2024年高考数学专项复习：立体几何中的轨迹问题（学案+练习）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展26立体几何中的轨迹问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

一'立体几何中的轨迹问题

立体几何轨迹问题是以空间图形为素材.去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的

交汇处，要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力，以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.

常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.

二、常用的解决策略

(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.

⑵坐标法:建立合适的坐标系，用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.

(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上，如平面与圆雉、圆柱、球相交，球与球相交，等等.

(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题，使问题更易解决.空间问题平面

化也是解决立体几何题目的一般性思路.

三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析

令平面与轴线的夹角为e(o<0<90°),圆雉的母线与轴的夹角为a(o<a<90。,如图②.

(1)当a(。时，截口曲线为椭圆；

(2)当a=。时，截口曲线为抛物线；

(3)当a>0时,截口曲线为双曲线.

图②

图②我们再从几何角度来证明.

(1)如图③，在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点耳，工.在截口曲线上任取一点P,过点

P作圆雉的母线，分别与两球切于点,2•由球的性质可知|PQ21Tp胤，|1=|尸局，于是

|尸片|+|尸阊=|尸匈+|尸。2|=|0a为定值，这样截口曲线上的任一点。到两个定点的距离之和为

常数面椭圆的定义知，截口曲线是椭圆.

Q.

图③

(2)如图④，在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球，使它们分别与圆雉的侧面、截面相切.两个球分别

与截面切于点小工.在截口曲线上任取一点p,过点p作圆雉的母线，分别与两球切于点e,,.由球的性质

可知IP0=|正耳|,|P01=|尸阊，于是IW|-卢阊=IPQHP0I=II为定值，这样截口曲线上的任一

点P到两个定点2,的距离之差的绝对值为常数，由双曲线的定义知，截口曲线是双曲线.

(3)如图⑤，用平行于母线且垂直于轴截面的平面，去截圆雉.在圆雉内放一个球，使它和圆雉的侧面与

截面，相切，球与截面切于点尸.设a为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面，记。c，=/.在截口曲线

上任取一点P,作直线与球相切于点T,连结PT，有|尸耳=归刀.在母线OM上取点A,B(B为OM与球的

切点)，使得|=|PT卜过点P作PQ//AB，有点Q在I上,且但@=|司.另一方面，因为平面与a

垂直，那么I1平面，有/，A5,所以/，PQ.于是截口曲线是以点F为焦点，/为准线的抛物线.

图⑤

二、题型精讲精练

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

①平行有关的轨迹问题的解题策略一

1.线面平行转化为面面平行得轨迹；

2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

②垂直有关的轨迹问题的解题策略

1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;

2.利用空间坐标运算求轨迹；

3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.

【典例1］如图，在边长为a的正方体480-48（01中，E、F、G、H、N分别是CCi、CiDi>DDi、

CD、8c的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若〃面48。，则点/轨迹的长度是（）

A.gaB.垃aC.叵D.叵

22

【答案】D

【分析】连接GH、HN,有GH〃BAi,HN//BD,证得面4/0〃面GHN,由已知得点M须在线段GH

上运动，即满足条件，由此可得选项.

【详解】解：连接GH、HN、GN,..•在边长为a的正方体ABCO-AiHCiOi中，E、F、G、H分别是CG、

DDi,的中点，N是BC的中点，

则GH//BAi,HN//BD,又GHu面AiBD,BAiu面所以G"〃面AyBD,同理可证得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H,.,.面430〃面GHN,

又•点M在四边形EFGH上及其内部运动,MN//面AXBD,

则点拉须在线段GH上运动，即满足条件，GH=^a,则点拉轨迹的长度是比

22

［典例2］在正方体ABCD-A^C,D,中，Q是正方形B'BCa内的动点，AQ，8G,则。点的轨迹是（）

A.点与B.线段2。C.线段与GD.平面ABCG

【答案】B

【分析】如图，连接AC,证明BCJB]Q,又BCJB{C,即得解.

