2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：特殊的平行四边形（解答题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

特殊的平行四边形（解答题）1

一、解答题

1.（2024北京人大附中初二下期中）如图，四边形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。,对角线8。平分

ZABC,过点A作3。的垂线AE,分别交BC,BD于点E,O,连接£）及

（1）求证：四边形ASED是菱形；

（2）连接CO,若AB=3,CE=2,求CO的长.

2.（2024北京房山初二下期中）如图，在ABCD^,对角线延长。C到点E,使CE=DC,连

接AE,交BC于点F.连接BE.

（1）求证：四边形ABEC是矩形.

⑵若CD=3,CF=3,求BE的长.

3.（2024北京第一••fc—中学初二下期中）如图，在正方形中，E是边上的一动点，点/在边

BC的延长线上，且CF=AE,连接。E、DF.

（1）求证：DELDF；

（2）连接跖，取E尸中点G,连接£>G并延长交3C于H,连接BG.

①依题意，补全图形；

②求证：BG=DG；

③若ZEGB=45。,用等式表示线段3G、形与AE之间的数量关系，并证明.

4.(2024北京八一学校初二下期中)已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、80相交于

点。，BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、A8的中点.求证：

(1)BE±AC.

⑵EG=EF.

5.(2024北京广渠门中学初二下期中)如图，平行四边形ABC。中，点E,尸分别在边BC,AD上,

(1)求证：四边形AEb是矩形；

(2)连接8尸，若AB=4,ZABC=60°,M平分NABC,求AD的长.

6.(2024北京海淀初二下期中)已知正方形ABCD中，点£是射线BC上一点，连接AE,作AE的垂直平

分线交直线CD于点交直线A3于点M交AE于点孔

(1)如图1,当点E在正方形的边BC上时.

①依题意补全图形；

②求证：MN=AE；

(2)如图2,当点E在BC的延长线上时.连接8D并延长交NM的延长线于点P,连接PE.

①直接写出ZPE4的度数为一；

②用等式表示线段尸尸，PM,尸N之间的数量关系

7.(2024北京汇文中学初二下期中)如图是由边长为1的小正方形构成的6x4的网格，点A、B均在格点

图1图2

（1）在图1中画出以A8为边且周长为8+2石的平行四边形且C点和。点均在格点上（画出一个即

可）；

（2）在图2中画出以A8为对角线的菱形尸，且点E和点厂均在格点上.

8.（2024北京海淀初二下期中）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,点。是AB的中点，连接CD,过点

B惶BE〃CD,过点C作CE〃AB,BE、CE相交于点E.

（1）求证：四边形CEBD是菱形；

（2）过点。作DFLCE于点E交CB于点G,若AB=10,CF=3,求DG的长.

9.（2024北京海淀初二下期中）已知：在△AOD中，ZAOD=90°.求作：菱形A3CD.

作法：

①延长AO,以点。为圆心，长为半径作弧，与49的延长线交于点C；

②延长。O,以点。为圆心，OD长为半径作弧，与。。的延长线交于点8；

③连接

所以四边形ABCD即为所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：VAO=,DO=,

四边形ABCO是平行四边形.

•••NAOD=90。，

ACJ.BD.

平行四边形A58是菱形.（—）（填推理的依据）.

10.（2024北京清华附中初二下期中）如图，VA3C中，AB^BC,过A点作2C的平行线与—ABC的平

分线交于点3,连接CO.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）连接AC与80交于点。，过点。作DEL3c交BC的延长线于E点，连接E0,若EO=2#,

DE=4,求CE的长.

11.（2024北京第六十六中学初二下期中）如图1,将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形

图1图2

（1）请补全表格：

a30°45°60°90°120°135°150°

S1在

2

（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着NA大小的变化而变化，不妨把

单位菱形的面积S记为5（a）.例如：当a=30。时，5=5（30。）=：；当々=135。时，

5=5（135。）=孝.由表格可以归纳出5（180。-。）=5（_）.

（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=^2,ZAOB^a,试探究图中两个带阴影的三角

形面积是否相等，并说明理由.（注：可以利用（2）中的结论）

12.（2024北京第六十六中学初二下期中）如图，在菱形A2CZ）中，延长AD到点E,使=延长

C。到点片使OP=CD,连接AC、CE、EF、AF.

（1）求证：四边形ACEF是矩形；

⑵若/3=60。，AB=1,求四边形ACEP的周长.

13.(2024北京第十八中学初二下期中)如图，在四边形ABC。中，AB^AD,CB=CD,我们把这种两

组邻边分别相等的四边形叫做筝形.请探究筝形的性质.

