2025版一轮高考总复习数学第九章第三节　随机事件的概率与古典概型

第三节随机事件的概率与古典概型1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例，会用频率估计概率.1.样本空间和随机事件关键词含义样本点随机试验E的的基本结果，常用ω表示样本点样本空间样本点的集合，常用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间随机事件样本空间Ω的，常用大写字母A，B，C，…表示基本事件只包含一个样本点的事件必然事件每次试验的事件不可能事件每次试验的事件2.两个事件的关系和运算事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件（和事件）A与B至少有一个发生A∪B或A＋B交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB互斥事件A与B不能同时发生A∩B＝⌀互为对立事件A与B有且仅有一个发生A∩B＝⌀，A∪B＝Ω3.古典概型（1）古典概型的特征①有限性：样本空间的样本点只有个；②等可能性：每个样本点发生的可能性.（2）古典概型的概率公式：设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝＝.其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.4.概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（⌀）＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝；性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P（A）≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝.5.频率和概率随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的概率fn（A）会逐渐事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此可以用频率fn（A）估计概率P（A）.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的.（）（2）两个事件的和事件是指两个事件同时发生.（）（3）若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.（）（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.（）2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A.至少有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶3.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为（）A.0.496 B.0.504C.0.5 D.14.从集合{1，2，4}中随机抽取一个数a，从集合{2，4，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（2，－1）垂直的概率为（）A.19 B.C.13 D.5.（2024·武汉模拟）抛掷一枚骰子，记A为事件“出现的点数是奇数”，B为事件“出现的点数是3的倍数”，则P（A∪B）＝，P（A∩B）＝.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.（2024·郑州一模）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格产品的概率是（）A.0.014 B.0.024C.0.034 D.0.044随机事件关系的判断【例1】（1）口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是（）A.至少有1个红球与至少有1个黑球 B.至少有1个红球与都是黑球C.至少有1个红球与至多有1个黑球 D.恰有1个红球与恰有2个红球（2）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（）A.A∩D＝⌀ B.B∩D＝⌀C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D听课记录解题技法事件关系判断的策略（1）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件，反之不成立.互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生；（2）判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”；D2＝“点数大于2”；D3＝“点数大于4”，则下列结论正确的个数为.（1）C1与C2互斥；（2）C2，C3为对立事件；（3）C3⊆D2；（4）D3⊆D2；（5）D1∪D2＝Ω，D1∩D2＝⌀；（6）D3＝C5∪C6.用频率估计概率【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年的六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解题技法1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在上一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（1）记A为事件“续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值；（2）记B为事件“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P（B）的估计值；（3）求续保人本年度平均保费的估计值.随机事件的概率考向1古典概型的概率【例3】（1）（2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16 B.C.12 D.（2）（2022·新高考Ⅰ卷5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16 B.C.12 D.听课记录解题技法1.古典概型的概率求解步骤（1）求出所有样本点的个数n；（2）求出事件A包含的所有样本点的个数m；（3）代入公式P（A）＝mn求解2.求样本空间中样本点个数的方法（1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；（2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复；（3）排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识.考向2互斥事件与对立事件的概率【例4】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（1）1张奖券的中奖概率；（2）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解题技法互斥事件概率的两种求法（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件