【详解】

如图，连接4C,

因为，AQ,，A旦,AQn4瓦=A，A。,A旦u平面4用。，所以BQ1平面A^Q，又用QU平面

W,

所以Z?G，BQ,又BG，BC.所以点Q在线段BC上.故选：B

2.距离、角度有关的的轨迹问题

①距离有关的轨迹问题的解题策略

1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求

解轨迹；

2.利用空间坐标计算求轨迹.

②角度有关的轨迹问题的解题策略

1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面；

2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；

3.利用空间坐标系计算求轨迹.

【典例3］已知正方体ABCD-AbBCiOi的棱长为1,尸为底面A2CD内一点，若尸到棱CD,Aid距离相

等的点，则点尸的轨迹是（）

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系D-邙，求出点尸的轨迹方程即可判断.

【详解】

如图示，过P作与E,过尸作于F,过户作FG〃44i交Aid于G,连结PG,由题意

可知PE=PG

以。为坐标原点建立空间直角坐标系。-^yz,设P（x,y,0）,由PE=PG得：

…卜什+0,平方得：（了_1）2一丁=1即点p的轨迹是双曲线.故选：D.

【典例4】正方体ABC。-A4G2中，M,N分别为AB,A耳的中点，P是边CQ】上的一个点（包括

端点），。是平面PM可上一动点，满足直线MN与直线AN夹角与直线MN与直线N。的夹角相等，则

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.抛物线或双曲线

【答案】D

【分析】根据题设分析可知：。点轨迹为以AN为母线，为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于Aq

反向对称的锥体与平面尸田4的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断。所在轨

迹的形状.

【详解】由题设，Q点轨迹为以⑷V为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于A4反向对

称的锥体与平面用的交线，如下图示：

当P是边G2上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线；

当尸是边C2上移动过程中，与上方锥体也有相交，。点轨迹为双曲线；

D

3.翻折有关的的轨迹问题

①翻折有关的轨迹问题的解题策略

1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹

2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹

3.可以利用空间坐标运算求轨迹

【典例5】1822年，比利时数学家。劭d“沅利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，

可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性.在生

活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆

锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个占A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使

得AA与小球相切.若AA=5,小球半径为2,则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）

厂

Bi

【答案】A

【分析】设&K=彳,从而可得的=5,A4=x+2,AA,=x+3,利用勾股定理可得x=10,再由离心

率的定义即可求解.

【详解】在4中，设4耳=x,。&=兀

=5,=x+2,AA,=x+3,52+(x+2)2=(x+3)2,

一c2

/.x=10,J长轴长44=2〃=12,a=6。=6—2=4贝！|离心率e=—二—・故选：A

fa3

【题型训练2-刷模拟】

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）正四棱锥S-MCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点尸在

表面上运动，并且总保持尸E,AC,则动点尸的轨迹的周长为（）

A.76+72B.A/6-V2C.4D.V5+1

2.（2023.安徽滁州.安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱ABCD-ABiGP中，AB=1,M=4,E

为DR中点，尸为正四棱柱表面上一点，且£尸1BtE,则点尸的轨迹的长为（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.275+72D.而+拒

3.（2023•江西赣州•统考二模）在棱长为4的正方体ABCD-ABCQ中，点尸满足丽=4砺，E,F分

别为棱BC,CD的中点，点。在正方体ABCD-AgGR的表面上运动，满足其。〃面斯P,则点。的轨迹

所构成的周长为（）

A.也B.2AC.旭D.晅

333

4.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为2,E,尸分别为AA，48的

中点，点尸是正方体表面上的动点，若GP〃平面CQE/，则尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为

C.272+75D.2V2+2V5

5.（2023・全国•高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD-ABG。中，M,N分别为B],4G的中点,

点尸在正方体的表面上运动，且满足〃平面CNR,则下列说法正确的是（）

B.线段"P的最大值为走

A.点P可以是棱8月的中点

2

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+逐

6.（2023•全国•高三专题练习）已知棱长为1的正方体，"是B片的中点，动点尸在正方

体内部或表面上，且"P〃平面则动点下的轨迹所形成区域的面积是（）

4fB.y/2C.1D.2

二、填空题

7.（2023•全国•高三专题练习）如图，AB为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周上一点，己知

TT

ZAOC=-,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

A

8.（2023•河南•校联考模拟预测）已知正方体ABCD-ABIG。的棱长为动点尸在VABC内，满足

D、pf,则点尸的轨迹长度为.

