2024年高考数学复习试题专项汇编：不等式（含答案）

(6)不等式

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]若正数a,6满足工+工=1，则--+0-的最小值为()

aba-lb-1

A.4B.6C.9D.16

2.[2024届.长沙市第一中学•二模]已知函数/⑺=log2±log2'，若"%)=/(%2)(其中

28

1Q

X。九2)，则一+一的最小值为()

x1x2

33

A.4B.2C.-D.-

24

3.[2024届.湖北.模拟考试联考]已知集合4={.同犬-2x-3>0},集合5满足30A,则3

可以为()

A.[-l,3]B.(-oo,-l]C.(-oo,-l)D.(-oo,3)

4.[2024届•江苏省前黄高级中学•一模]设实数x,y满足X〉3,y〉3,不等式

2

左(2*—3)(y—3厂8炉+y3—12必—3y2恒成立，则实数左的最大值为()

A.12B.24C.2石D.473

5.[2024届.重庆市第八中学.模拟考试]已知集合知={引-2<x<3},N={x\x2-5x+4>0},

则WN=()

A.(-2,1)B.(-2,4)C.(^,1)._(4,4W)D.(Y,3)L(4,y)

6.[2024届.河北.模拟考试]已知a,6均为正实数，且满足工+3=2,则上-+」—的最小

ab2a-Ilb-3

值为()

A.2Bq&C.273D.2«

7.[2024届海南.模拟考试校考]已知集合河={-2,-1,0,1,2},2{小2+2>8叫，则凹N=

()

A.{-2,2}B.{-2}C.{2}D.2

二、多项选择题

8.[2024届.湖北.模拟考试联考]若a>O>A>c,则()

A.->-B.b-a>c2a

cb

C.--->—D.a-c>2yl(a-b)(b-c)

a-cc

9.[2024届.吉林吉林.模拟考试校考]mb,c,d均为实数，且〃>匕>0,c>d>Q,则下列

结论正确的是()

ab

A.ac>bdB.a—ob—dC.a^ob+dD—>—

ac

三、填空题

10.[2024届•贵州・模拟考试联考]以maxM(minM)表示数集M中最大(小)的数.设〃〉0,b>0，

c>0,已知a2c+b2c=

11.[2024届.河北衡水.二模联考]设集合A={x,—2x-3<0”R},B={x^x\>a,a>0)},则

AB=R,则实数a的取值范围为.

191

12.[2024届.海南省华侨中学.二模]已知九>0，y>0,且》+2'=上，则一+—的最小值为

-2xy

13.[2024届.全国・模拟考试]已知王，/是实数，满足片+知-4%々=8,当国取得最大值时，

|石+司=.

4

14.[2024届.吉林吉林.模拟考试校考]设％>-1,则函数y=x+—；+6的最小值是.

X+1

15.[2024届•合肥一六八中学•模拟考试]设x,y是正实数，记S为x,y+工，工中的最小值,

则s的最大值为.

参考答案

1.答案：A

解析：方法一：由工+工=1,可得—也，

abb-1

所以」1+」_

a-1b-1b-1

由a,6为正数且工+工=1，可得a>l，b>l,

ab

1+1T+44

所以=4,

a—1~b^ib-1

当且仅当>-1=/一，即6=3，a=2时等号成立.

b-12

故选：A.

方法二：由工+2=1,可得_J_=2,J—=£,

aba-1ab-1b

crpi14b4aAlb4a.

a-1b-1ab、ab

当且仅当2=四，即a=3，b=3时等号成立.

ab2

故选：A.

2.答案：C

2

解析：/(x)=log21-log2-|=(log2%-1)-(log2^-3)=(log2x)-41og2x+3,

2o

由/(西)=/(%),,1082%+1。82马=4,

19「9c33

即xrx2=16,—I----->2/-----=2x—=—,

%]x2%%42

1o

当且仅当L=2L,

再X2

即％i=g,%=12时等号成立.故选C.

3.答案：C

解析：由集合A={x£R|%2—2x—3>o}={x|x>3或xv—1},50A则

(-oo,-l)0(3,4w)(-oo,-l).

