2024年9-10月新高考数学模拟大题汇编：立体几何（含答案及解析）

2024年9-10月新高考数学名校大题汇编：立体几何大题

必备基础知识梳理

【知识点一:空间向量及其加减运算】

(1)空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也

可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量云的起点是力,终点是瓦则向量之也可

以记作存,其模记为同或|缶1.

(2)零向量与单位向量

规定长度为。的向量叫做零向量，记作I当有向线段的起点力与终点B重合时，缶=I

模为1的向量称为单位向量.

(3)相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向

量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量4长度相等而方向相反的向量，称为2的相反向量，记为-匕

(4)空间向量的加法和减法运算

@OC^OA+OB=a+b,BA^OA-OB^a-b.如图所示.

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a+b—b+a)++c=a+(^+c)

【知识点二:空间向量的数乘运算】

—_______F

（1）数乘运算

实数4与空间向量H的乘积求称为向量的数乘运算.当4>0时，足与向量4方向相同；当4<0时,

向量石与向量工方向相反.石的长度是N的长度的冈倍.

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

A（a+^—Aa+Ab,=（Afi）a.

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向

量，4平行于b,记作a//b.

（4）共线向量定理

对空间中任意两个向量4,取海币），4〃1的充要条件是存在实数九使公忒

（5）直线的方向向量

如图8—153所示，/为经过已知点力且平行于已知非零向量日的直线.对空间任意一点。，点P在

直线,上的充要条件是存在实数3使标=示+记①，其中向量N叫做直线/的方向向量，在,上取

=4,则式①可化为标=cH+=况+1朝—51）=（IT）CH+力朝②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当±=方，即点P是线段AB的中点时，际=£（示+朝），此

式叫做线段43的中点公式.

（6）共面向量

如图8—154所示，已知平面a与向量4,作示=4,如果直线04平行于平面a或在平面a内，则说明

向量H平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

__________F

(7)共面向量定理

如果两个向量a日不共线，那么向量成与向量4,市共面的充要条件是存在唯一的有序实数对以妨，

^.p=xa+yb.

推论:①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使/=xAB+yAC;或对

空间任意一点O,有标-k=xAB+yAC,该式称为空间平面ABC的向量表达式.

②已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,。，满足向量关系式OP=xOA+yOB+z五(其

中/+g+z=l)的点P与点A,B,。共面;反之也成立.

【知识点三:空间向量的数量积运算】

(1)两向量夹角

已知两个非零向量r,在空间任取一点。，作为=4,而=r，则/力。8叫做向量4,征的夹角，记作

伍冉，通常规定04何扃《兀,如果仅用=等,那么向量入1互相垂直，记作打立

(2)数量积定义

已知两个非零向量a,b,则同碌os伍内叫做4,在的数量积，记作4•唬即a-b=|矶同cos体日”零向量

与任何向量的数量积为0,特别地，小4=林.

(3)空间向量的数量积满足的运算律：

(/la)-b=A^a-b^，4不=隹荔(交换律);

a-(1+匹)=。1+。式分配律).

【知识点四:空间向量的坐标运算及应用】

(1)设a=(aiQg)，b=(bi也,3)，则4+日=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);

a-b=(电一瓦,。2-匕2，。3—^3)；

Aa=(AaliAa2iAa3);•

a*b=0)也1+a2b2+a3b3;

___________________________________.

4〃b（bW0）=>ai=Ab^电—电,。3—鹤；

aJ_5=>的仇+a2b2+0-3^3=0・

（2）设人物，%,zi）,B（a；2,统,z?），则AB=OB-OA=（a;2—x^y2-yltz2-Zi）.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐

标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知a=（aj,a2,a3），厂=（仇也,既），则|a|==/=+谄+成;

忖=种=J斤+6升留;

a-b=aj）i+a2b2+a3b3；

cos（叫:a也+电匕=组=.

②已知人（伤,%,21）,B（x-2,y2,Z2）,则\AB\=J（21—3；2）2+（%一纺）2+（Zl-Z2）2,

或者矶AB）=|岳其中d（AB）表示4与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量4在向量日上的投影为忖cos（4冉

【知识点五:法向量的求解与简单应用】

⑴平面的法向量：

如果表示向量日的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作为，a,如果日

La,那么向量日叫做平面a的法向量.