9.（2023春•四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点时是棱长为3亚的正方体

ABC。-4与£。的内切球。的球面上的动点，点N为棱BG上的一点，且2NB、=NJ,DMLBN,则动M

点的轨迹的长度为

2.距离、角度有关的的轨迹问题

一、单选题

1.（2023春•河南•高三校联考阶段练习）已知长方体的外接球的表面积为5兀，⑨=2,

71

点尸在四边形AACG内，且直线BP与平面AACG所成角为;，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长

4

为（）

A.兀B.叵C.-D.叵

224

2.（2023•河北•统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥

7T

为正四棱锥）P—A88的底面正方形边长为2,其内切球O的表面积为动点。在正方形A5CD内运动，

且满足。。=。尸，则动点。形成轨迹的周长为（）

a2兀-3兀-4兀-5兀

A.——B.—C.——D.—

11111111

3.（2023•山东淄博・统考三模）设A,5是半径为3的球体O表面上两定点，且NACW=60。，球体。表面

上动点尸满足|网=2|尸到，则点尸的轨迹长度为（）

A12而R4V15「6A/1412V13

A.-----------71D•----------71C,------------71D.------------71

1157

4.（2023・全国•高三专题练习）在正方体ABC。-ABC。中，E为AA的中点，F为底面ABCO上一动点,

且与底面48。所成的角为60°.若该正方体外接球的表面积为12兀，则动点尸的轨迹长度为（）.

A4G曲「2出n473

A,---兀D.-----7CC•--------TtD•--------71

9333

5.（2023•云南曲靖•曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥尸-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点

P到底面A8C的距离为4,体积为若该三棱锥的外接球O的半径为而，则满足上述条件的顶点P的

轨迹长度为（）

A.6兀B.12万C.2岳D.4岳

6.（2023春•上海宝山•高三上海交大附中校考期中）在正四面体A-BCD中，点尸为ABCD所在平面上的动

点，若小与AB所成角为定值则动点P的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

7.（2022秋.河南.高三期末）棱长为1的正方体A8CD-4用GA中，点E是侧面CG4B上的一个动点（包

含边界），则下面结论正确的有（）

①若点E满足则动点E的轨迹是线段；

②若点E满足NEAC=30。,则动点E的轨迹是椭圆的一部分；

③在线段BG上存在点E,使直线AE与CO.所成的角为30。；

④当E在棱B片上移动时，的最小值是小5.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

8.（2023春•湖南长沙•高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体A8CD-A与G。中，尸为棱上一点,

且|人尸|=1,则正方体表面到P点距离为正的点的轨迹总长度为.

9.（2023•全国•高三专题练习）已知三棱锥尸-ABC的外接球。的半径为JF,"1SC为等腰直角三角形,

若顶点尸到底面ABC的距离为4,且三棱锥P-ABC的体积为方，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度

是.

10.（2023•全国・唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体ABC。-ABC。的内切球球面上的动

点，M为4a的中点，DN1MB,若动点N的轨迹长度为生叵，则正方体的体积是.

5

3.翻折有关的的轨迹问题

一、单选题

1.已知菱形A5CD的各边长为2,/。=60。.如图所示，将AACZ）沿AC折起，使得点。到达点S的位置，连

接S3,得到三棱锥S-ABC,此时SB=3,E是线段9的中点，点尸在三棱锥S-ABC的外接球上运动,

且始终保持竹1AC,则点尸的轨迹的周长为（）

A5A/2R4括r4x/3n573

A.--------TCH.-------71C•-------71D.------71

3333

2.如图，正方形ABC。的边长为2,E为8c的中点，将AB4E沿AE向上翻折到△以正，连接PC,P。，在

翻折过程中，下列说法中正确的是（）

尸(8)

①四棱锥P-AECD的体积最大值为半②.尸£＞中点尸的轨迹长度为缶

③EP,CD与平面R4Q所成角的正弦值之比为2:1

④三棱锥尸-回的外接球半径有最小值。，没有最大值

4

A.①③B.②③C.①③④D.①②③

3.如图，在长方形ABCD中，AB=、,Q,BC=1,E为线段DC上一动点，现将'AED沿AE折起，使点

D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为

3

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展26立体几何中的轨迹问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

一'立体几何中的轨迹问题

立体几何轨迹问题是以空间图形为素材.去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的

交汇处，要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力，以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.

