备战2025年高考二轮复习数学专题检测4

专题检测四(分值:150分)学生用书P179一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·湖南长沙模拟)某10人的射击小组,在一次射击训练中射击成绩(单位:环)数据如下表所示,则这组数据的中位数为()成绩678910人数12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5答案D解析将射击成绩由小到大排列,得到6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,第5个数为8,第6个数为9,因而中位数为8.5.2.(2024·福建龙岩一模)2xy-1(x+y)7的展开式中x5y2A.-91 B.-21 C.14 D.49答案D解析(x+y)7的展开式的通项为Tr+1=C7rx7-ry则T4=C73x4y3=35x4y3,T3=C72x5y2=21x则展开式中x5y2的系数为2×35-1×21=49.3.(2024·甘肃酒泉三模)有甲、乙两台车床加工同一种零件,且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%,30%,甲、乙两台车床的正品率分别为94%,92%.现从一批零件中任取一件,则取到正品的概率为()A.0.93 B.0.934 C.0.94 D.0.945答案B解析设事件A表示“任选一件零件为甲车床生产的”,事件B表示“任选一件零件为乙车床生产的”,事件C表示“任选一件零件为正品”,则P(A)=70%,P(B)=30%,P(C|A)=94%,P(C|B)=92%,所以P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.934.4.(2024·云南曲靖模拟)已知P(M)=0.4,P(N|M)=0.5,则P(MN)=()A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2答案D解析因为P(N|M)=0.5,由对立事件的概率计算公式可得P(N|M)=1-0.5=0.5,则P(MN)=P(M)P(N|M)=0.4×0.5=0.2.5.(2024·广东佛山二模)劳动可以树德,可以增智,可以健体,可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛,已知冠军是甲、乙当中的一人,丁和戊都不是最差的,则这5名同学的名次排列(无并列名次)共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B解析依题意,排第1名,有C21种方法;排丁和戊,有A32种方法;排余下2人,有A22种方法,所以这5名同学的名次排列(无并列名次)共有C6.(2024·湖北武汉模拟)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为23,向右移动的概率为13.若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于X的位置,则P(X>0)=A.50243 B.52243答案D解析依题意,当X>0时,X的可能取值为1,3,5,且X~B5,23,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=17.(2024·广东江门一模)已知9名女生的身高(单位:cm)平均值为162,方差为26,若增加一名身高172cm的女生,则这10名女生身高的方差为()A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8答案A解析令9名女生的身高为ai(i∈N*,i≤9),依题意,∑i=19ai=9×162,∑i=1因此增加一名女生后,身高的平均值为110(∑i=19ai+172)=110(9×所以这10名女生身高的方差为110[∑i=19(ai-163)2+(172-163)2]=110{∑i=19[(ai-162)-1]2+81}=110{∑i=19[(ai-162)2-2(8.(2024·广东湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则()A.事件M与事件N相互独立B.事件X与事件Y相互独立C.事件M与事件Y相互独立D.事件N与事件Y相互独立答案C解析依题意,甲、乙两人所选选项有如下情形:①有一个选项相同,②两个选项均不相同,③两个选项均相同,所以P(M)=C41C31C21C42C42=23,P(N)=C42C22C42C42=又P(M)P(N)=19≠P(MN),所以事件M与事件N不相互独立,故A错误;P(XY)=C32C42C42=112≠P(X)P(Y)=124,故B错误;由P(MY)=C31C21C11C42C42=16=P(M)P(Y),得事件M与事件Y相互独立,故C正确;因为事件N与事件Y互斥,所以二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·辽宁抚顺一模)采购经理指数(PMI)是国际上通用的监测宏观经济走势的指标之一,具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日,国家统计局发布了中国制造业PMI指数(经季节调整)图,如下图所示,则下列说法正确的是()A.图中前三个数据的平均值为49.9%B.2023年四个季度的PMI指数中,第一季度方差最大C.图中PMI指数的极差为3.8%D.2023年PMI指数的第75百分位数为50.1%答案AB解析对于A,根据表中数据可知图中前三个数据的平均值为13×(47.0+50.1+52.6)%=49.9%,A正确;对于B,从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中,第一季度的波动性最大,稳定性最差,所以方差最大,B正确;对于C,易知图中PMI指数的极差为52.6%-47.0%=5.6%,C错误;对于D,易知12×75%=9,可知2023年PMI指数的第75百分位数为从小到大排列的第9项数据和第10项数据的平均数,即49.7%+50.1%2=10.