2024高考数学一轮复习讲义：正弦定理和余弦定理的应用（学生版+解析）

第05讲正弦定理和余弦定理的应用

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................3

高频考点一：测量距离问题.........................................3

高频考点二：测量高度问题.........................................6

高频考点三：测量角度问题.........................................9

高频考点四：求平面几何问题......................................12

高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题........................13

第四部分：新定义题.................................................14

第一部分：基础知识

1、基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应

根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

2、仰角与俯角

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，

目标视线在水平视线下方的叫做俯角

3、方位角北］

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角。的范围是」35。东

0<^<360.■A

4、方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）口,

例：（1）北偏东a：（2）南偏西a：

5,坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（。为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即

h

=tan0.

1

第二部分：高考真题回顾

1.（2021•全国•乙卷理）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的

高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和BG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表

高"，EG称为"表距"，GC和E"都称为"表目距"，GC与E”的差称为“表目距的差”则海岛的高祥=（）

表高,表距D.fig-表距

C.+表距

表目距的差表目距的差

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：测量距离问题

典型例题

例题1.（23-24高一下•山西运城•阶段练习）第九届中国国际“互联网+”大学生创业大赛于2023年10月

16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G十光网"双千兆城市建设.如图，某区域地面有

四个5G基站，分别为A,B,C,D.已知C,。两个基站建在河的南岸，距离为20km,基站A,2在河的

北岸，测得NACB=60。，ZACD=105°,NM»C=30。，Z4DB=60°,则A,8两个基站的距离为（）

A.10而kmB.30^\/3kmC.15kmD.10^/5km

例题2.（23-24高一下,江苏无锡•阶段练习）某货轮在A处看灯塔8在货轮北偏东75方向上，距离为12#

nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30方向上，距离86nmile.货轮由A处向正北航行到。处时，再

看灯塔5在南偏东60方向上，A处与。处之间的距离是nmile,灯塔C与D处之间的距离是一

nmile.

例题3.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一

种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到3,然后从2沿直线步行到C,现有甲、乙两位

游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2min后，乙从A乘缆车到8,在8处停

留Imin后，再匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量得

（1）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（2）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内？

练透核心考点

1.（23-24高一下•湖南衡阳•阶段练习）某次军事演习中，炮台A向北偏东60方向发射炮弹，炮台8向北

偏西30方向发射炮弹，两炮台均命中10km外的同一目标，则A8两炮台在东西方向上的距离为（）

A.（5/+5）kmB.（5百-5）kmC.（5石+10）kmD,（5豆-10）km

2.（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）如图，要测量河对岸C,。两点间的距离，在河边一侧选定观测点

A,B,并测得A,8间的距离为20』m,ZDAB=15°,ZCAB=3O°,AB1BC,ZABD=6O°,则C,D

两点间的距离为多少？

3.（23-24高一下•浙江•阶段练习）如图A3是在沿海海面上相距15+56海里的两个哨所，5位于A的正

南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东30方向处有一艘走私船，同时，8哨所也发现走私船在其东北方向

上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西30的。点，且A与。相距20百海里，试求:

⑴刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离；

（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？

⑶若缉私艇得知走私船以106海里/时的速度从C向北偏东15方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追

截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

4.(23-24高一下•四川资阳•阶段练习)如图，某公园有三条观光大道AC围成直角三角形，其中直

角边3C=200m,斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,3cAe大道上嬉戏，

(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度同时从点8出发在各自的大道上奔走，甲出发3分钟后到达。，乙出发

1分钟后到达E,求此时甲、乙两人之间的距离；

(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点，耳尸.设NCEF=6,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，

且=请将甲、乙之间的距离V表示为9的函数，并求甲、乙之间的最小距离.

5.(23-24高一下•上海•阶段练习)海上某货轮在A处看灯塔8在货轮的北偏东75。，距离为12卡海里；在

A处看灯塔C在货轮的北偏西30。，距离为8石海里；货轮向正北由A处行驶到。处时，若灯塔3在南偏东

60。的方向上，则灯塔C与。处之间的距离为多少海里？

高频考点二：测量高度问题

典型例题

例题1.（23-24高一下•重庆•阶段练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐

代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方

向找到一座建筑物A3高约为37m,在地面上点C处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶

部M的仰角分别为30。和45。，在A处测得楼顶部M的仰角为15。，则鹳雀楼的高度约为（）

A.64mB.74mC.52mD.91m

例题2.（23-24高二下•山东荷泽•阶段练习）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测

得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上；行驶600m后到达8处，测得此山底C在西偏北75°的方向上,

山顶。的仰角为30°,则此山的高度CD=.