常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.

二、常用的解决策略

(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.

⑵坐标法:建立合适的坐标系，用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.

(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上，如平面与圆雉、圆柱、球相交，球与球相交，等等.

(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题，使问题更易解决.空间问题平面

化也是解决立体几何题目的一般性思路.

三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析

令平面与轴线的夹角为e(o<0<90°),圆雉的母线与轴的夹角为a(o<a<90。,如图②.

(2)当a(。时，截口曲线为椭圆；

(2)当a=。时，截口曲线为抛物线；

(3)当a>0时,截口曲线为双曲线.

图②

图②我们再从几何角度来证明.

(1)如图③，在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点耳，工.在截口曲线上任取一点P,过点

P作圆雉的母线，分别与两球切于点,2•由球的性质可知|PQ21Tp胤，|1=|尸局，于是

|尸片|+|尸阊=|尸匈+|尸。2|=|0a为定值，这样截口曲线上的任一点。到两个定点的距离之和为

常数面椭圆的定义知，截口曲线是椭圆.

Q.

图③

(2)如图④，在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球，使它们分别与圆雉的侧面、截面相切.两个球分别

与截面切于点小工.在截口曲线上任取一点p,过点p作圆雉的母线，分别与两球切于点e,,.由球的性质

可知IP0=|正耳|,|P01=|尸阊，于是IW|-卢阊=IPQHP0I=II为定值，这样截口曲线上的任一

点P到两个定点2,的距离之差的绝对值为常数，由双曲线的定义知，截口曲线是双曲线.

(3)如图⑤，用平行于母线且垂直于轴截面的平面，去截圆雉.在圆雉内放一个球，使它和圆雉的侧面与

截面，相切，球与截面切于点尸.设a为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面，记。c，=/.在截口曲线

上任取一点P,作直线与球相切于点T,连结PT，有|尸耳=归刀.在母线OM上取点A,B(B为OM与球的

切点)，使得|=|PT卜过点P作PQ//AB，有点Q在I上,且但@=|司.另一方面，因为平面与a

垂直，那么I1平面，有/，A5,所以/，PQ.于是截口曲线是以点F为焦点，/为准线的抛物线.

图⑤

二、题型精讲精练

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

①平行有关的轨迹问题的解题策略一

1.线面平行转化为面面平行得轨迹；

2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

②垂直有关的轨迹问题的解题策略

1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;

2.利用空间坐标运算求轨迹；

3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.

【典例1］如图，在边长为a的正方体480-48（01中，E、F、G、H、N分别是CCi、CiDi>DDi、

CD、8c的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若〃面48。，则点/轨迹的长度是（）

A.gaB.垃aC.叵D.叵

22

【答案】D

【分析】连接GH、HN,有GH〃BAi,HN//BD,证得面4/0〃面GHN,由已知得点M须在线段GH

上运动，即满足条件，由此可得选项.

【详解】解：连接GH、HN、GN,..•在边长为a的正方体ABCO-AiHCiOi中，E、F、G、H分别是CG、

DDi,的中点，N是BC的中点，

则GH//BAi,HN//BD,又GHu面AiBD,BAiu面所以G"〃面AyBD,同理可证得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H,.,.面430〃面GHN,

又•点M在四边形EFGH上及其内部运动,MN//面AXBD,

则点拉须在线段GH上运动，即满足条件，GH=^a,则点拉轨迹的长度是比

22

［典例2］在正方体ABCD-A^C,D,中，Q是正方形B'BCa内的动点，AQ，8G,则。点的轨迹是（）

A.点与B.线段2。C.线段与GD.平面ABCG

【答案】B

【分析】如图，连接AC,证明BCJB]Q,又BCJB{C,即得解.

