2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式-专项训练模拟练习【含解析】

2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式-专项训练模拟练习【A级基础巩固】一、单选题1．已知cosθ＝－eq\f(12,13)，若θ是第二象限角，则tan(π＋θ)的值为()A．eq\f(5,12) B．eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12) D．－eq\f(12,5)2．已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，则sinα等于()A．eq\f(15,17) B．－eq\f(15,17)C．eq\f(8,17) D．－eq\f(8,17)3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且cosα＝－eq\f(5,13)，则eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cosα＋π)等于()A．eq\f(12,13) B．－eq\f(12,13)C．eq\f(13,12) D．－eq\f(13,12)4．sineq\f(29π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(29π,3)))－taneq\f(25π,4)＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．－eq\f(1,2)5．已知α是第四象限的角，化简eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))＋eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))的结果是()A．eq\f(2,sinα) B．－eq\f(2,sinα)C．－eq\f(2,cosα) D．eq\f(2,cosα)6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值是()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)7．已知tanθ＝2，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ的值为()A．eq\f(19,5) B．eq\f(16,5)C．eq\f(23,10) D．eq\f(17,10)8．已知eq\f(1,tan\f(θ,2))－taneq\f(θ,2)＝2sinθ，则cosθ＝()A．eq\f(\r(5)－2,4) B．eq\f(2－\r(5),2)C．eq\f(1－\r(5),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)二、多选题9．已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinx B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosxC．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx10．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)三、填空题12．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(sinθ－cosθ,1－sin2θ)，则tanθ＝.13．设f(tanα)＝sinαcosα，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(11π,6)))＝.14．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝.15．已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，则eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)的值为.四、解答题16．已知eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝2.(1)求tanα的值；(2)求2sin2α＋3sinαcosα－cos2α的值．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(多选题)在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC2．已知eq\f(sinα,1＋cosα)＝－eq\f(2,3)，则eq\f(sinα,1－cosα)的值是()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)3．已知曲线f(x)＝eq\f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝()A．eq\f(1,2) B．2C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,8)4．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”．任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串．重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)π＋\f(π,3)))＝()A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)5．已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．6．已知第二象限角α满足sinα，cosα是关于x的方程25x2－5x－12＝0的两个实根．(1)求tanα＋eq\f(1,tanα)的值；(2)求eq\f(2sinα＋cosα,sin2α2cosα－sinα)的值． 参考答案 【A级基础巩固】一、单选题1．(C)[解析]由题意求出sinθ，又tan(π＋θ)＝tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)，再将sinθ，cosθ的值代入即可得出答案．∵θ是第二象限角，又cosθ＝－eq\f(12,13)，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(5,13)，∴tan(π＋θ)＝tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(5,12).故选C．2．(D)[解析]∵tanα＝－eq\f(8,15)，∴eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(8,15)，∴sinα＝－eq\f(8,15)cosα代入sin2α＋cos2α＝1，cos2α＝eq\f(225,289)，∵α是第四象限角，∴cosα＝eq\f(15,17)，∴sinα＝－eq\f(8,15)×eq\f(15,17)＝－eq\f(8,17)，故选D．3．(C)[解析]由已知得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cosα＋π)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))·cosα＋π)＝eq\f(cosα,－sinα·－cosα)＝eq\f(1,sinα)＝eq\f(13,12).4．(A)[解析]原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10π＋\f(π,3)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,4)))＝sineq\f(5π,6)＋coseq\f(π,3)－taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－1＝0.5．(D)[解析]原式＝eq\r(\f(1＋sinα2,1－sinα1＋sinα))＋eq\r(\f(1－sinα2,1＋sinα1－sinα))＝eq\r(\f(1＋sinα2,cos2α))＋eq\r(\f(1－sinα2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,|cosα|)＋eq\f(1－sinα,|cosα|)＝eq\f(2,|cosα|)，因为α是第四象限的角，所以cosα>0，所以原式化简的结果是eq\f(2,cosα).故选D．6．(B)[解析]因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3).7．(C)[解析]原式＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋eq\f(sin2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ)＋eq\f(tan2θ,tan2θ＋1)，将tanθ＝2代入上式，则原式＝eq\f(23,10).8．(D)[解析]利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简已知等式可得cosθ＝sin2θ>0，进而可得cos2θ＋cosθ＝1，解方程即可求解cosθ的值．因为eq\f(1,tan\f(θ,2))－taneq\f(θ,2)＝2sinθ，所以eq\f(cos\f(θ,2),sin\f(θ,2))－eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝eq\f(cos2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝eq\f(cosθ,\f(1,2)sinθ)＝2sinθ，可得cosθ＝sin2θ>0，所以cos2θ＋cosθ＝1，解得cosθ＝eq\f(\r(5)－1,2)(负值舍去)．故选D．二、多选题9．(CD)[解析]sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－cosx，故B不成立；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝cos(π－x)＝－cosx，故D成立．10．(BD)[解析]因为sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，可得2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A错误，又由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，可得sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，故D正确，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(1,5)，,sinθ－cosθ＝\f(7,5)，))解得sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，故B正确，由tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3)，故C错误．故选BD．11．(AC)[解析]由已知求得sinα，再由三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式逐一分析四个选项得答案．∵sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，∴sinα＝eq\f(1,4)，若α＋β＝eq\f(π,2)，则β＝eq\f(π,2)－α.sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故A符合条件；cos(π＋β)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,4)，故B不符合条件；tanβ＝eq\r(15)，即sinβ＝eq\r(15)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(15),4)，故C符合条件；tanβ＝eq\f(\r(15),5)，即sinβ＝eq\f(\r(15),5)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(6),4)，故D不符合条件．故选AC．三、填空题12．[解析]因为eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(sinθ－cosθ,1－sin2θ)，所以eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(sinθ－cosθ,sinθ－cosθ2)因为sinθ－cosθ≠0，所以eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(1,sinθ－cosθ)，即sin2θ－sinθcosθ－cos2θ＝0，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosθ≠0，tanθ>0，所以tan2θ－tanθ－1＝0，解得tanθ＝eq\f(\r(5)＋1,2).13．[解析]因为f(tanα)＝sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)，所以f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(11π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(－\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝－eq\f(2,5).14．[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－1＝－eq\f(2＋\r(3),3).15．[解析]∵sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝－eq\f(1,6).四、解答题16．[解析](1)eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,cosα－sinαcosα＋sinα)＝eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3).(2)2sin2α＋3sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sin2α＋3sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋3tanα－1,tan2α＋1)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋3×\f(1,3)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋1)＝eq\f(1,5).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(ABC)[解析]在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确．sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正确．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．故选ABC．2．(D)[解析]∵eq\f(sinα,1＋cosα)×eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(sin2α,sin2α)＝1，∴eq\f(sinα,1－cosα)＝－eq\f(3,2).3．(C)[解析]由f′(x)＝2x2，得tanα＝f′(1)＝2，所以eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(3,5).4．(A)[解析]根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a＝123，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)π＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(82π＋\f(