D

叙

I

II11\

/ViJU\\

nrn\

卜工.v\

__________8/

例题3.（23-24高一下,湖南长沙•阶段练习）圣•索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜

占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.其中央主体建筑集球，圆柱，

棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高

度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物高为（15g-15）m,在它们之间的地面上的点M,

D三点共线）处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15。和60。，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30。，则小

明估算索菲亚教堂的高度为米.

例题4.（23-24高一下•河南郑州•阶段练习）郑州市中原福塔的塔座为鼎，寓意为鼎立中原，从上空俯瞰如

一朵盛开的梅花，寓意花开五福，福泽中原，它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场"大玉米"号称

中原第一高楼，璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念，流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中华文

化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习，用以下方法测量两座塔的高度.

⑴为测量中原福塔高度，小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线AC，使A，综G共线，在A，综G

三点用测角仪测得尸的仰角分别为1=45。,月=45。,7=37。，其中测角仪的高度为1米，为了测量距离，小米

骑共享单车，速度为5m/s,从4到4耗时28s,从耳到G耗时为原来的2倍，求塔高尸田.（参考数据：取

742=6.45，tan37°=0.75）

（2）为测量千玺广场“大玉米”高度，小米选择一条水平基线AN,使A,三点共线，在A8两点用测角仪

测得P的仰角分别为7,在A处测得8的仰角为尸，测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测距

功能，从河南艺术中心音乐厅入口台阶A处运动到水景露天剧场的8处，测得距离人

①试用a,尸，/,几表示塔高P"；

②若夕=36.7。，a=12.7。，y=53.3o,2=205米，求千玺广场“大玉米”的实际高度.

.....................357133

（参考数据：取sin36.7°=—,sinl6.6°=-----,sin40.6°=------）

5200205

练透核心考点

1.（23-24高一下•广西•开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，

所以也有金银塔之称.如图1,这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底。的

同一水平面上的A8两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为60。，在8处测得塔顶P的仰

角为45。，AB=25米，ZAOB=30,则该塔的高度OP=（）

图1图2

A.25&米B.253米C.50米D.25面米

2.（2024,湖南岳阳•二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳

楼记》著称于世，自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度A8,他首先在C

处，测得楼顶A的仰角为60。，然后沿BC方向行走22.5米至。处，又测得楼顶A的仰角为30。，则楼高A3

3.（23-24高一下•重庆渝中•阶段练习）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称"解放碑"，位于重庆市渝

中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的

纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45、点8处测得其顶点P的仰角为

30，若|AB|=55米，且=，则解放碑的高度OP=米.

4.（23-24高二下•山东荷泽•阶段练习）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氯气的密度低于

气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到

控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐作用

外还可用于测量.如图，在离地面高800m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,

已知/A4c=60°,求山的高度8C.

高频考点三：测量角度问题

典型例题

例题L（23-24高三上•山东泰安•阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平

面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45。，他在公路上自西向东行走，行走60米到点5处，测得仰角为45。，

沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为。.则sin6=（）

11

A.-B.3C.—2D.—

23

例题2.（22-23高一下•河南商丘•阶段练习）位于灯塔A处正西方向相距4行海里的5处有一艘甲船燃油

耗尽，需要海上加油.位于灯塔A处北偏东30。方向有一艘乙船（在C处），乙船与甲船（在5处）相距4若

海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（）

A.西偏南15°B.西偏南30。

C.南偏西45。D.南偏西65°

例题3.（22-23高三上•安徽•阶段练习）某人从山的一侧A点看山顶的仰角为60,然后沿从A到山顶的直

线小道行走2006m到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走400m到达另一侧的山脚8处（AB在同一

水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从8点看山顶的仰角的正弦值为，A3的最大值为

m

例题4.（22-23高一下•浙江・期中）如图，A,8是某海城位于南北方向相距30（1+6）海里的两个观测点，

现位于A点北偏东45。，8点南偏东30。的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于8点正西方向且