几点注意：

①法向量一定是非零向量;②一个平面的所有法向量都互相平行;③向量日是平面的法向量，向量I

济是与平面平行或在平面内，则有m-n=0.

______/

第一步:写出平面内两个不平行的向日=（卬％,为），b=（电，m，22）；

第二步：那么平面法向量日=（工。,。。y。，。°z）。，满足[配=°=严上"zzi=2

[n-b=O[xx2+yy2+zz2^0

（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系:不重合的两条直线a,b的方向向量分别为4,b.

若4〃口即日=需，则a//b;

若4J_位即日,日=0,则a_Lb.

②直线与平面的位置关系:直线Z的方向向量为心平面a的法向量为亦且Z±

若all洒即4=脱,则ZJ_a;

若云。_L亦即日,4=0,则4〃a.

（3）平面与平面的位置关系

平面a的法向量为洒，平面B的法向量为日2.

若落〃n2，即洒=猊2，贝！1a〃6；若落」~心，即洒•游=0，贝1°」一£.

【知识点六:空间角公式】

⑴异面直线所成角公式:设分别为异面直线人为上的方向向量，。为异面直线所成角的大小，：

.

则COS0=|cos^a,^|=.

同间

⑵线面角公式:设Z为平面a的斜线，4为Z的方向向量，4为平面a的法向量，8为

1与a所成角的大小，则sind=|cos（a,n\|=[.

1,矶司

（3）二面角公式:

设仪电分别为平面a,6的法向量，二面角的大小为0,则”依，而或兀-体面（需要根据具体情

况判断相等或互补），其中|cos0|=悟湛.

【知识点七:空间中的距离】

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离:两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质

直接计算.

如图，设两条异面直线a,&的公垂线的方向向量为洒这时分别在a,6上任取4B两点，则向量在n

上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则4=届•五=用包即两异面直线间的距离，等

\n\\n\

于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模

的比值.

B

（2）点到平面的距离

A为平面a外一点（如图），为为平面a的法向量,过A作平面a的斜线4B及垂线AH.

....______/

\AB-n\_\AB-n\

\AH\=\AB\-sinJ=\AB\•|cos<AB,n>|=\AB\

n

\AB-n\

7a=---------

\n\

【必考题型汇编】

1.（湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考解析第16题）

如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BCIIAD,EFIIAD,AD=4.,AB=V2,BC=

EF=2,AF=Vli,FB_L平面ABCD,M为AD上一点，且FM.LAD,连接BD、BE、BM.

⑴证明：BCV平面BFM;

（2）求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.

__________P

2.（辽宁省沈阳市郊联体2024年高三上学期开学联考解析第17题）

如图，已知斜三棱柱ABC-A.B.C.中，侧面BBQC_L侧面AA.B.B，侧面BBQC是矩形，

侧面AA^B是菱形，ABAA,=60°,AB=2BC=2，点E,F,G分别为棱AAX,AXC,BBX的中点.

（1）证明：FG//平面ABC;

（2）求二面角Ai—BC—E的余弦值.

3.如图，在四棱柱ABCD—AiBQQi中，人4,平面ABCD，底面ABCD为梯形，AD//BC,BC=4

,AB=AD=DC=AA1=2,Q为AD的中点.

（1）在4A上是否存在点P，使直线CQ//平面AC.P,若存在，

请确定点P的位置并给出证明，若不存在,请说明理由；

（2）若⑴中点P存在,求平面AC.P与平面ABBMi所成的锐二面角的余弦值.

__________P

4.(福建泉州市2025届高中毕业班模拟检测(一)解析第16题)

4：如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC=CB=BA=^-AD=2,AD//CB,ACPD=ZABC=90°

,平面PCD工平面ABCD,E为PD中点.

(1)求证：PD±平面PCA;

(2)点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦值为平，求平面PCD与平面CDQ夹角的

余弦值.

5.(长沙市雅礼中学2025届高三上学期(9月)综合自主测试解析第17题)

5：如图(1),在AABC中，CD±AB,BD=2CD=2AD=4，点E为AC的中点.将4ACD沿CD

折起至1」APCD的位置，使,如图(2).

图⑵

(1)求证：PB.LPC;

(2)在线段BC上是否存在点尸，使得CP±DF?若存在，求二面角P-DF-E的余弦值；若不存

在，说明理由。

___________F

6.（长郡中学2024年9月高三上学期第一次调研考试解析第16题）

6：如图，四边形ABDC为圆台QQ的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与底面所成的角为45°,母线

长为V2,E是BD的中点.