故选：C

4.答案：B

a

解析：x>j,y〉3,变形为2x-3>0,y-3>0,

令a=2x-3>0，b=y-3>0，

贝I左（2x—3）（y—3）W8/+.一12*—3/转化为

8x3+y3-12x2-3y2

即工上>k,

（2x-3）（y-3）y—32x—3

其中4%2।=（a+3>।S+3『>。岛）।（2回）

y-32x-3baba

a=3

当且仅当'=3,即％=3，y=6时取等号，可知心24.

b_a

b

故选：B

5.答案：D

6.答案：B

解析：因为b均为正实数，且工+』=2,得3a+b=2ab，

ab

匕「7236〃+4b-96a+4b-96〃+48-9

ffr以------1---=--------=---------=------

2a-l2b—3（2a—1）（26—3）4ab-6a-2b+33

又6a+46=；（6a+46产+|1=,18+2与]之9+60,

1+V2

4b_18aa=

2523

当且仅当ab即<时取等号，所以--------1-------->272.

14=23（2+码2«-12b—3

b=

b4

故选：B.

7.答案：C

解析：因为N={x|x2+2x-820}={x[x<-4或％22}，

所以MN={2}.

故选：C.

8.答案：ACD

解析：---=a(Z7~c),又a>O>b>c,所以〃—c>0,b>0,所以0〉0,即故

cbbecbcb

A正雄l；

当a=l,b=-l,c=—2时，b2a<c2a,故B错误，曰上=(a-b)c-(a-c)b=运出,又

a-cc(a-c)c(a-c)c

a>O>b>c,所以a—c>0,c-b<0,所以j—白>0,即故C正确

a-cca-cc

因为a>0>6>c,所以b-c>0,所以a-c=a-b+b-cN21(a-b)(b-c),当且仅

当a-》=Z?-c时等号成立，故D正确.

故选ACD.

9.答案：ACD

解析：因为a,b,c,d均为实数，且a>/?>0,c>d>0,

由不等式的基本性质可得ac,a+c>b+d,AC选项正确；

因为c>d>0,则±>!>0,故=>?，D选项正确；

acac

取〃=3,b-2,c=2,d=1,贝！Ja—c=b—d,B选项错误.

故选：ACD.

10.答案：次

解析：由〃20+82。=],得6+52=工,设max口」」]=",贝!!

c[abC)

111.

>-=a92+b92>2ab，由

abc

3M=2JAf,VM+M22厂—产+2ab=1—H—~j=+2ab23yf2,所以知>^2，当且仅当

yjayjby/aby/ab~

a-b=c=时取等号.

v2

11.答案：（0,1）

解析：由题意人=卜,2一21一3〈0,无£口}={]|-1<%<3},B=|x||x|>〃,a>0}={%|%或

若满足43=R,则=又因为4_B={X|—Q<XV〃},

-1<-a

所以卜<3,解得Ova<l.故答案为：（0,1）.

a〉0

12.答案：16

翻+二21(21V0\c8y2]、0c18y2x“

角牛析：—I—=2—I—(x+2y)=8H128+2/--------=16,

当且仅当空=空时等号成立.即当x=J_»=J_时，2+,取得最小值为16.故答案为：16.

xy4.8xy

13.答案：5

解析：%；+8考一4$%2=8.

/.16>,「JxJV4.

取等条件：芯-2”2%,%=4或x-4*.

玉=±4[%2=1[x2=-1

14.答案：9

解析：由光>一1,可得％+1>0,

44I4―

则y=%+-----+6=x+l+------+5>2J（x+l）-------+5=9,

x+1x+1V7x+1

4

当且仅当%+1=’7时，即光=1时，等号成立，

x+1

4

所以函数y=%+—；+6的最小值是最小值为9.

故答案为：9.

15.答案：72

解析：方法~k：设〃=1>0，b=—>0,c=y+—=—+—>0>当〃=Z?=c='+工时，a=b=V2

yxbaba"

不妨设，S—+—

[ba

①当Q=b=企时，S=疝11]〃也：+：；=行

②当0<〃4后时，5=min|^,Z?,y+-l=min|d!,y+-|，

[ba][Z?a]

若〃WW贝！Jmin]〃—+」=4<友;

ba16

a>—+—，贝Umin1〃,工+工]='+'<〃<百；

bayba]ba

③当0<a〈b〈后时，L2显,Lz显,c=l+l>V2,

a2b2ba

S=min\a,b,—+—\=a<A/2；

[ba]

④当夜KaKb时，乂也，L比，c=-+-<V2，

a2b2ba

S=min—+—>=—+—<^2

[ba]ba

同理，当时，可以证明

综上所述：S的最大值为血.