与2点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

（1）求8,C两点间的距离；

（2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据:

cos21.79°=0.93,角度精确到0.01）

练透核心考点

1.（22-23高一下•湖北武汉•阶段练习）己知甲船在海岛5的正南A处，AB=10海里，甲船以每小时4海

里的速度向正北航行，同时乙船自海岛8出发以每小时6海里的速度向北偏东60。的方向驶去，当航行一小

时后，甲船在乙船的（）

A.北偏东30。方向B.北偏东15。方向

C.南偏西30。方向D.南偏西15。方向

2.（22-23高一下•云南曲靖,阶段练习）冬奥会会徽以汉字"冬"为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将

悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料

得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150°

等特殊角度下.为了判断"冬"的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了AAB。，测得A2

=5,BD=6,AC=4,AO=3,若点C恰好在边3。上，请帮忙计算sinNAC。的值（）

A

D

5A/22

A.-R

9B・李6

3.（21-22高一下•贵州黔东南•期中）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的

速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km的8处有一艘小艇，小艇与海岸距离

为45km,若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

1_，北

A7n—"

B

（1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

⑵求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.

4.（20-21高二上•广东东莞•期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平

原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站A3,已

知基站高A8=50m,该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测

得基站底部B的仰为37。，测得基站顶端A的仰角为45°.

（1）求出山高8E（结果保留整数）；

（2）如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛

所在位置）到基站A8所在直线的距离CD=xm,且记在C处观测基站底部B的仰角为。，观测基站顶端A

的仰角为△试问当x多大时，观测基站的视角/ACB最大？

参考数据：sin8«0.14,sin37«0.6,sin45=0.7,sin127®0.8.

高频考点四：求平面几何问题

典型例题

例题1.（22-23高一下•江苏镇江•阶段练习）如图，平面四边形4反仁£>,己知/DC4=45,

ACDB=ZADB=30,CD=（布+塔,4cB=60,则A、8两点的距离是（）

A.4A/3B.y/lOC.6&D.2.s/lO

例题2.（23-24高一下•重庆•阶段练习）如图，已知在平面四边形A3CD中，ZADC=A5°,CD=6BC=2.

⑴若该四边形ABCD存在外接圆，且AB=0,求AD；

（2）若/BAD=/BC4=60。，求A3.

例题3.（23-24高三上•浙江杭州•期中）己知四边形A3CZ）内接于「O,若AB=1,BC=3,CD=DA=2.

⑴求线段的长.

⑵若/3PD=60。，求PS+PD的取值范围.

高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题

典型例题

例题1.(2024•江苏盐城•模拟预测)已知函数/(x)=^sin(=-2x)-sin(y+2;t).

(1)若方程f(x)=m在xe[-:，，上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；

(2)在形。中，若"3)=-2,内角A的角平分线&。=道，AB=E，求AC的长度.

例题2.(23-24高一下•河南郑州•阶段练习)A3C的内角A,8,C所对的边分别为a,6,c,且

V3sin-sinB-y=0

⑴若sinC=2sinA,求AB在上的投影向量；(用向量3C表示)

⑵若"3,%3苧,即为—的平分线,BE为中线,求需的值.

练透核心考点

1.(23-24高一下•广东湛江■阶段练习)已知函数/(x)=cos2x+百sinxcos尤.

(1)求/(X)的最小正周期及单调递增区间；

⑵在A6C中，a、b、C分别是角A、B、C的对边长，若/(A)=l,b=\,ASC的面积为也，求。的

2

值.

2.(23-24高一下•陕西西安•阶段练习)已知

m=^\/3sin^yx,cos<z>xj,n=(cos6yx,-coscox^>0,xGR),f(x)=m-n~—,且/(x)的图象上相邻两条对称轴

71

之间的距离为彳.

2

⑴求函数的单调递增区间；

(2)若ABC的内角A氏C的对边分别为a,6,c,且6=百,〃3)=0,求ABC面积的最大值.

