《计算机辅助设计与制造》课件第9章

第9章机械优化设计9.1优化设计的发展和应用9.2优化设计的基本概念9.3机械优化设计方法9.4优化设计中相关问题的确定9.5最优化方法的选择和评价9.6计算结果的分析与处理9.7最优化方法在机械设计中的应用

9.1优化设计的发展和应用

9.1.1优化设计概述

在人类活动中，要办好一件事(指规划、设计等)，都期望得到最满意、最好的结果或效果。为了实现这种期望，必须有好的预测和决策方法。方法得当，事半功倍；反之，则事倍功半。优化方法就是各类决策方法中普遍采用的一种方法。

优化设计的一般过程可以用图9-1来表示。图9-1优化设计的一般过程9.1.2优化问题的分类

在工程优化原理和方法的应用领域中，优化主要包括优化设计、优化试验和优化控制三个方面。9.1.3优化设计的发展

根据优化设计的特点和其应用的发展概况，优化设计可归纳为如下几个方面来考虑：

1.优化设计方法的发展

2.建立数学模型

3. CAD/CAM资源库9.1.4优化技术在工程中的应用

工程技术的优化问题可分为静态与动态两类。

最优化技术在工程中的应用主要有四个方面：

(1)工程部件、单元设备或全系统的最优设计；

(2)现有操作的分析和计划制定；

(3)工程分析和数据处理；

(4)研究过程动态特性和设计最优控制方案。

9.2优化设计的基本概念

9.2.1设计变量

1.设计变量的定义

为了进行产品设计，需要寻找并确定最佳的结构参数。这些参数中，有的可根据标准、规定等选定，在优化设计中可认为是设计常量，例如静摩擦系数、系列化齿轮传动的中心距等；有的必须通过设计确定，这些参数称为设计变量，即通过设计确定的最佳结构参数，例如齿数、模数、齿宽等。设x1，x2，…，xn为最优化问题中的n个变量，我们可以用一个n维向量X表示，记为

2.设计变量的选定

任何一项产品，都是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，越能完整地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。9.2.2目标函数

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它便是优化的目标，称为目标函数，以F( X )表示。

9.2.3约束条件

任何设计都有各种各样的限制条件，例如强度、刚度等。每个限制条件都可写成包含设计变量的函数，称为约束条件。

9.2.4全局最优解和局部最优解

不论是无约束或有约束的优化问题，由于目标函数和约束条件的函数形态不同，可能有多个局部极值点(即局部最优解)。而全局最优解是指这些局部最优解中目标函数值最好的一个解，往往只有一个。

9.3机械优化设计方法

按不同的方法来确定搜索方向和步长，就形成了不同的优化方法。机械优化设计中的问题大多是多维优化问题，但由于多维问题都可以化为一维问题处理，所以一维寻优方法是优化设计中最基本的方法。

1. 0.618法(黄金分割法)

它的基本思想是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将搜索区间逐次缩短，其缩短系数为λ = 0.618，当区间缩短到预定精度范围时，即可获得近似最优解。

2.插值法

插值法是利用搜索区间内的若干个点的信息(包括函数值、导数值等)，构造一个低次插值多项式，近似地代替原目标函数，然后求此多项式的极小点，以它作为原目标函数的插值点，通过迭代计算逐步缩短搜索区间，使插值函数的极小点逐步逼近目标函数的极小点。

3.坐标轮换法

坐标轮换法是轮流沿坐标方向进行一维搜索，即先固定n-1维的坐标，沿未固定的坐标方向e1进行一维搜索，找到此方向上函数的极小点；然后以此点作为初始点沿另一坐标方向e2进行一维搜索，得到在此坐标方向的极小点；依次沿坐标方向e3，e4，…，en进行一维搜索，这样就完成了第一轮搜索，求得第一轮的极小点。

4.梯度法

梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度方向是函数值下降最快的方向。利用这一特性，把负梯度方向作为搜索方向，这就是梯度法，也称最速下降法。然而，梯度法的收敛速度并不快，这是因为梯度只反映函数的局部性质。