BUQI

（1）已知圆。2内存在点G，使得DEJL平面BEG，作出点G的轨迹（写出解题过程）；

（2）点K是圆。2上的一点（不同于A,C）,2CK=AC,求平面ABK与平面CDK所成角的正弦

值.

7.（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测解析第17题）

7：已知边长为4的菱形ABCD（如图1）,ABAD=^-,AC与BD相交于点O,E为线段AO上一

点，将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥A-BCD（如图2）.

（1）证明：BD±CE

⑵若三棱锥A-BCD的体积为8,二面角B-CE-O的余弦值为士号，求OE的长.

8.（湖南长沙一中2025届高三上学期阶段性检测（一）解析第16题）

8：如图，已知四棱柱ABCD—AiBQQi的底面ABCD为平行四边形，四边形CCQQ为矩形,平面

CC^D±平面ABCD,E为线段CD1的中点，且8E=CE.

⑴求证：AD±平面BBQQ;

⑵若48=4,40=2,直线A]E与平面BBQQ所成角的正弦值为“里，求二面角D-AB-D,

5

的余弦值.

9.（唐山市2024-2025学年度高三年级摸底考试解析第16题）

9：在直三棱柱ABC-A^C,中，ABAC=90°,AM=AB=AC=3,BjCABQ=P,G是△4日。1

的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上.

⑴若Q为AB的中点，证明：PGH平面AXCQ；

（2）若直线PG与平面A.CQ所成的角正弦值为噜，求4。.

_____________即

10.（山东百师联盟2025届高三开学摸底联考解析第16题）

10：如图，在三棱柱ABC—A181G中，人4,平面ABC,AB,±AXC,AB±BC,AB=BC=2.

（1）求证：平面481G±平面AYBC;

（2）（2）设点尸为4c的中点，求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值.

11.（江苏省南通市2025届高三九月份调研考试解析第15题）

11：如图，在直三棱柱ABC-A.B^中，D,E,F分别为AB,BC,BXB的中点.

（1）证明：4G〃平面BQE；

（2）若AB=1,AB±AC,B1D±A1F,求点E到平面AXFCX的距离.

___________________________________a

12.（江苏省南通市2025届高三九月份调研考试解析第17题）

12：（15分）如图，四边形ABCD为菱形，PB±平面ABCD.

（1）证明：平面PAC±平面PBD；

⑵若M，PC,二面角A-BP-C的大小为120°,求PC与所成角的余弦值.

13.（2024年9月嘉兴市高三基础测试解析第16题）

13:如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，侧面PCD±底面ABCD,

PC=PD=5，点、E,G分别是DC,DP的中点，点F在棱AB上且AF=3FB.

（1）求证：FGH平面BPE;

（2）求直线FG与平面PBC所成角的正弦值.

_______________________________

14.（江西省红色十校2025届高三上学期第一次联考解析第17题）

14：如图,在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，

PA±PB,PB±PC,PC=PA=2V2,PB=PC=42,AB=AC，点E在8C上，且AE=3

⑴证明：ADA,平面APE；

（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.

15.（河北省邯郸市2024-2025学年高三第一次调研解析第16题）

15：如图，已知正四面体F-ABC的底面与正四棱锥A-BCDE的一个侧面重合.

（1）求证：AF±DE;

（2）求二面角F-BC-D的余弦值.

________r

16.（四川省2025届高三上学期9月摸底大联考解析第17题）

16：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，M在棱CD上且CM=2MD,AB=3,BC

=PM=2,PD±平面ABCD,在棱PB上存在一点Q满足CQII平面PAM.

M.入

⑴证明：平面PCDV平面PBC;

（2）求平面PAB与平面ACQ夹角的余弦值.

17.（湘豫名校联考2024-2025学年新高考适应性调研考试解析第16题）

17：如图，已知三棱柱ABC—4BG的所有棱长均为1,且AB,=AC1=1.

1.

C

A

⑴求直线7L41与平面ABC所成角的正弦值;

（2）求点A到平面BBQC的距离.

18.（山东省2024年9月高三七校联考解析第17题）

18：如图，四边形ABCD为菱形，PBV平面ABCD.

⑴证明：平面PACY平面PBD;

⑵若,二面角A-BP-C的大小为120°,求PC与6。所成角的余弦值.