小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.

(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是」

(2)小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”.

请你帮他将证明过程补充完整.

已知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD,CB=CD,

求证：

证明：

(3)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线.结合图

形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质(一条即可)

14.(2024北京第十八中学初二下期中)如图，在VABC中，AB=AC,D,E分别是AB,的中点,

BFDE,EF//DB.

(1)求证：四边形8DEF是菱形；

(2)连接CD,若BE=4,AC=2^5,求CD的长.

15.(2024北京日坛中学初二下期中)如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,将矩形ABC。沿对角线AC

折叠，使点8落在点£处，短交。。于点E

(1)写出折叠后的图形中的等腰三角形：;

(2)求b的长.

16.(2024北京广渠门中学初二下期中)在正方形ABCD中，点E为边上一个动点(点E不与点8,C

重合)，连接AE,点尸在对角线AC的延长线上，连接E尸，使得跖=AE.作点厂关于直线BC的对称点

G,连接CG,EG.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：ZBAE=ZGEC；

(3)用等式表示线段AC,CE,CG之间的数量关系，并证明.

17.(2024北京海淀初二下期中)正方形ABC。中，点P是射线8。上一动点，连结AP,过户作

PE±AP,交射线CO于E,连结AE.

(1)如图①，请补全图形：

(2)如图②，当点E在CZ)的延长线上时，试确定线段与CE之间的数量关系，并说明理由：

(3)如图③，当点P在的延长线上，若AB=3,DP=母,直接写出四边形ADPE的面积.

18.(2024北京十一学校初二下期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点尸和正方形。4BC,给出如下定

义：若点尸关于y轴的对称点P'到正方形。43G的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点P

是正方形OABC,的“最佳距离点”.

八歹Jky

8-8-

7-7-

6-6-

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

।।।।।।।।________->

-8-7-6-5-4-3-2-1^_12345678X—8—7—6—5—4—3—2—1^12345678x

-2--2

-3--3

-4-4

-5--5

-6--6

-7--7

-8--8

备用图备用图

己知：点力（a,0）,B（a,a）.

（1）当a=6时，①点C的坐标是一;

②在耳（-1,1）,£（-2,2）,月（T4）,月（-3,2）四个点中，一是正方形。4BC,的“最佳距离点”;

（2）当a=9时，点尸（一6,2”）（其中〃>0）是正方形OABC,的“最佳距离点”，求n的取值范围;

⑶点M（-3,3）,N（-5,5）,若线段MN上存在正方形Q4BC,的“最佳距离点”，直接写出。的取值范围.

19.（2024北京西城初二下期中）如图，平行四边形中，AS=6cm,BC=10cm,/3=60。，点G

是。的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与的延长线交于点尸，连接CE,DF.

⑴求证：四边形C£Zm是平行四边形.

请补全证明过程：

.点G是CD的中点，

①=・

四边形ABCD是平行四边形，

:.BC//AD（依据：②）.

•*.③Z=N.

又NFGC=NEGD,

FCGm£»G（ASA）.

/.CF=DE.

又，CF//DE,

二•四边形C瓦甲是平行四边形（依据：④）.

（2）直接写出：当隹二⑤cm时，四边形CEZ*是菱形;

当钻二⑥cm时，四边形CEZ用是矩形.

20.（2024北京第八十中学初二下期中）在菱形ABC。中，ZBAD120°,动点尸在直线BC上运动，作

NAPM=60。，且直线PM与直线C。相交于点G,G点到直线BC的距离为GH.

（2）若P在线段上运动，求证：CP=DG；

（3）若尸在线段2C上运动，探求线段AC",CH的一个数量关系，并证明你的结论.

21.（2024北京日坛中学初二下期中）下面是小明设计的作菱形的尺规作图过程.

已知：四边形ABCD是平行四边形.

求作：菱形AB£F（点E在BC上，点产在AD上）.

作法：如图，

①以A为圆心，48长为半径作弧，交AO于点尸；

②以B为圆心，长为半径作弧，交BC于点E；

③连接EP,所以四边形ABEF为所求的菱形.

（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：VAF^AB,BE=AB,

在平行四边形ABCD中，AD//BC,即Ab〃3E,

二四边形ABEF为形，

,/AF=AB,

四边形ABE尸为菱形.

22.（2024北京第一六六中学初二下期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正

方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：

ffll图③

（1）在图①中画一条线段MN,使得血W=JQ；

（2）在图②中画一个菱形ABC。，使其周长为4君；

（3）在图③画一个等腰RtABC,使得它的面积为4.