(2024·云南保山模拟)若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,则下列说法正确的是()A.a0=1B.a0+a1+…+a2024=32024C.a0-a1+a2-a3+…+a2024=1D.a1-2a2+3a3-…-2024a2024=-2024答案ABC解析令x=0,得a0=1,A正确;令x=1,得a0+a1+…+a2024=32024,B正确;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2024=1,C正确;由(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,两边同时求导,得2024×2×(1+2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-2024a2024=-4048,D错误.故选ABC.11.(2024·湖北襄阳模拟)甲袋中有20个红球和10个白球,乙袋中有红球、白球各10个,两袋中的球除颜色外完全相同.现从两袋中各摸出1个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为1B.2个球中恰有1个红球的概率为1C.不都是红球的概率为2D.都不是红球的概率为2答案ABC解析记事件A1:从甲袋中摸出1个球为红球,事件A2:从乙袋中摸出1个球为红球,则P(A1)=23,P(A2)=对于A选项,“2个球都是红球”即为事件A1A2,P(A1A2)=P(A1)P(A2)=13,A正确;对于B选项,“2个球中恰有1个红球”即为事件A1A2+A1A2,P(A1A2+A1A2)=P(A1)·P(A2)+P(A1)P(A2)=23×1-12+1-23×12=12,B正确;对于C选项,因为“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件,所以不都是红球的概率为1-P(A1A2)=1-三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·山东济南一模)已知随机变量X~N(1,22),则D(2X+1)的值为.

答案16解析由X~N(1,22)可得D(X)=22=4,则D(2X+1)=4D(X)=16.13.(2024·山东枣庄一模)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中抽取三个球,其编号之和能被3整除的概率为.

答案7解析依题意,问题相当于求从1,2,3,…,10的10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除的概率,显然试验包含的基本事件总数为C103=120,且它们是等可能事件,10个数中能被3整除的有3,6,9;被3除后余数是1的有1,4,7,10;被3除后余数是2的有2,5,8.取出的3个数的和能被3整除的事件A含有的基本事件数有C33+C43+C33+C3114.(2024·贵州遵义模拟)高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白色圆玻璃球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球,记白色圆玻璃球落入格子的编号为X,则随机变量X的期望与方差分别为,.

答案31解析由题意可知,白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均为12,则向左的次数ξ~B4,12,可知E(ξ)=4×12=2,D(ξ)又因为X=5-ξ,所以E(X)=5-E(ξ)=3,D(X)=D(ξ)=1.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2024·山东济宁二模)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查.从全体学生中随机抽取男女学生各100名,经统计,抽查数据如下表所示.性别锻炼合计经常不经常男生8020100女生6040100合计14060200(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析性别与体育锻炼的经常性是否有关;(2)为提高学生体育锻炼的积极性,学校决定从上述经常参加体育锻炼的学生中,采用样本量按性别比例分配的分层随机抽样方法,随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组,并从中选出3人担任宣传小组组长.记女生担任宣传小组组长的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.附:χ2=nα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)零假设为H0:性别与体育锻炼的经常性之间无关联,根据列联表中的数据,经计算得到χ2=200×(80×40-20×60)2100根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为性别与体育锻炼的经常性有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.(2)由分层随机抽样可知,在抽取的7名同学中,男生有7×80140=4人,女生有7×60140随机变量X服从超几何分布,且N=7,M=3,n=3,P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=CX的分布列为X0123P418121E(X)=nMN=316.(15分)(2023·全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.(1)求z,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,则z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64+49(2)∵2s210=26.1<11,∴可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.17.(15分)(2024·新疆乌鲁木齐一模)地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标,在过去五年(2019年—2023年)中,某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃,从1464亿元增长到了3008亿元.