方法二：由题意知0<SWx，0<5<-,则工〈工，y<-

一yxSS

所以sw丁+,4工+工=2,解得o<s〈血，故s的最大值为近.

xSSS~

故答案为：血

(7)空间向量与立体几何

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.[2024年新课标I卷高考真题]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高

均为百，则圆锥的体积为（）

A.2舟B.37371C.67371D.9岳

2.[2024年新课标H卷高考真题]已知正三棱台ABC-A4G的体积为?，AB=6,4片=2,

则4A与平面ABC所成角的正切值为（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.[2024届.合肥一六八中学.模拟考试]设。，。表示两条直线，a,〃表示两个平面，则下列

命题正确的是（）

A.若。〃a，cua,则MeB.若/JUI，bile，则cua

C.若〃/a，a±j3,则c，/?D.若〃/a，c±J3,则。，分

4.[2024届•浙江温州・二模]在正三棱台ABC-A与G中，下列结论正确的是（）

A.%BC.ABG=3匕]_83©B.AA]_L平面AB©

C.±B[CD.A4]±BC

5.[2024届.山东临沂.二模]已知正方体ABCD-AgGA中，M,N分别为CC「G。的中点,

则（）

A.直线MN与AC所成角的余弦值为逅

3

B.平面3MN与平面夹角的余弦值为典

10

C.在BC]上存在点Q,使得BtQ1BDX

D.在B}D上存在点P,使得PAII平面BMN

6.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]将边长为正的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得

BD=6,则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）

V2

ADR.--------c

-I24D-T

7.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]已知正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，且正

四棱锥底面边长为4,体积为程，则该球表面积为（）

4冗

A.9兀B.3671C.4KD.——

3

二、多项选择题

8.[2024届.河北邢台.模拟考试联考]在△回（3中，B=~,AB=2,BC=3,E为AC的中点，

2

点R在线段3C上，且CF=23尸，将△回（?以直线3c为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D

为底面圆上一点，满足4。=兀，贝女）

A.BA1BD

B.FE在48上的投影向量是工氏4

2

C.直线EF与直线8所成角的余弦值为小画

65

D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为生黑

9.[2024届.河南.模拟考试联考]将圆柱的下底面圆q置于球。的一个水平截面内，恰好

使得。]与水平截面圆的圆心重合，圆柱OjQ的上底面圆。2的圆周始终与球。的内壁相接（球

心0在圆柱UR内部）.已知球0的半径为3,00]=|.若R为上底面圆Q的圆周上任意一点,

设R。与圆柱002的下底面所成的角为a，圆柱OQ2的体积为匕贝1K）

A.a可以取到（0,3中的任意一个值

77TT

B.V=--cos2a（l+2sina）

C，v的值可以是任意小的正数

8171

D.y

max4

三、填空题

10.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]如图，四边形ABCD是正方形，K4_L平面ABCD,且

PA=AB=2,M是线段PB的中点，则异面直线DM与Q4所成角的正切值为.

11.[2024届.海南.模拟考试校考]米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的

用具.为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征,

带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.如图的米斗可以看作一个正四

棱台，已知该米斗的侧棱长为5a，两个底边长分别为4夜和3a，则该米斗的外接球的表面

积是.

四、双空题

12.[2024届•福建.阶段性考试]已知圆锥SO的母线&!=5,侧面积为15兀，则圆锥SO的内切球

半径为;若正四面体4-四GA能在圆锥SO内任意转动，则正四面体4-用62的

最大棱长为.

五、解答题

13.[2024年新课标I卷高考真题]如图，四棱锥P-ABCD中，上4,底面ABCD,PA=AC=2,

BC=I,AB=6.

p

(1)若ADLPB,证明：AD〃平面P3C；

⑵若ADLOC'且二面角人一。一0的正弦值为年'求AD

14.[2024年新课标H卷高考真题]如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=56,

9i

ZADC=90°,ZBAD=30°,点E,R满足AE=-AD,AF=-ABZxAEF沿ER翻折至4PEF,

52

(1)证明：EFLPD：

(2)求平面PCD与平面P3R所成的二面角的正弦值.

15.[2024届.湖北.模拟考试联考]如图，在三棱锥尸-ABC中，与△ABC都为等边三角

形，平面平面ABC,M,。分别为Q4,A3的中点，且POBM=G,N在棱上,

且满足BN=2NC,连接GN.