23.（2024北京海淀初二下期中）如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,8。交于点。，E是C4延长

线上一点，MAE-AO,BC=5,BD=8,求BE的长度.

24.（2024北京大兴初二下期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定

义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形.

⑴下列图形：①有一个内角为45。的平行四边形；②矩形；③菱形；

④直角梯形，其中对角直角四边形是一（只填序号）；

（2）如图，菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点在菱形ABCD的外部以CD为斜边作等腰直角

ACDN,连接MV.

①求证：四边形DMCN是对角直角四边形；

②若点N到8。的距离是2,求四边形DMCN的面积.

25.（2024北京大兴初二下期中）己知：如图，正方形AC8。的边BC上有一动点P（与点8,C不重

合），连接AP,延长BC至点。，使得CQ=CP,过点。作。以，A尸于点交正方形的对角线于点

M.若Z.PAC=a.

（1）求ZAMQ的大小（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示线段MB与P。之间的数量关系，并证明.

26.（2024北京大兴初二下期中）如图，在A3CD中，BD=AD,延长CB到点E,使BE=BD,连接

27.（2024北京大兴初二下期中）如图，在ABCD中，ZBAC=90°,点E为2C边中点，AD=8,求AE

的长度.

28.（2024北京大兴初二下期中）已知：RtAABC,ZABG=90°.

求作：矩形ABCD.作法：如图，

①作线段AC的中点。；

②连接8。并延长，在延长线上截取8=03；

③连接AD,CD.

四边形ABCD即为所求作的矩形.

证明：OA=_,OD=OB,

四边形A5CZ）是平行四边形（_）（填推理的依据）.

/ABC=90。，

..•四边形ABC。是矩形（_）（填推理的依据）.

29.（2024北京日坛中学初二下期中）如图，矩形ABC。的对角线AC,班＞相交于点O,延长CD到E,使

DE=CD,连接

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形：

(2)若AT)=DE=4,求OE的长.

30.(2024北京西城初二下期中)如图，四边形ABCD是正方形.过点C在正方形A5C。的外侧作射线

CN,"CV=a(0°<a<90。).作点。关于射线CN的对称点E,线段。E交射线CN于点M,连接房

交直线CN于点P.

mi笛川阳

⑴当0。<。<45。时，依题意补全图1,并直接写出NERV的度数；

(2)在(1)的条件下，用等式表示厂氏尸C,巫之间的数量关系，并证明；

(3)若Cb=l,FM=2,直接写出线段EB的长.

31.(2024北京西城初二下期中)如图，在RCABC中，ZACB=90°,。为A8的中点，AE//DC,

CE//DA.

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

(2)连接OE,若/E=120。，BC=2,求线段AC的长.

32.(2024北京海淀初二下期中)已知，矩形ABC。，AD>AB,对角线AC、BD交于点、O,

4MC=a，点M在射线2C上，满足NDMC=2a,作DEIAC于E,OE的延长线交BC于尸

⑴如图1,点M在线段上

①依题意补全图形，并直接写出NCDb=（用含a的式子表示）

②连接OM,请用等式表示线段与加的数量关系，并证明.

（2）当夕二30。时，设AD=〃z,CF=n,请直接写出线段FN的长（用含加、w的式子表示）

4

33.（2024北京海淀初二下期中）如图，一次函数>=-耳尤+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点8,

点。为x轴上的点（在点A右侧），AC为8。的垂直平分线，垂足为点E,且BC连接CO.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）连接OE,求OE的长.

34.（2024北京海淀初二下期中）如图.在VABC中，点。、E、尸分别是边A3、AC、BC的中点，且

BC=2AF.求证：四边形ADFE为矩形.

35.（2024北京丰台初二下期中）在平面直角坐标系中，A（0,2）,S（4,2）,C（4,0）.若尸为矩形

ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和'轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小

矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于。4的长，则称尸点为矩形A8C0的矩宽点.

例如：下图中的点尸］|,|J为矩形ABCO的一个矩宽点.

137

⑴在点。中，矩形的矩宽点是

T54ABCO

⑵若点九gj为矩形ABCO的矩宽点，求优的值.

参考答案

1.（1）证明见解析；

（2）回.

2

【分析】（1）先证明AB=AD,再由等腰三角形的性质得05=0。，然后证一O8E—OZM（ASA）,得

OE=OA,则四边形至瓦＞是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）由勾股定理得8=6，BD=圆,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出CO.