19.（湖南省长沙市2025届高三九月学情调研考解析第18题）

19：在直三棱柱ABC-A.B.C,中，ABAC=90°,A,A=AB=AC=3,B1CH30,=P,G是

的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上.

⑴若Q为AB的中点，证明：PGII平面A,CQ;

（2）若直线PG与平面A.CQ所成的角正弦值为噜，求AQ.

20.（江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期初解析第16题）

20：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=2V3,AD//BC,AD=1,AB=BC=2,AD1.平面PAB,

PD_LAB,E,F分别是棱PB,PC的中点.

⑴证明：DFII平面ACE；

（2）求二面角A-CE-B的正弦值.

21.（江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期初解析第18题）

21：（本小题满分17分）在如图所示的平行六面体ABCD—AiBCDi中，ZArAB=ZA1AD=

45°'/BAD=60°,AB=1,AD=2,44i=2g.

⑴求AG的长度：

⑵求二面角B-AA.-D的大小；

⑶求平行六面体ABCD-A.B^D,的体积.

________r

2024年9-10月新高考数学名校大题汇编：立体几何大题

必备基础知识梳理

【知识点一:空间向量及其加减运算】

(1)空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也

可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量云的起点是力,终点是瓦则向量之也可

以记作存,其模记为同或|缶1.

(2)零向量与单位向量

规定长度为。的向量叫做零向量，记作I当有向线段的起点力与终点B重合时，缶=I

模为1的向量称为单位向量.

(3)相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向

量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量4长度相等而方向相反的向量，称为2的相反向量，记为-匕

(4)空间向量的加法和减法运算

@OC^OA+OB=a+b,BA^OA-OB^a-b.如图所示.

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a+b—b+a)++c=a+(^+c)

【知识点二:空间向量的数乘运算】

—_______F

（1）数乘运算

实数4与空间向量H的乘积求称为向量的数乘运算.当4>0时，足与向量4方向相同；当4<0时,

向量石与向量工方向相反.石的长度是N的长度的冈倍.

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

A（a+^—Aa+Ab,=（Afi）a.

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向

量，4平行于b,记作a//b.

（4）共线向量定理

对空间中任意两个向量4,取海币），4〃1的充要条件是存在实数九使公忒

（5）直线的方向向量

如图8—153所示，/为经过已知点力且平行于已知非零向量日的直线.对空间任意一点。，点P在

直线,上的充要条件是存在实数3使标=示+记①，其中向量N叫做直线/的方向向量，在,上取

=4,则式①可化为标=cH+=况+1朝—51）=（IT）CH+力朝②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当±=方，即点P是线段AB的中点时，际=£（示+朝），此

式叫做线段43的中点公式.

（6）共面向量

如图8—154所示，已知平面a与向量4,作示=4,如果直线04平行于平面a或在平面a内，则说明

向量H平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

__________F

(7)共面向量定理

如果两个向量a日不共线，那么向量成与向量4,市共面的充要条件是存在唯一的有序实数对以妨，

^.p=xa+yb.

推论:①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使/=xAB+yAC;或对

空间任意一点O,有标-k=xAB+yAC,该式称为空间平面ABC的向量表达式.

②已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,。，满足向量关系式OP=xOA+yOB+z五(其

中/+g+z=l)的点P与点A,B,。共面;反之也成立.

【知识点三:空间向量的数量积运算】

(1)两向量夹角

已知两个非零向量r,在空间任取一点。，作为=4,而=r，则/力。8叫做向量4,征的夹角，记作

伍冉，通常规定04何扃《兀,如果仅用=等,那么向量入1互相垂直，记作打立

(2)数量积定义

已知两个非零向量a,b,则同碌os伍内叫做4,在的数量积，记作4•唬即a-b=|矶同cos体日”零向量

与任何向量的数量积为0,特别地，小4=林.

(3)空间向量的数量积满足的运算律：

(/la)-b=A^a-b^，4不=隹荔(交换律);

a-(1+匹)=。1+。式分配律).