第四部分：新定义题

1.(23-24高一下•福建三明•阶段练习)定义非零向量OM=(a,6)的(相伴函数)为

/(x)=asinx+&cosx(xeR),向量OM=(a,6)称为函数/(x)=asinx+/?cosx的"相伴向量”(其中O为坐

标原点)

(1)求〃(x)=cos[x+E]-2cos(x+a)(aeR)的相伴向量；

⑵求(1)中函数〃(*)的"相伴向量”模的取值范围；

⑶己知点”(。/)，其中a,6为锐角ABC中角A3的对边.若角C为三，且向量OM的"相伴函数"〃力

在x=七处取得最大值.求tan2x。的取值范围.

2.（23-24高一下•重庆渝中•阶段练习）定义函数/■（x）=msinx+AKO牍的“源向量"为=非零向量

OM=（W）的"伴随函数"为/'（xbrnsinx+acosr,其中。为坐标原点.

⑴若向量0M=（1,⑹的"伴随函数"为〃尤），求〃尤）在xe[O,可的值域；

⑵若函数g（x）=Gsin（x+a）的“源向量”为OAf,且以。为圆心，|。/为半径的圆内切于正4ABe（顶点C

恰好在y轴的正半轴上），求证：M42+4加+“02为定值；

⑶在MC中，角A,8,C的对边分别为4,4C,若函数Mx）的“源向量"为加=（0,1）,且已知a=8,/7（A）=M，

求k8+Ac|-ARAC的取值范围.

第05讲正弦定理和余弦定理的应用

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................3

高频考点一：测量距离问题.........................................3

高频考点二：测量高度问题.........................................6

高频考点三：测量角度问题.........................................9

高频考点四：求平面几何问题......................................12

高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题........................13

第四部分：新定义题.................................................14

第一部分：基础知识

1,基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应/目标

/视线

加角水平

根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.1

丽甭一视线

线

2、仰角与俯角、目标

视线

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，

目标视线在水平视线下方的叫做俯角

3、方位角北］

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角。的范围是』35。东

04"360.A

4、方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）&,

例：（1）北偏东（2）南偏西a：

5、坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（。为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即

,=tan6.

第二部分：高考真题回顾

1.（2021•全国•乙卷理）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的

高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和BG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表

高"，EG称为"表距"，GC和团都称为“表目距"，GC与E”的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）

表IWIx表距表iW;x表距

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差

【答案】A

【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.

【详解】如图所示：

DEEHCGCG-EHCG-EH

而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

~AB~^H~^C~AC-AH~CH

CG-EH+EGEGxDE表高x表距

即AB=xDE=+DE+表高.

CG-EHCG-EH表目距的差

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：测量距离问题

典型例题

例题1.（23-24高一下•山西运城•阶段练习）第九届中国国际“互联网+"大学生创业大赛于2023年10月

16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进"5G+光网"双千兆城市建设.如图，某区域地面有

四个5G基站，分别为A,B,C,D.已知C,。两个基站建在河的南岸，距离为20km,基站A,2在河的

北岸，测得NACB=60。，ZACD=105°,ZADC=3OP,ZADB=60。，贝ijA,8两个基站的距离为（）

A.10而kmB.C.15kmD.10A/5km

【答案】A

【分析】首先求得NC4D=45。，在，ACD中，运用正弦定理求得AD,进一步求得即，由此在△ABD中

利用余弦定理即可求解.

【详解】在ACD中，ZCAD=180°-105°-30°=45°,

AD

由正弦定理得端

sin105。

CDxsin105°_20x(sin60°cos45°+cos60°sin45°)

/iLJ——-=--1-O-(--V-3-+-1-)--,----------------------

sin45°sin45°

在△3CD中，易知ZBCD=45。，NBDC=9。。，

所以NCBD=45。，所以&)=8=20,

由余弦定理得AB=VAC2+BD2-2xADxBDxcos600=A/600=1076.

故选：A.

例题2.（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）某货轮在A处看灯塔8在货轮北偏东75方向上，距离为12#

nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30方向上，距离8amile.货轮由A处向正北航行到。处时，再

看灯塔5在南偏东60方向上，A处与。处之间的距离是nmile,灯塔C与。处之间的距离是

nmile.

【答案】248石

【分析】中，根据正弦定理，即可求解；一ACD中，根据余弦定理，即可求解.