经统计,这五年的年份编号x(2019年对应的x值为1,2020年对应的x值为2,以此类推)与地区生产总值y(单位:百亿元)的对应数据如下表所示.年份编号x12345地区生产总值y/百亿元14.6417.4220.7225.2030.08(1)如果2023年该地区人均生产总值为9.39万元,全国人均生产总值X(单位:万元)服从正态分布X~N(8.94,0.452),那么在全国其他地区中随机挑选2个,记随机变量Y为“2023年人均生产总值高于该地区的地区数量”,求Y=1的概率;(2)该地区的人口总数t(单位:百万人)与年份编号x的经验回归方程可以近似为t^=0.2x+2.2,根据上述回归方程,估算该地区年份编号x与人均生产总值u(单位:万元)之间的经验回归方程u^参考公式与数据:人均生产总值=地区生产总值÷人口总数;一元线性回归方程y^=b^x+a^中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别是b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x,若X~N(解(1)易知9.39=8.94+0.45,由正态分布区间公式,得P(X>9.39)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-即随机挑选一个地区,人均生产总值高于该地区的概率为0.16,则Y~B(2,0.16),所以P(Y=1)=C21×0.16×(1-0.16)=0.268(2)因为t^=0.2x+2.2,所以可估计该地区过去五年的人均生产总值依次为u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.所以x=15×(1+2+3+4+5)=3,u=15×(6.1+6.7+7.4+8.4+9则∑i=15(xi-x)(ui-u)=8.3,∑i=15(xi-由公式可知b^=∑i=15(xi-x)(ui-u)∑i=15即所求经验回归方程为u^=0.83x+5.1118.(17分)(2024·四川南充二诊)已知某芯片生产商生产的某型号芯片各项指标经过全面检测后,分为Ⅰ级和Ⅱ级,两种品级的芯片某项指标的频率分布直方图如图所示.Ⅰ级品Ⅱ级品若只利用该指标制定一个标准,需要确定临界值K,按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机,小于或等于K的产品应用于B型手机.若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机,会导致芯片生产商每部手机损失800元;若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机,会导致芯片生产商每部手机损失400元.假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当临界值K=70时,将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机,求芯片生产商的损失费用ξ(单位:元)的分布列及期望;(2)设K=x且x∈[50,55],现有足够多的Ⅰ级品和Ⅱ级品芯片,分别应用于1万部A型手机和1万部B型手机的生产:方案一:芯片不作该指标检测,Ⅰ级品直接应用于A型手机,Ⅱ级品直接应用于B型手机;方案二:重新检测各芯片的该项指标,并按规定正确应用于手机型号.该方案能避免方案一中的损失费用,但会增加130万元的检测费用.请求出方案一中损失费用的估计值f(x)(单位:万元)的表达式,并从芯片生产商的成本考虑,选择合理的方案.解(1)当临界值K=70时,Ⅰ级品中该指标小于或等于70的频率为(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,所以将一个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于一部A型手机,该手机损失800元的概率为310由题意知,芯片生产商的损失费用ξ的可能取值为0,800,1600,P(ξ=0)=C20×3100×7102=49P(ξ=800)=C21×3101×7101=42P(ξ=1600)=C22×3102×7100=9所以ξ的分布列为ξ08001600P49429所以E(ξ)=0×49100+800×42100+1600(2)当临界值K=x且x∈[50,55]时,若采用方案一:Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的频率为0.002×10+0.005×(x-50)=0.005x-0.23,所以可以估计一万部A型手机中有10000×(0.005x-0.23)=50x-2300部手机的芯片应用错误;Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的频率为0.01×10+0.03×(60-x)=-0.03x+1.9,所以可以估计一万部B型手机中有10000×(-0.03x+1.9)=19000-300x部手机的芯片应用错误;所以可以估计芯片生产商的损失费用f(x)=0.08×(50x-2300)+0.04×(19000-300x)=576-8x(万元),即f(x)=576-8x,x∈[50,55].因为f(x)min=f(55)=136>130,所以芯片生产商从成本考虑,应选择方案二.19.(17分)(2024·福建漳州模拟)甲、乙、丙三人为响应“绿色出行,低碳环保”的号召,计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种方式中的一种出行,三人之间的出行互不影响.其中,甲每天选择“共享单车”出行的概率为12;乙每天选择“共享单车”出行的概率为23;丙在每月的第一天选择“共享单车”出行的概率为34,从第二天起,若前一天选择“共享单车”出行,则后一天继续选择“共享单车”出行的概率为14,若前一天选择“地铁”出行,则后一天继续选择“地铁”出行的概率为(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行,求其中一人是丙的概率;(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X,求X的分布列与数学期望;(3)求丙在3月份的第n(n=1,2,…,31)天选择“共享单车”出行的概率Pn,并帮丙确定在3月