【知识点四:空间向量的坐标运算及应用】

(1)设a=(aiQg)，b=(bi也,3)，则4+日=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);

a-b=(电一瓦,。2-匕2，。3—^3)；

Aa=(AaliAa2iAa3);•

a*b=0)也1+a2b2+a3b3;

___________________________________.

4〃b（bW0）=>ai=Ab^电—电,。3—鹤；

aJ_5=>的仇+a2b2+0-3^3=0・

（2）设人物，%,zi）,B（a；2,统,z?），则AB=OB-OA=（a;2—x^y2-yltz2-Zi）.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐

标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知a=（aj,a2,a3），厂=（仇也,既），则|a|==/=+谄+成;

忖=种=J斤+6升留;

a-b=aj）i+a2b2+a3b3；

cos（叫:a也+电匕=组=.

②已知人（伤,%,21）,B（x-2,y2,Z2）,则\AB\=J（21—3；2）2+（%一纺）2+（Zl-Z2）2,

或者矶AB）=|岳其中d（AB）表示4与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量4在向量日上的投影为忖cos（4冉

【知识点五:法向量的求解与简单应用】

⑴平面的法向量：

如果表示向量日的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作为，a,如果日

La,那么向量日叫做平面a的法向量.

几点注意：

①法向量一定是非零向量;②一个平面的所有法向量都互相平行;③向量日是平面的法向量，向量I

济是与平面平行或在平面内，则有m-n=0.

______/

第一步:写出平面内两个不平行的向日=（卬％,为），b=（电，m，22）；

第二步：那么平面法向量日=（工。,。。y。，。°z）。，满足[配=°=严上"zzi=2

[n-b=O[xx2+yy2+zz2^0

（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系:不重合的两条直线a,b的方向向量分别为4,b.

若4〃口即日=需，则a//b;

若4J_位即日,日=0,则a_Lb.

②直线与平面的位置关系:直线Z的方向向量为心平面a的法向量为亦且Z±

若all洒即4=脱,则ZJ_a;

若云。_L亦即日,4=0,则4〃a.

（3）平面与平面的位置关系

平面a的法向量为洒，平面B的法向量为日2.

若落〃n2，即洒=猊2，贝！1a〃6；若落」~心，即洒•游=0，贝1°」一£.

【知识点六:空间角公式】

⑴异面直线所成角公式:设分别为异面直线人为上的方向向量，。为异面直线所成角的大小，：

.

则COS0=|cos^a,^|=.

同间

⑵线面角公式:设Z为平面a的斜线，4为Z的方向向量，4为平面a的法向量，8为

1与a所成角的大小，则sind=|cos（a,n\|=[.

1,矶司

（3）二面角公式:

设仪电分别为平面a,6的法向量，二面角的大小为0,则”依，而或兀-体面（需要根据具体情

况判断相等或互补），其中|cos0|=悟湛.

【知识点七:空间中的距离】

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离:两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质

直接计算.

如图，设两条异面直线a,&的公垂线的方向向量为洒这时分别在a,6上任取4B两点，则向量在n

上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则4=届•五=用包即两异面直线间的距离，等

\n\\n\

于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模

的比值.

B

（2）点到平面的距离

A为平面a外一点（如图），为为平面a的法向量,过A作平面a的斜线4B及垂线AH.

....______/

\AB-n\_\AB-n\

\AH\=\AB\-sinJ=\AB\•|cos<AB,n>|=\AB\

n

\AB-n\

a7=---------

\n\

【必考题型汇编】

1.（湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考解析第16题）

如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BCIIAD,EFIIAD,AD=4.,AB=V2,BC=

EF=2,AF=Vli,FB_L平面ABCD,M为AD上一点，且FM.LAD,连接BD、BE、BM.

⑴证明：BCV平面BFM;

（2）求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.

方法提供与解析：

（1）解析：因为FB±平面ABCD，又ADU平面ABCD，所以FB±

AD.又AD,且FBClFM=F,所以AD_L平面BFM.因为

BC//AD,所以BCA,平面BFM.

（2）解析：作EN±AD,垂足为N,则FM//EN.又EFIIAD,所以四边形FMNE是平行四边形，又

EN±AD,所以四边形FMNE是矩形，

又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4,EF=2,所以AM^l.

由⑴知AD_L平面BFM,所以BM.LAD.又AB=6,所以BM=1.

在Rt/\AFM中，FM=y/AF--AM2=V10.在Rt△FMB中，/.FB=^JFM2-BM2=3.