(1)求证：GN〃平面PAC；

(2)设AB=2,求直线PN与平面6GN所成角的正弦值.

参考答案

1.答案：B

解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为广，因为它们的高均为百，且侧面积相等，所以

2Tirx6=Tir，(6)2+户，得产=9,所以圆锥的体积V=g兀产义6=3岳，故选B.

2.答案：B

解析：设正三棱台ABC-45cl的高为人，三条侧棱延长后交于一点P,作POL平面ABC于

点。，尸。交平面4片。1于点。1，连接Q4,aa，如图所示.由A3=34%可得尸a=",

2

尸。=J又S©c=gx22x#=GSAABC=1X6X^=973,所以正三棱台ABC-4用G

的体积V=%.BC—匕"G=396x，—；x百义?=三,解得八#,故PO='h=26

由正三棱台的性质可知，。为底面A3C的中心，则04=2义而与=26，因为P。，平面

3

PC

ABC,所以NPA0是4A与平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=-^=1,故选B.

3.答案：D

解析：若Z?//a，cua,则b//c或〃与。异面，故A错误；

若〃uiz，bl1c»则cua或clla故B错误；

若〃/a，al/3,则cu分或c〃尸或c与，相交，相交也不一定垂直，故C错误;

若clla,过c的平面与a相交，设交线为a,则c//a又c1(3,则a_L，,而aua,则tz_L，,

故D正确.

故选：D.

4.答案：D

解析：

5.答案：C

解析：

6.答案：A

解析：如图所示:

分别取AC,BD,中点为E,F,G,

连接BD,EF,EG,FG,DE,EB,

则EG//CD,EG//AB,

所以NFGE为异面直线AB与CO所成的角，

因为正方形边长为0,则FG=正，EG=YZ,

22

在等腰直角三角形ABC中，

因为AB=BC=0,

所以AC=2.

因为点E为AC的中点，

所以3E」AC=1,

2

同理可得，DE=1.

因为叱=2=BD°,

所以△BED是等腰直角三角形.

又因为点R为3。的中点，

所以EF=^BD=也.

22

在中，FG=EG=EF=匚,

2

所以是等边三角形，

所以NFGE=60。，

所以cos/FGE=cos60°=

2

故选：A.

7.答案：B

解析：如图，设P在底面ABCD的射影为H,则平面ABCD,

且“为AC,的交点.

因为正四棱锥底面边长为4,故底面正方形的面积可为16,且AH=』x40=2VJ,

2

164

故一xP〃xl6=—,故PW=4.

33

由正四棱锥的对称性可知0在直线PH上，设外接球的半径为R,

则OH=|4—/，故A?=8+（4—火）2,故火=3,

故正四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为4x7ix9=36兀，

故选：B.

解析：△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为3,半径AB=2,所以所对的

圆心角为NABD=巴，A正确.易知B正确.以3为原点，

2

建立如图所示的空间直角坐标系，则4（020）,0（2,0,0）,C（0,0,3），E[1，|]，/（0,0,1）

所以CD=(2,0,-3),C4=(O,2,-3)

所以cos〈EF,CD)=fl；8尸，C错误.

|EF||CD|65

_Q7—n

设平面AGO的法向量为〃=(x,y,z),则令z=2,贝1J"=(3,3,2).

设直线EF与平面ACD所成的角为。，贝心垣6=严尚=生叵，D正确.

EFH55

9.答案：BCD

解析：过R作圆柱a。2的轴截面PQRS,过。作MN,a.交圆柱轴截面的边于〃，N,

由R。与圆柱的下底面所成的角为a,则。M=3cosa,MR=3sina,所以

277T

222

V-TI-OM-QR=71•(3coscif)(OO1+3sincif)=cosdf(l+2sincif)，

即y=^^cos2a(l+2sina)=^^(l—sin2a).(l+2sina),故B正确;

当点P,Q均在球面上时，角a取得最小值，此时=oa=|，所以a=弓，

所以aj30,故A错误;

[62；

令sina=teg，l］，所以V=—=2/—/+2/+1

所以展学（―），

6"2t+2另—6»—2，+2=0,

解得两根/=1y/13,>=］+"7^,

1222

所以口=出（_6『—2f+2）W出x—6义［工］-2x-+2=—出<0,

212y224

）在］

所以V=—（―2/—/+2/+1feg,l时单调递减,

所以匕ax=2x-f-1+2xf-Ll=—,0<V<—，故CD正确；

max2[UJUJ^2jJ44

故选：BCD.