【详解】（1）证明：・・,4）〃3C,

ZADB=ZDBE,

平分2ABC,

ZABD=ZDBE,

:.ZABD;ZADB,

:.AB=AD,

•；AE_LBD,

:.BO=DO,

'：AD//BC,

在石和M0D4中，

ZDBE=ZADB

OB=OD,

ZBOE=ZDOA

OBE绍ODA（ASA）,

/.OE=OA,

四边形ABED是平行四边形，

又.AB=AD,

,平行四边形A5ED为菱形；

（2）解：：四边形ABED为菱形，

ABE=DE=AB=3,BO=DO,

,?/BCD=90。，

:.CD=y/DE2-CE2=V32-22=如，

BC=BE+CE=3+2=5,

.•.在RtZXBCD中，根据勾股定理得：

BD=VBC2+CD2=J5?+（灼?=痴,

VBO=DO,△BCD为直角三角形,

CO=-BD=->/30.

22

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题

的关键.

2.(1)证明见解析

⑵3有

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性

质、平行四边形的性质是解题的关键.

(1)禾用平行四边形的性质得到钻=C£>,ABCD,得到CE〃AB,再利用CE=DC得至ljCE=M,则四

边形ABEC是平行四边形.再利用AC_LDC得到NACE=90。，即可证明四边形ABEC是矩形.

(2)证明CE=AB=CD=3,BC=2CF=6,NBEC=90。,利用勾股定理即可得到答案.

【详解】(1)证明：在ABCD中，AB=CD,ABCD,

：.CE//AB,

"：CE=DC,

CE=AB,

.••四边形ABEC是平行四边形.

ACA.DC,

：.NACE=90。，

四边形WC是矩形.

(2)解：VCD=3,CE=DC,CE=AB

：.CE=AB=CD=3,

,:CF=3,四边形ABEC是矩形，

/.BC=2CF=6,NBEC=90。,

在RtBCE中,BE=A/BC2-CE2=V62-32=373；

3.(1)证明见解析

(2)①作图见解析；②证明见解析；③BG2+HG2=4AE2,证明见解析

【分析】(1)证，ADE丝.CDF(SAS),得ZADE=/CDF,再证N£DF=90。，即可得出结论；

(2)①依题意，补全图形即可；

②由直角三角形斜边上的中线性质得。G=[w,BG=〈EF,即可得出结论；

22

③先证iDE尸是等腰直角三角形，得NOEG=45。，再证OGLE尸，DG=-EF=EG,

2

BG=LEF=EG=FG,得NGDF=45°,NEDG=NDEG=45°,NGBF=NGFB,然后证

2

CDH^CDF(ASA),得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：四边形ABC。是正方形,

:.AD=CD,ZA=ZB=ZBCD=ZADC=90°,

:.ZDCF=9Q0,

又AE=CF,

:.^ADE^CDF（SAS）,

\?ADE?CDF,

ZADE+NCDE=90°,

ZCDF+ZCDE=90°,即NED方=90。，

,\DE±DF；

（2）解：①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由（1）可知，.QEF和△吕跖都是直角三角形，

G是EF的中点，

DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BG2+HG2=4AE2,

证明如下：

由（1）可知，-ADEWCDF（SAS）,DE1DF,

:.DE=DF,

.♦._DEF是等腰直角三角形，

ZDEG=45°f

G为跖的中点，

:.DG上EF,DG=-EF=EGBG=-EF=EG=FG,

2f2

:.NEGD=NHGF=NDGF=9V,NGDF=45。,NEDG=NDEG=45。,/GBF=/GFB,

NEGB=45。,

NGBF=ZGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+/CDH=90。,

NHFG=NCDH=22.5°,

ZCDF=NGDF-ZHDC=22.5°=NCDH,

又•.NDCH=NDCF=90°,CD=CD,

CDH^CDF(ASA),

:.CH=CF,

在RtAGHF中,由勾股定理得GF1+HG2=HF2,

HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG1=(2AE^,

BG2+HG2=4AE2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定

与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三

角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

4.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形

的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键.

(1)由已知条件易证OB=BC,再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知跖，AC.

(2)利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证所=GE.

【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AD^BC,OD=OB,

BD=2AD,

OB=BC,

...△BCO是等腰三角形，

E是OC的中点，

(2)证明：由(1)知N8E4=90。，

.二川是直角三角形，

G是A8的中点，

:.GE=-AB,

2

.E、厂分别是OC,的中点，

:.EF=-DC=-AB,

22

:.EF=GE.