【详解】中，由已知得NB4r>=75,ZBDA=60，所以ZB=45,

ABsinB已限

由正弦定理得A。=f=24(nmile)

sinZADB

2

ACD中，ZCAD=30,由余弦定理，得

CD=ylAC2+AD2-2ACADcos30，

=J(8V3)2+242-2X8>/3X24X^，

=V192+576-576=873（nmile）

所以灯塔C与D处之间的距离为8扃mile.

故答案为：24,873

例题3.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一

种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到8,然后从8沿直线步行到C,现有甲、乙两位

游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2min后，乙从A乘缆车到8,在B处停

留Imin后，再匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量得

cosA=——,sinB=—

1365

（1）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

⑵为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内？

【答案】（D=35min

【分析】（1）先求得sinC,然后由正弦定理求得A3,假设乙出发rmin后，甲、乙两游客距离为d,利用

余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得d的最小值.

（2）根据"两位游客在C处互相等待的时间不超过3min"列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.

【详解】（1）由题意cosA=||,sinB=fj,且8为钝角、A为锐角，

1365

所以sinA=』，cosB=-Vl-sin2B=--,

1365

在《ABC中sinC=sin（A+=sinAcosB+cosAsinB=­x|--|+—x—=—,

13v63y65135

AB=1260

由正弦定理「；=—二,可得丁一京，解得AB=1040（m）.

所以索道AB的长为1040m,

假设乙出发rmin后（乙在缆车上），甲、乙两游客距离为d,

此时甲行走了（100+50f）m,乙距离A处130/m,

由余弦定理得储=(100+50?)2+(130r)2-2x130?x(100+50r)x—

=200(37r-70?+50),

因为owtw-]30-，BPO<r<8,

又函数y=37/-70f+50的对称轴为r=二，开口向上,

所以当U二min时，甲、乙两游客之间距离最短.

BCAC

（2）在中由正弦定理

sinAsinB

“•，AC51260…

左力/口BC=smAx------=—x———=500m

解得sin81363,

65

乙从5出发时，甲已走了50x(2+8+l)=550m,还需要走1260—550=710m才能到达C,

设乙步行的速度为vm/min（v>0）,

上旧上,口c500710〜1250

由题意得-34---------<3,解得一丁

v504314

所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,

1250625

乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围之内.

43'瓦

练透核心考点

1.（23-24高一下•湖南衡阳•阶段练习）某次军事演习中，炮台A向北偏东60方向发射炮弹，炮台8向北

偏西30方向发射炮弹，两炮台均命中10km外的同一目标，则48两炮台在东西方向上的距离为（）

A,卜6+5）kmB.（56-5）kmC.^573+iojkmD,^573-lojkm

【答案】A

【分析】

根据题意先求得A3之间在南北方向上的距离，继而可求得AB两炮台在东西方向上的距离.

【详解】法一：由题意得，A在5北偏西75方向上，

A3之间在南北方向上的距离为10cos3。-10cos60=5（百-1）,

则A3在东西方向上的距离为5（道-1卜曲75,

tan30+tan45

其中tan75=tan(30+45)==A/3+2，

1-tan30tan45

因此5（石-l）tan75=5（同-1）（n+2）=5（石+1）,

法二：过炮台点E作东西方向的水平线交正北方向分别为R尸点，

则由图知。尸=DE+斯=AEsin60+BEsin30=10X^+10X-=5A/3+5.

22

故选：A.

2.（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）如图，要测量河对岸C,。两点间的距离，在河边一侧选定观测点

4,B,并测得A,8间的距离为204m,ZDAB=75°,ZCAB^30°,AB±BC,ZABD=60°,则C,D

两点间的距离为多少？

【答案】loVio

【分析】在RTZXABC中求出BC,在中求出50,在△BCD中，利用余弦定理求解。.

【详解】在RTAABC中，BC=ABtanZCAB=2073xtan30°=20,

在△ABD中，ZADB=180°-ZDAB-ZABD=45°,

BDAB

由正弦定理得

sinZDAB-sinZADB

r20氐卢+

222

所以①9=2°.xsin75=——IJ=10（3+^）.

sin4512v7

~T

在△BCD中，由余弦定理可得：

DC2=202+100（3+@2-2x20x10（3+A/3）XCOS30°=1000,

解得Z）C=10幅.