【详解】

如图，连接4C,

因为，AQ,，A旦,AQn4瓦=A，A。,A旦u平面4用。，所以BQ1平面A^Q，又用QU平面

W,

所以Z?G，BQ,又BG，BC.所以点Q在线段BC上.故选：B

2.距离、角度有关的的轨迹问题

①距离有关的轨迹问题的解题策略

1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求

解轨迹；

2.利用空间坐标计算求轨迹.

②角度有关的轨迹问题的解题策略

1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面；

2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；

3.利用空间坐标系计算求轨迹.

【典例3］已知正方体ABCD-AbBCiOi的棱长为1,尸为底面A2CD内一点，若尸到棱CD,Aid距离相

等的点，则点尸的轨迹是（）

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系D-邙，求出点尸的轨迹方程即可判断.

【详解】

如图示，过P作与E,过尸作于F,过户作FG〃44i交Aid于G,连结PG,由题意

可知PE=PG

以。为坐标原点建立空间直角坐标系。-^yz,设P（x,y,0）,由PE=PG得：

…卜什+0,平方得：（了_1）2一丁=1即点p的轨迹是双曲线.故选：D.

【典例4】正方体ABC。-A4G2中，M,N分别为AB,A耳的中点，P是边CQ】上的一个点（包括

端点），。是平面PM可上一动点，满足直线MN与直线AN夹角与直线MN与直线N。的夹角相等，则

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.抛物线或双曲线

【答案】D

【分析】根据题设分析可知：。点轨迹为以AN为母线，为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于Aq

反向对称的锥体与平面尸田4的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断。所在轨

迹的形状.

【详解】由题设，Q点轨迹为以⑷V为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于A4反向对

称的锥体与平面用的交线，如下图示：

当P是边G2上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线；

当尸是边C2上移动过程中，与上方锥体也有相交，。点轨迹为双曲线；

D

3.翻折有关的的轨迹问题

①翻折有关的轨迹问题的解题策略

1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹

2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹

3.可以利用空间坐标运算求轨迹

【典例5】1822年，比利时数学家。劭d“沅利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，

可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性.在生

活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆

锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个占A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使

得AA与小球相切.若AA=5,小球半径为2,则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）

厂

Bi

【答案】A

【分析】设&K=彳,从而可得的=5,A4=x+2,AA,=x+3,利用勾股定理可得x=10,再由离心

率的定义即可求解.

【详解】在4中，设4耳=x,。&=兀

=5,=x+2,AA,=x+3,52+(x+2)2=(x+3)2,

一c2

/.x=10,J长轴长44=2〃=12,a=6。=6—2=4贝！|离心率e=—二—・故选：A

fa3

【题型训练2-刷模拟】

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）正四棱锥S-MCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点尸在

表面上运动，并且总保持尸E,AC,则动点尸的轨迹的周长为（）

A.76+72B.A/6-V2C.4D.V5+1

【答案】A

【分析】由题意，动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线，再根据线面垂直的

性质求解即可.

【详解】如图，设AC即交于。，连接SO,由正四棱锥的性质可得，SO,平面ABCD因为ACu平面

ABCD,故SO_LAC.

又3O_LAC,SOcBD=O,SO,8Du平面SBD,故AC_L平面S8D.

由题意，PELAC则动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCZ）的交线，即如图EFG,

则ACl^EFG.

由线面垂直的性质可得平面S3D//平面E尸G,又由面面平行的性质可得EG//S3,GF//SD,EF//BD,

又E是边3C的中点，故EG,GF,EF分另lj为△SBGASOCABC。的中位线.

由题意BD=2血,SB=SD=4爰+2=«，故EG+EF+GF=；距+屈+2叫=底+也.

即动点P的轨迹的周长为76+72.

故选：A

2.（2023•安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，AB=1,M=4,E

为。A中点，p为正四棱柱表面上一点，且GP±BXE,则点月的轨迹的长为（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.275+72D.713+5/2

【答案】A

【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点G垂直于与E的正四棱柱的截面即可计算

作答.