10.答案：V5

解析：因为上4，平面ABCD,则B4_L4）,PA±AB,又四边形ABCD是正方形,

则ABLAD,以A为坐标原点，AP,AB,AD分别为x,»z轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，且B4=AB=2,则£>（0,0,2）,

P（2,0,0）,5（0,2,0）,又航是线段Pfi的中点，则2（1,1,0）,

APDM276

则。M=（LL—2）,AP=（2,0,0）,则cos（AP,DM）=

|AP|.|DM|2瓜6，

设异面直线DM与上4所成角为，，即COS，=COS<AP,£>M〉=Y5,

6

则sin0=71-cos20-,所以tan。="""_6，

6cos<9

即异面直线DM与PA所成角的正切值为V5.

故答案为：6.

11.答案：100兀

解析：由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为勒，下底面中心为。2,

由棱台的性质可知，外接球的球心。落在直线002上，

由题意该四棱台上下底面边长分别为40和3加，侧棱长为5加，

则|O]A|=4,|Q5|=3，|AB|=5近，

所以玄。|=5川「—（似山—口即2=7,

设外接球的半径为R,设|。。21="，

若。在线段002上，则1。。11=7—/2,

因为002垂直于上下底面，

所以DaF+lQBF即肥+32=7?2,

又|OO『+QIA「=R2,BP（7-/I）2+42=7?2，

联立解得人=4,R2=25,

所以该米斗的外接球的表面积为4兀炉=100兀.

若。在aa的延长线上，贝U|oqi=7+/z,

同理有（7+犷+42=/+9，解得/z=T（舍）.

故答案为：100兀一

解析：如图，在圆锥so中，设圆锥母线长为/,底面圆半径为厂,

因为侧面积为15兀，所以兀〃=15兀，即力=15.

因为/=&1=5，所以r=3，所以SO=j52-32=4・

棱长为。的正四面体4-如图所示，

则正方体的棱长为正。，体对角线长为逅q,

22

所以棱长为a的正四面体4-四£2的外接球半径为亚a.

取轴截面SAB，设△&LB内切圆的半径为八

则、4乂6=工(6+5+5)厂，解得「=』，

22'，2

即圆锥SO的内切球半径为3.

2

因为正四面体4-耳£0能在圆锥SO内任意转动，所以1a<3,

a＜娓,

42

所以正四面体4-的最大棱长为".

故答案为：—；布.

2

13.答案：(1)证明见解析

(2)AD=6

解析：(1)由于PA_L底面ABC。，ADu底面ABC。，.-.PAA.AD,

又ADLP5,PAPB=P,平面Q4B,..AD_L平面勿B,

又ABu平面Q4B,:.AD±AB.

AB2+BC2=AC7,AB±BC,：.BC//AD,

AD仁平面PBC,BCu平面PBC,.•.AD〃平面PBC

(2)由题意知。C,AD,AP两两垂直，以。为坐标原点，AO所在直线为x轴，OC所在直

线为y轴，过点。且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则£>(0,0,0),

P(^,0,2),C0=(0,—14-4,0),AC=(_a,“一〃2,0),

设平面CPD的法向量为〃=(x,y,z),

CD-n=Q74—a2y=0

则{,即1J,可取〃=(2,0,—a).

CPn=0ax-(4-a2y+2z=0

设平面ACP的法向量为/n=(芭,y,zj,

「」帆•CP=0ax-"-a、y.+2z.=0.仃/----r

则＜,即nr＜l}____,可取m=“4—a,a,0).

帆-AC=0-axx+X=0

二面角A-CP-D的正弦值为四，

7

二余弦值的绝对值为五，

7

痂/\|\mn\244-Y币

故|cos〈》i,〃〉|=------=/,=——，

\m\-\n\,“+,27

又a>0,:.a=6即AD=技

14.答案：（1）证明见解析

8765

65

解析：（1）由题，AE=-AD=2y/3,AF=-AB=4,又/a4£）=30。，

52

所以由余弦定理得"2:4^+人严―2铉.4/40530。=4,故EF=2.

EF~+AE~=AF2,所以EFLAE.

由EFLAE