州模拟)用max{a,b}表示a,b两个数中的最大值,设函数f(x)=max|x|+1,1x-x(x>0),若f(x)≥m+1恒成立,则m的最大值是.

答案1解析因为x>0,所以f(x)=max{|x|+1,1x-x}=max{x+1,1x-x}=x+1,x≥12,1x-x,0<x<12,作出函数图象(如图所示)可知,函数在区间(0,12)内单调递减,在区间(12,+∞)上单调递增,故当x=12时,函数有最小值,最小值为f(12)=3217.(5分)(2024重庆南开中学检测)已知函数f(x)=x+12,x∈[0,32),答案12,2解析根据题意,当x∈[32,3)时,f(x)=2-(x-32+12)=3-x;当x∈[3,92]时,f(x)=2-[2-f(x-3)]=f(x-3)=x-52,可作出函数f(x)=x+12,x∈[0,32),2-f(x-318.(5分)(2024山东泰安模拟)已知函数f(x)=3x+4,x<1,3x-2,x≥1,若m<n,且f(答案-43,7解析作出f(x)的图象,如图.由f(m)=f(n),且m<n,可知3m+4=3n-2,n∈[1,2),可得m=3n-63(n∈[1,2)),则mf(n)=3n-63×(3n-2),令t=3n,则t∈[3,9),则mf(n)=(t-6)(t-2)3=13[(19.(5分)(2024河南郑州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=1-|2x-1|,若对任意x∈(-∞,t],都有f(x)≤2,则t的取值范围是.

答案-∞,94解析因为当x∈[0,1]时,f(x)=1-|2x-1|,所以f(x)=2因为f(x+1)=2f(x),当x∈[1,2],即x-1∈[0,1]时,由f(x)=2f(x-1),所以f(x)=4同理可得f(x)=8依此类推,作出函数f(x)的图象(如图所示),由图象知,当2≤x≤52时,令f(x)=2,则8x-16=2,解得x=94,若对∀x∈(-∞,t],都有f(则t≤94故t的取值范围为-∞,94.核心素养创新练20.(5分)(2024北京丰台期末)双曲函数是一类与三角函数类似的函数,基本的双曲函数有:双曲正弦函数sinh(x)=ex-e-x2,双曲余弦函数cosh(x)=ex+e-x2①函数y=cosh