2025版一轮高考总复习数学第十章　重难专攻(十二)　概率与统计的综合问题

重难专攻（十二）概率与统计的综合问题概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.统计图表与概率的综合问题【例1】某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.（1）求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；（2）从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.解题技法统计图表与概率综合问题的求解策略（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.（2022·新高考Ⅱ卷19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.回归分析与概率的综合问题【例2】（2024·烟台一模）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352计算得到一些统计量的值为：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程；（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其经验回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝∑i=1nxiyi解题技法回归分析与概率综合问题的解题思路（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2023年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表：A大学B大学C大学D大学2023年毕业生人数x/千人3456自主创业人数y/千人0.10.20.40.5（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y＝a＋bx；（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.①若该市E大学2023年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额；②若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p，2p－1（12＜p＜1），该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围参考公式及参考数据：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nx独立性检验与概率的综合问题【例3】（2023·全国甲卷19题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；（2）试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.809.2011.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：＜m≥m对照组试验组②根据①中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解题技法独立性检验与概率综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.某种疾病可分为A，B两种类型.为了解患该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者总人数是男性患者总人数的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者总人数的56，女性患A型疾病的人数占女性患者总人数的1（1）若本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，认为所患疾病类型与性别有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人；（2）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验