【详解】在正四棱柱ABC。-AMGA中，连接42,如图，£2，平面4再62，

因为AGu平面44GR,贝）石214G，又BR.ERU平面EBR,

ERc4。=D},则AC1平面EBR,又BiEu平面EBR,则±BXE,

取CG中点尸，连接在平面BCG4内过G作。口，片尸，交8片于G,显然所//£>&,

而2G,平面BCCB,则EF1平面BCC\B\,有gG工EF,

又BiEFEu平面BFE,FEcBF=F,于是CQ，平面,而瓦Eu平面男尸E,因此CQL耳E,

因为GG，GAu平面CC4，GAcCQ=G,从而用EJ■平面CQA，

连接4G,则点P的轨迹为平面GGA与四棱柱的交线，即△4CG,

因为/2℃+/66尸=/36尸+/与?。1=9。°,即有ZB]GG=ZB|尸C],又NCRG=ZFC^,,

于是AGBQSA歹G与，有?有=盘=2,用G=:，

所以点尸的轨迹长为AG+JG+AC=2J1+；+亚=石+板.

故选：A

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

3.（2023•江西赣州•统考二模）在棱长为4的正方体ABCD-ABIG，中，点尸满足丽=4Q,E,尸分

别为棱BC,CD的中点，点。在正方体48CD-A耳GA的表面上运动，满足A。”面由，则点。的轨迹

所构成的周长为（）

A,也B.2扃C.旭D.晅

333

【答案】D

【分析】作出辅助线，找到点Q的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.

【详解】延长交EF的延长线与a,G,连接PG,PH,分别交8月，。，于R,T

过点A作AK〃尸G交B用于点K,过点A作AN//P"交。。于点N,

因为AK<Z平面屏p,PGu平面EFP,所以AK//平面EFP,

同理可得4N〃平面£77,

因为AKnAN=A，所以平面EFP//平面AKN,

过点N作NM"AK交CC、于息M,

连接MK,则MK//4N

则平行四边形AKMN（A点除外）为点。的轨迹所构成的图形，

因为正方体棱长为4,E,歹分别为棱BC,C。的中点，M=4AP,

所以AP=1m=£>7=g,

12

因为"=KR=NT=3,所以4K=AN=4—3—；=（,

2

过点N作N/J_CG于点J,则CJ=RN=],

2224

则由几何关系可知JM=^K=m，所以GM=[+]=§,

由勾股定理得AK=A、N=MN=MK={N『+JM。=J16+,=2手

所以点Q的轨迹所构成的周长为也.

3

故选：D

4.(2023・全国•高三专题练习)如图所示，正方体ABC。-AqG。的棱长为2,E,尸分别为人4，48的

中点，点尸是正方体表面上的动点，若GP〃平面CREF,则尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为

()

A.72+75B.A/2+2A/5C.2亚+君D.2忘+2巡

【答案】B

【分析】要满足C/〃平面CR班"只需要寻找一个平面，使该平面经过C-且与平面CREF平行即可，取

2月的中点G,4月的中点H,连结.证明出面C|HG//面C2EB.得到P点在正方体表面上运动所形成的轨

迹为三角形GHG,求出周长即可.

【详解】取B片的中点G,A片的中点H,连结GH,CIGCH,ABEG,HF.

正方体ABCD-AgGA的棱长为2.E,£G,H为中点，所以所〃A0G/f//A.B，所以EF〃GH且

EF=GH=yfl.

因为为分别为AB，A片的中点，所以H///CC,且M=CG，所以四边形MGC为平行四边形，所以

HCJICF.

因为HCX<Z面CD{EF,CFu面CREF,所以8C"/面CD{EF.

同理可证：HG〃面CQEF.

又,HQu面CfiH,GAi面CfiH,

所以面GHG//面CREF.

所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形G^G.

因为正方体ABCD-A与C口的棱长为2,所以HQ=GG=户手=亚,

所以三角形G»G的周长为G8+HC|+GC[=0+括+6=0+26.