由上可知，能以BM、BC、BF所在的直线分别为立轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

则4T，T，0)，B(0,0,0)，0(0,0,3),D(T,3,0),E(0,2,3),

所以，AB=(1,1,0),BF=(0,0,3),BD=(-l,3,0),BE=(0,2,3)

设平面ABF的法向量为m—(aJi,y1；2i),

,fm-AB=0/曲+%=。

由仁一，仔，

1为=0n

可取茂=(1,-1,0);设平面BDE的法向量为n=(x2,y2,^),

,n-BD—Qg(—x+3y2—0,、

由一，得2，可取方=(9,3,2).

n-BE=Q1―2%+3Z2=0

__________P

因此，cos<m,n>=告：।=/--913=岑\•

\m\-\n\4TTW81+9+447

依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为佳段.

2.(辽宁省沈阳市郊联体2024年高三上学期开学联考解析第17题)

如图，已知斜三棱柱ABC-A^C,中，侧面BBCC_L侧面AA.B.B，侧面BB.C.C是矩形，

侧面AA.B.B是菱形，ABAA,=60°,AB=2BC=2，点E,F,G分别为棱AAX,AXC,BBX的中点.

(1)证明：FG//平面ABC;

(2)求二面角4—BC—E的余弦值.

方法提供与解析：

解析：⑴证明：因为点E,F,G分别为棱AA1,A1C,BB1的中点，连接EF,EG,则EF//AC,EG//AB,

又因为EFD平面ABC,AC平面ABC,所以EF//平面ABC,

同理可得EG//平面ABC,

因为EFC\EG=E,EFU平面EFG,EGu平面EFG,

所以平面EFG//平面ABC,

因为FGu平面EFG，所以FG〃平面ABC.

(2)解：侧面BBGC是矩形，所以BC±BB1,

又因为平面BBQC_L平面AA^B,平面平面44户户=,所以BC_L平面AA^B,

又BEU平面AA.BiB,因此BC±BE.

在菱形AA.B.B中，/B44i=60°,因此△44出是等边三角形，又E是441的中点，所以BE±AAj,

从而得BE±BBl.

如图，以B为坐标原点，BE,BB„BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

因为AB=2BC=2，所以BE=ABsin60°=血，因此8(0,2,0),4(6,1,0),后(5/^,0,0),。(0,0,1),所以

B^C=(0,-2,1),0=(V3,-2,0),BA=(V3)-1.0),

设平面EBC的法向量为m=(rci.yi.zi),

m±B,C/—2%+zi—0i尸一/2V3.

由一，仔后。，令%=1,付m=（二一,1,92

mYBiElV3z1-2y1=0\3

设平面AXBXC的法向量为日=（%2,例,22）,

由尸吧‘得令…，得X啥1，2），

麻，国41[V3x2-y2=0\3，

2

17V19

cos〈范云〉=噩：:――，即二面角Ax—BrC—E的余弦值为

।层I.周।/19./167676

3.如图，在四棱柱ABCD—AiBCn中，/L4i，平面ABCD,底面ABCD为梯形，AD//BC,BC=4：

,AB=AD=DC=AA1=2,Q为AD的中点.

⑴在4。上是否存在点P,使直线CQ//平面AC.P,若存在，

请确定点P的位置并给出证明，若不存在,请说明理由；

（2）若⑴中点P存在,求平面AC.P与平面ABB.A,所成的锐二面角的余弦值.

方法提供与解析：

（1）解析：（几何法）

存在，证明如下：

在四棱柱ABCD-ArB.C.Dr中，因为平面ABCDII平面,

所以可在平面ABiG。内作C.PIICQ,

由平面几何知识可证ACiDiP陞4CDQ,所以DrP=DQ,可知P是儿。中点，

因为GPU平面AC.P,所以CQ//平面AGP.

即存在线段AA的中点，满足题设条件.

满足条件的点只有一个，证明如下：

当CQ//平面ACrP时，因为CQ〃平面AiBxGDx,

所以过G作平行于CQ的直线既在平面4Gp内，也在平面4BQQ1内，

而在平面4B1GD1内过G只能作一条直线GPIICQ,

故满足条件的点P只有唯---个.

所以，有且只有4A的中点为满足条件的点P,使直线CQ//平面ACXP.

（2）解析：（坐标法）

过点D作DF.LBC,垂足为F,又因为DDil.平面ABCD

所以DA,DF,DD两两互相垂直，

X___________F

以D为坐标原点，分别以DA,DF,DDr所在直线为立轴，沙轴，z轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz,

则A(2;0,0),P(1,0,2),GC-l,VS,2),A(2,0,2),5(3,73,0),

PA=(1,0,-2),PG=(-2,V3,0),AB=(1,73,0),=(0,0,2)

--n-PA—0,(x—2z—0,

设平面24G的法向量为元=(c,%z),则有《一即《J

n-PC^O,l-2z+V3?/=0.