5.共轭方向法

共轭方向的概念在优化方法中起着重要的作用。一般二元二次函数的等值线是一个同心椭圆族，其中心就是函数的极小点X*。同心椭圆族的特性为过任意两点沿S1方向作两条平行线，它们与同心椭圆族中两椭圆切点的连线必定通过椭圆族的中心，如图9-2所示。切线方向S1与两切点连线方向S2是共轭的矢量。

图9-2同心椭圆族平行切线的特性

6.复合形法

复合形法是求解约束优化问题的一种重要直接方

法。它是指在n维设计空间的可行域内，先取P个点(n + 1≤P≤2n)作为初始复合形的顶点，比较这些顶点

的目标函数值，去掉函数值最大的最坏点，而代之以坏

点的反射点(以复合形中坏点之外的各点的中心为映射中

心所得的映射点)形成新的复合形，按照这种步骤重复多次，使复合形逐步缩小并逼近最优点，达到精度要求时，取最后一个复合形中的最小点作为最优点。

7.罚函数法

罚函数法是一种将约束优化问题转化为一个等价的无约束优化问题，并利用无约束优化方法求解的间接求优方法。其基本思想是：以原目标函数为基础，将约束函数考虑进去，构成一个没有约束条件的新目标函数，在此新目标函数中，给予一个或几个可调整的称为惩罚因子的参数，在求优过程中，不断调整这些参数，使新的目标函数的最优解最后收敛于原目标函数的最优解。

8.遗传算法

遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索算法。它使用群体搜索技术，通过对当前群体施加选择、交叉、变异等一系列遗传操作，从而产生出新一代的群体，并按优胜劣汰的机制逐步使群体进化到包含或接近最优解的状态。

9.人工神经网络方法

人工神经网络是由大量具有存储能力的处理单元按一定方式连接而成的高度复杂的非线性动力学系统，是对人脑的微观结构及其智能行为的简化和模拟。它通过反复训练和学习以及自身的适应能力来完成对信息的处理，具有很强的自适应性、自组织性、自学习能力和容错性。

9.4优化设计中相关问题的确定

9.4.1设计变量的选取

设计变量是在设计过程中需要进行选择且最终必须确定的各项独立参数。虽然凡能影响设计质量或结果的可变参数均可作为设计变量，但设计变量太多会增加计算的难度和工作量，且会由于问题过分复杂而失去实际意义；设计变量太少则减小了设计自由度，难以甚至无法得到较佳的优化结果。9.4.2目标函数的建立

目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，用来评价设计方案的优劣程度。9.4.3约束条件的确定

设计约束是考虑边界和性能对设计变量取值的限制

条件。

9.5最优化方法的选择和评价

1.最优化方法的选择

机械优化设计中常用的一些优化方法前面已作介绍，各种方法都有其特点和一定的适用范围。选择优化方法应综合考虑：

(1)设计变量是连续的还是离散的，以及维数的多少。维数较低可选用结构简单易于编程的方法，维数高的则应选择收敛速度较快的方法。

(2)目标函数是单目标还是多目标，目标函数的连续性及其一阶、二阶偏导数是否存在以及是否易于求得，对于求导困难或导数不存在的应避免求导而采用直接法。

(3)有无约束，约束条件是不等式约束还是等式约束，还是两者同时兼有。如具有等式约束，显然不能直接采用复合形法、内点罚函数法。

2.最优化方法的评价

评价优化程序的准则主要有：

(1)通用性，指在合理的精度要求下，在一定的计算时间内，能求解出各种不同类型的优化问题的成功率。

(2)有效性，指对同一问题在同一精度、同一初始条件下，求解优化问题所用计算时间的多少。

(3)简便性，指人们所需要准备的工作量大小，包括学习使用程序，编制针对具体优化问题的辅助子程序，程序中所需调用参数的多少，调试操作复杂程度，输入、输出控制方式等。

9.6计算结果的分析与处理

由于机械设计问题的复杂性，以及建模中可能的失误，因此对优化计算得到的结果要进行仔细的分析，有时还需要进行适当的处理，以保证设计的合理性。

9.7最优化方法在机械设计中的应用

在机构设计、机械零部件设计以至机械系统设计中，应用最优化技术已日益广泛。

机构的优化设计是在解析法的基础上确定机构的最佳参数和尺寸。它是机械优化设计中发展比较早的一个领域，如今已成为机构学重要的研究方向之一。机构的优化设计一般有两类基本问题：

(1