2025版一轮高考总复习数学第五章　数列教考衔接5⇒高考与数列中的创新试题

高考与数列中的创新试题真题展示【例】（1）（2022·新高考Ⅱ卷3题）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，kA.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.9（2）（2020·全国Ⅱ卷12题）0－1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得ai＋m＝ai（i＝1，2，…）成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai（i＝1，2，…）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C（k）＝1m∑i=1maiai＋k（k＝1，2，…，m－1）是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0－1序列中，满足C（k）≤15（k＝1，2，3，A.11010… B.11011…C.10001… D.11001…听课记录真题溯源与考法探究1.（选择性必修第二册第55页4（2）题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有盏灯.2.（选择性必修第二册第10页阅读与思考）如果1对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，可以看出，Fn＝Fn－1＋Fn－2（n＞2）.这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列.由高考真题与教材原题可以看出，随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素养的全面考查，数列中的创新试题因其情境设置新颖，考查角度灵活等特点，不仅体现了新课程标准的考查要求，更突出了对学生数学思维、探索能力的考查，对于全面促进“教—考—学”的改革起到了关键作用.数列创新试题的常见类型类型1数列中的数学文化试题1.数学文化中的递推数列问题【例1】九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用an表示解下n（n≤m）个圆环所需的最少移动次数，若数列{an}满足：a1＝1，且an＝2an－1－1，n为偶数，2an－1+2，n为奇数，听课记录反思感悟以数学文化为背景的已知递推公式的数列问题的求解关键是耐心读题、仔细理解题意，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用递推公式往要求的量转化.2.数学文化中的周期数列问题【例2】意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n－1）＋F（n－2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以3的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2024项的和为.听课记录反思感悟以数学文化为背景的周期数列问题的求解关键是仔细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本例实质是利用斐波那契数列的各项除以3的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果.3.数学文化中的等差、等比数列问题【例3】（2021·新高考Ⅰ卷16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么∑k=1nSk＝听课记录反思感悟以数学文化为背景的等差、等比数列问题的求解关键是：（1）会脱去数学文化的背景，读懂题意；（2）构建模型，即由题意构建等差、等比数列模型；（3）解模，即把文字语言转化为求等差、等比数列的相关问题，如求指定项、公差（公比）或项数、通项公式或前n项和等.类型2数列中的新定义试题1.定义数列的“新概念”【例4】（多选）在数列{an}中，若an2－an－12＝p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}A.若{an}是等差数列，则{an2B.数列{（－1）n}是等方差数列C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列听课记录反思感悟对于“新概念”类的数列问题，求解关键是要读懂“新概念”的本质含义，剥去“新概念”的外衣，将其转化成等差、等比等我们熟悉的数列知识解决.2.定义数列的“新性质、新运算”【例5】（1）（2024·襄阳模拟）在一个数列中，如果对∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝；（2）定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有｜an＋1｜＋｜an｜＝d（d为常数），则称{an}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”.已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2024项的和S2024的最小值为.听课记录反思感悟解决数列“新性质、新运算”问题的一般流程（1）理解“新性质、新运算”的含义；（2）特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论；（3）通过特殊情况寻找“新性质、新运算”数列的规律及性质，通过类比已知数列（如等差或等比数列），仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案；（4）联系等差数列与等比数列知识将“新性质、新运算”数列问题转化为熟悉的知识进行求解.高考还可这样考1.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）A.2413 B.C.2142.满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3）的数列{an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋线”）.如图，圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为（）A.38 B.1C.58 D.3.已知点列{Pn}中的所有点都在△ABC内部，△ABPn的面积与△ACPn的面积比值为13.在数列{an}中，a1＝1，若∀n∈N*且n≥2，APn＝3anAB＋（4an－1＋3）AC恒成立，那么a4＝（A.15 B.31C.63