令x=2V3，得y=4,z=V3，所以n=(2V3,4,^/3).

设平面ABBiAi的法向量为rh—（x,y、z）.

,.[AB-rh=Q,

则有一

[AAi-m=Q,2z=0.

令x=V3,得g=—l,z=0，所以方=(V3,—1,0).

n-m6-4+0V31

所以cosn,m===

2V31—31

故平面ACP与平面ABB.A,所成的锐二面角的余弦值为V31

X31

4.（福建泉州市2025届高中毕业班模拟检测（一）解析第16题）

4：如图,在四棱锥P-ABCD中，PD=PC=CB=BA=^-AD=2,AD//CB,ACPD=ZABC=90°

,平面PCD工平面ABCD,E为PD中点.

（1）求证：PD±平面PCA;

（2）点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦值为平，求平面PCD与平面CDQ夹角的

O

余弦值.

方法提供与解析:

(1)解析：由题意：BC=AB=2,NABC=90°,4。=dAB1+BC2=2四同理GD=2V2,又AD^4,CD2

+AC2^AD\CDYAC.而CD=2V2=y/PD2+PC2,即PC工PD,

又平面PCD±平面ABCD,平面FGDP平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,ACA.平面PCD,PD

c平面PCD,PD±AC,

又PC±PD,且PCu面PCA,AC面PCA,PCC\AC^C,PD±平面PCA.

(2)解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

_____________即

p

则。(0,0,0),4(0,22,0),。(22,0,0),。(2,0,血),

所以CD^(272,0,0),CP=(72,0,72),^4=(-72,272,-72),

设丽=1用(0<]<1)，有质=覆+7向=(2(1—冷,2方用血(1—冷),

取面PCD的一个法向量rh=(0,1,0),则cosCQ,rn=—"叵入,

j4(l-iy+8/32

故国=(夺，血，号).

[n-CD—0（2y/2x=0

令n=（力,U，z）是平面CDQ的一个法向量，则_>，即[2+蓼+V2_。，

IIn-m、只

令y=l,有克=（0,1,-2）,则cos（n,m）=,,=,故平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值为

1同同5

V5

5,

5.（长沙市雅礼中学2025届高三上学期（9月）综合自主测试解析第17题）

5:如图（1）,在4ABC中，CD±AB,BD=2CD=2AD=4，点E为AC的中点.将4ACD沿CD

折起至1」AFCD的位置，使DEL8C,如图（2）.

图⑵

（1）求证：PBVPC;

（2）在线段BC上是否存在点F,使得CP±DF?若存在,求二面角P-DF-E的余弦值；若不存：

在，说明理由。

___________由

解析：⑴依题意可知点E为PC的中点，PD=CD=2,所以DELPC.

又DE_LBC,BCC\PC=C,BC,PCu平面PCB,所以DEL平面PCB.

又PBU平面PCB,所以DEYPB.

依题意可知CD±PD,CD±BD,BDAPL>=D,BD,PDc平面PDB，所以CD±平面PDB.

又PBu平面PDB,所以CD±PB.因为CDCDE=D,CD,DEU平面PCD,所以PB1.平面PCD

.又PCu平面PCD,所以PB±PC.

⑵由题意，得PC=J22+2?==£=2娓,

由(1)PC±PB,所以PB=V(2V5)2-(2V2)2=2V3.

以点D为坐标原点，DP,DC所在直线分别为x轴、z轴，

过点D且平行于PB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，

如图，则£)(0,0,0),P(2,0,0),(7(0,0,2),S(l,0,l),B(2,2V30)，所以CP=(2,0,-2),PF=(2,0,0),DE=

(1,0,1).

设BF=tBC(U«),即BF=tBC=(-2t,-2V3t,2t),

则F(2-2i,2V3-2V31,2t),DF=(2-2t,273-2731,2t).

若存在点F,使得CP±DF,则存•万元=4-8t=0,解得t=y,则5F=(1,V3,1).

FT,，0,.，、,[m-DF=x+V3y+z—0

设平面PDF的法向量为茂=@,%,zi),则《一111,

[m-DP=2x1=