故选：B

5.（2023・全国•高三专题练习）在棱长为1的正方体ABC。-4与£。中，M,N分别为BR,8G的中点,

点尸在正方体的表面上运动，且满足〃平面CNR,则下列说法正确的是（）

B.线段MP的最大值为也

2

C.点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+6

【答案】B

【分析】如图，取棱3C的中点E,连接，进而证明平面耳平面CNR,再结合题意可知直线与M必

过。点，进而取AD中点八连接BRFDDE,证明歹e平面4磁即可得四边形瓦瓦加为点P的轨迹,

再根据几何关系依次判断各选项即可.

【详解】解：如图，取棱BC的中点E,连接，

因为M,N分别为82，8G的中点，

所以，在ABCR中，ME//CD,,由于腔.平面CNR,CRu平面CNR,

所以ME〃平面CNR,

因%B、N〃CE,B\N=CE,所以，四边形CNB|E为平行四边形，

所以，因为。Vu平面CNR,4E(Z平面CNR,

所以，用E//平面CNR,

因为，B1E,MEu平面BEM,

所以，平面耳EM//平面CAR,

由于M为体对角线22的中点,

所以，连接4M并延长，直线必过。点，

故取A2中点/，连接BF，FD,DE,

所以，由正方体的性质易知尸〃〃CE,FD|=CE,

所以，四边形是平行四边形，EF//CD,,EF=CDl,

因为，ME//CDltME=；CD],

所以，E,EM共线，即/e平面4而，

所以，四边形耳匹尸为点尸的轨迹，故A选项错误；

由正方体的棱长为1,所以，四边形尸的棱长均为。，且对角线为斯=后，4。=6，，

所以，四边形用ED尸为菱形，周长为2石，故CD选项错误，

由菱形的性质知，线段M尸的最大值为工与。=3，故B选项正确.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱BC的中点E,进而证明平面4EM〃平面CNR,再根据

面面平行的性质求解点尸轨迹即可求解.

6.（2023•全国•高三专题练习）已知棱长为1的正方体ABC。-ABCA，拉是8片的中点，动点尸在正方

体内部或表面上，且〃平面则动点尸的轨迹所形成区域的面积是（）

A.4B.&C.1D.2

2

【答案】A

【分析】过点M做平面A32的平行截面，再求四边形面积即可.

【详解】

如图所示E、F、G、M分别是AA、AR、4G、的中点,

则E产〃AR,EM//AB,所以历//平面AB?,EM〃平面A8R,且EFcEM=E,

所以平面482//平面£FGM,故点P的轨迹为矩形EFGN.

MBiG=g,所以MG=乎，所以Sw=lx[=*.

故选：A

【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.

二、填空题

7.（2023・全国•高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周上一点，已知

TT

ZAOC=-,OA=2,圆柱的高为5.若点O在圆柱表面上运动，且满足则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

【答案】10

【分析】先推出3C，平面设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为产，

连斯,CfAC,推出3C1平面ACE,从而可得点。的轨迹是矩形的C,计算这个矩形的面积即可得解.

【详解】因为是圆柱下底面圆。的直径，所以3c±AC,

又3CJ_A£>,ACp|A£)=A,4。,4。<=平面4?£),所以3cl平面ACD,

设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为产，连EGCEAC,

E'F二

,D

C

因为AE_L平面ABC,3Cu平面ABC,所以AE_L8C,

因为AEr|AC=A,ACE,所以8cl平面ACE,

所以点。在平面ACE内，又点。在圆柱的表面，所以点。的轨迹是矩形AEFC,

TT

依题意得AE=5,OA=OC=2,ZAOC^-,所以AC=2,

所以矩形AEFC的面积为5x2=10.

故点D的轨迹所围成图形的面积为10.

故答案为：10.

8.(2023•河南•校联考模拟预测)已知正方体ABC。-4与£A的棱长为有，动点尸在VABC内，满足

可=由,则点P的轨迹长度为

【答案】|

【分析】确定正方体ABCD-A耳£2对角线22与VABC的交点E,求出EP确定轨迹形状，再求出轨迹

长度作答.

【详解】在正方体ABCD-A4G。中，如图,

ORC2。=Z),。口,2。u平面BDD],于是AC，平面BDD,,又BRu平面BDDX,

则AC22，同理而ACQA耳=A,AC,451u平面明C,因此平面做C,

令2