备战2025年高考二轮复习数学题型专项练13　压轴大题抢分练(b)

题型专项练13压轴大题抢分练(B)(分值:34分)学生用书P2381.(17分)(2024山东济南二模)在平面直角坐标系中,粒子从原点出发,每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度,且向四个方向移动的概率均为14.例如在1秒末,粒子会等可能地出现在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四点处(1)设粒子在第2秒末移动到点(x,y),记x+y的取值为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为pn.(ⅰ)已知∑k=0n(Cnk)2=C2nn,求p(ⅱ)令bn=p2n,记Sn为数列{bn}的前n项和,若对任意实数M>0,存在n∈N*,使得Sn>M,则称粒子是常返的.已知2πnnen<n!<6π

142(1)解粒子在第2秒可能运动到点(1,1),(2,0),(0,2)或(0,0),(1,-1),(-1,1)或(-1,-1),(-2,0),(0,-2)的位置,X的可能取值为-2,0,2,P(X=-2)=416P(X=0)=816P(X=2)=416所以X的分布列为X-202P111E(X)=(-2)×14+0×12+2×14(2)(ⅰ)解粒子奇数秒不可能回到原点,故p3=0,粒子在第4秒回到原点,分两种情况考虑:(a)每一步分别是四个不同方向的排列,例如“上下左右”,共有A44(b)每一步分别是两个相反方向的排列,例如“左左右右、上上下下”,共有2C42所以p4=A4第2n秒末粒子要回到原点,则必定向左移动k步,向右移动k步,向上移动(n-k)步,向下移动(n-k)步,故p2n=∑k14142n·C2nn∑故p2n=142n·(C(ⅱ)证明由2πnnen<n!<6π

142πnnen得C2nn=(2n)!(n!设函数f(x)=x-ln(1+x),x>0,则f'(x)=1-11+x故f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)>f(0)=0,于是x>ln(1+x)(x>0),从而有Sn=∑k=1np2k>∑k=1n16k>16∑k=1nln1+1k=设[x]为不超过x的最大整数,则对任意常数M>0,当n≥[e6M]时,n>e6M-1,于是Sn>16ln(n+1)综上所述,当n≥[e6M]时,Sn>M成立,因此该粒子是常返的.2.(17分)(2024江苏苏锡常镇二模)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点A在抛物线上,且FA=3,-14.点P(0,-2),M,N是抛物线上不同的两点,直线PM和直线PN的斜率分别为k1,k2.(1)求C的方程;(2)存在点Q,当直线MN经过点Q时,3(k1+k2)-2k1k2=4恒成立,请求出满足条件的所有点Q的坐标;(3)对于(2)中的一个点Q,当直线MN经过点Q时,|MN|存在最小值,试求出这个最小值.解(1)F0,p2,设Ax1,x122p,则FA=x1,x122p-p2=3所以x1=3,x122p-p2=-14,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程y=kx+m,x2=4y则Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1·x2=-4m.又k1=y1+2x1=kx1+m所以k1+k2=2k+(m+2)1x1+1x2=2k+(k1k2=(=k=8k因为3(k1+k2)-2k1k2=4,所以3×k(m-2)m-即(2k+m-2)(4k+m-2)=0,则m=2-2k或m=2-4k,当m=2-2k时,Δ=16(k2+m)=16(k2-2k+2)=16[(k-1)2+1]>0恒成立.当m=2-4k时,Δ=16(k2+m)=16(k2-4k+2),当k>2+2或k<2-2时,满足Δ>0,则直线MN的方程为y=kx+2-2k=k(x-2)+2,或y=kx+2-4k=k(x-4)+2,所以定点Q的坐标为(2,2)或(4,2).(3)如图,①若直线MN过点(2,2),则m=2-2k,k∈R,得x1+x2=4k,x1·x2=-4m=8k-8,|MN|=(=1+=41+=4k4令f(k)=k4-2k3+3k2-2k+2,则f'(k)=4k3-6k2+6k-2=2(2k-1)(k2-k+1)=0,当k<12时,f'(k)<0,f(k)在-∞,12上单调递减,当k>12时,f'(k)>0,f(k)在12,+∞上单调递增,所以当k=12时,f(k)有最小值,|MN|有最小值|MN|min=4×1+14×②若直线MN过定点(4,2),则m=2-4k,k>2+2或k<2-2.由x1+x2=4k,x1x2=-4m=16k-8,得|MN|=1+k2·(设h(k)=(1+k2)(k2-4k+2)=k4-4k3+3k2-4k+2,则h'(k)=4k3-12k2+6k-4=2(2k3-6k2+3k-2),设m(k)=2k3-6k2+3k-2,则m'(k)=6k2-12k+3=3[2(k-1)2-1].令m'(k)=0,得k1=1-22,k2=1+2k-∞,1-221-21-22,1+221+21+22,+∞m'(k)+0-0+m(k)单调递增极大值单调递减极小值单调递增m1-22≈-3.17<0,故m(k)<0在-∞,1+22上恒成立.当x∈1+22,+∞时,m(k)单调递增,m(2)=-4<0,m(3)=7>0,由零点存在性定理知,m(k)在(2,3)内有唯一零点k0,即k0∈(2,3).当k∈(-∞,k0)时,h'(k)=m(k)