3.（23-24高一下•浙江•阶段练习）如图A3是在沿海海面上相距15+5港海里的两个哨所，8位于A的正

南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东30方向处有一艘走私船，同时，8哨所也发现走私船在其东北方向

上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西30的。点，且A与。相距20代海里，试求:

(1)刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离；

(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？

⑶若缉私艇得知走私船以10若海里/时的速度从C向北偏东15方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追

截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

【答案】(1)10指

⑵走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东60方向上

(3)"+回小时

4

【分析】(1)在「ABC中根据正弦定理可得结果；

(2)在一ACD中根据余弦定理可得结果；

(3)在VCD暇中由余弦定理可得结果.

【详解】(1)由C在A的南偏东30,在3的东北偏方向，在31BC中，

ZABC=45,/CAB=45,ZACB=105,由正弦定理得网=四］,

sinZACBsinZABC

15+5-\/3|4C.1CU.(ACr(\\.ACrf\AC./C"\/6+\/2

/.-----------=------—,sinl05=sm(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=-----------

sinl05sin451)4

代入上式得：|AC|=10石海里.

答：走私船C与观测点A的距离为10如海里；

(2)在ACD中，|AC|=10西海里，|4。|=204海里，ADAC=60,

.-.|r>C|2=|AD|2+|AC|2-2|AD|X|AC|XCOS60.

=1200+300-2X10A/3X20A/3X-,

2

.-.|DC|2=900,解得|Z>q=30海里,

|Ar>「+|£>C『.AC『Q)@2+302-(10@]/

又cos/ADC=

2\AD\\DC~2X2073X105/3-2

且0<NAT)C<180,所以/ADC=30°,

故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东60方向上.

(3)设/小时后缉私艇在加处追上走私船，则|MC|=10后,|DM|=30r,

又/£(C4=90°,NDCM=90+30+15=135，

在VCDM中，由余弦定理得=|DC「+|MC「-2|OC|x|Mqxcosl35,

900r2=300r+900-2x10"x30xcosl35?,化简得2产一倔-3=0

解得.=&+屈.故缉私艇至少需要®^小时追上走私船.

44

4.(23-24高一下•四川资阳•阶段练习)如图，某公园有三条观光大道ABICAC围成直角三角形，其中直

角边BC=200m,斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在A3,3C,AC大道上嬉戏，

⑴若甲、乙都以每分钟100m的速度同时从点5出发在各自的大道上奔走，甲出发3分钟后到达。，乙出发

1分钟后到达E,求此时甲、乙两人之间的距离；

(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点。，耳尸."CEF=9,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，

且N£>EF=],请将甲、乙之间的距离V表示为。的函数，并求甲、乙之间的最小距离.

【答案】⑴lOOjfm；

_50/>„71_

⑵丫一•-0-3；50Gm.

sm("+—)

【分析】(1)根据题意，得到8。和班的长，在△出)E中，利用余弦定理，即可求得甲乙两人之间的距

离；

(2)再中，由正弦定理可得a。。一2?osJ=尢,可将甲乙之间的距离V表示为。的函数，进而

sin0sm60

求得甲乙之间的最小距离.

【详解】(1)解：由题意，可得9=300,5£=100,

在直角_ABC中，可得cos人器j因为爪（。㈤,所以吟,

在△BDE中,由余弦定理得£＞炉

=3002+1002-2X300X100X1=70000,所以DE=10077,

答：甲、乙两人之间的距离为10077m.

(2)解：由题意，可得EF=2DE=2y且NBDE=NCEF=6,

在直角△CEF中，可得CE=EF・cosNCEF=2ycos6

在△&）石中，由正弦定理得.二zDE200-2^cos0_y

sinZBDEsinZDBEsin0sin60°

100A/3_50A/3”“兀

所以y=Gcose+sine=1^M'5,所以当夕=?时，y有最小值50Al

oiii^cz十3）o

答：甲、乙之间的最小距离为504m.

5.（23-24高一下•上海•阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔8在货轮的北偏东75。，距离为12面海里；在

A处看灯塔C在货轮的北偏西30。，距离为84海里；货轮向正北由A