5.(1)详见解析

(2)6

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线

的定义，熟练以上知识点是解题的关键.

（1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据/A£C=90。即可得证；

（2）由所平分/ABC,可求得=在RtA4J3E中，ZABC=60°,则Z&4E=30。，根据含30度角

的直角三角形的性质，求得BE,由已知5E=O/进而即可求得AD.

【详解】（1）证明：平行四边形ABC。，

:.BC=AD,BC//AD,

又一BE=DF,

:.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

,EC//AF,EC=AF

四边形AECP为平行四边形，

又,ZAEC=90°,

四边形AEC歹是矩形.

（2）解：平分

:.ZABF=ZFBC,

BC\AD,

:.ZAFB=ZFBC,

:.ZAFB=ZABF,

.-.AF=AB^4,

在RtZWE中，

ZAEB=90°,ZABE=60°,AB=4,

.-.ZBAE=30°,

:.BE=2,

:.FD=BE=2,

:.AD=AF+FD=6.

6.（1）①见解析；②见解析

⑵①45°；®FN=PF+PM

【分析】（1）①根据题意画图即可；

②证明四边形BCHN是矩形，得出NH=BC,ZANH=ZBNH=9Q°,证明.ABE纣丽0（ASA）,得出

=即可；

（2）①过尸作尸T_LAB交BA延长线于T,过E作EK_LPT于K,证明四边形3EKT是矩形，得出

BT=EK,NK=90。，证明Rt.APT咨RtPEK（HL）,得出ZAPT=NPEK,证明VAPE是等腰直角三角

形，得出/A£P=45。；

②根据VAPE是等腰直角三角形，PFYAE,得出瓶=EF=PF,求出

AE=2PF=2（PM+MF）=2PM+2MF,根据肱V=2PM+2MF,得出

MN-MF=2PM+MF=（PM+MF，+PM=PF+PM,即可得出结论.

【详解】（1）①解：补全图形如下：

②证明：过N作NHLCD于H,

：・4NHM=90°,

•・•四边形ABCD是正方形，

AZB=ZC=90°,AB=BC,

：.NCHN=NB=NC=90。,

・•・四边形3cMV是矩形，

：・NH=BC,ZANH=/BNH=90。,

:・NH=AB,

9：NM±AE,

：.ZAFN=9Q°,

：.ZBAE+ZANF=ZANF+ZHNM=90°,

ZBAE=ZHNM,

在一和ANHM中,

ZBAE=ZHNM

<AB=MH,

ZB=ZNHM

・・・_ABE^NHM(ASA),

・•・AE=MN；

(2)解：①过尸作PT_LAB交BA延长线于T,过E作砍_LPT于K,如图:

N

•・•四边形ABC。是正方形，

：.ZABD=45°,

・•.△即7是等腰直角三角形，

BT=PT,

*：Z.TBE=ZBTK=Z.TKE=90°,

J四边形是矩形，

ABT=EK,NK=90。，

:.PT=EK,

•/PF是AE1的垂直平分线，

：・AP=EP,

ARtAPT^RtP£X（HL）,

JZAPT=ZPEK,

:ZPEK+ZEPK=90°,

ZAPT+ZEPK=90°,

：.ZAPE=90°f

.W是等腰直角三角形，

：.ZAEP=45°；

故答案为：45°；

②由①可知，V是等腰直角三角形，

*.•PF±AE,

：.AF=EF=PF,

：.AE=2PF=2（PM+MF）=2PM+2MF,

同（1）可得=

：.MN=2PM+2MF,

.・・MN-MF=2PM+MF=（PM+MF）+PM=PF+PM,

即FN=PF+PM.

N

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定

和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出图形，熟练掌握相关的判定和性质.

7.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的判断，菱形的判定，勾股定理：

(1)由Afi=CD=4,则A£>=BC=如，结合网格的特点作图即可；

(2)根据网格的特点，结合AE=8E=AF=8P作图即可.

【详解】(1)解：如图1所示：四边形ABCD即为所求；

图1

(2)解：如图2所示，四边形尸即为所求.

■"F...........

图2

8.(1)见解析

(2)1

【分析】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练

掌握其判定及性质是解题的关键.

(1)利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求证结论；

(2)利用直角三角形的特征及勾股定理求得DF=4,利用菱形的性质及SAS可得DCG—ECG,进而可

得DG=GE,根据尸G2+E尸?即可求解；

【详解】(1)证明：：5E〃a),CE//AB,

四边形CEBD是平行四边形，

在RtAABC中，ZACB=90°,且点。是AB的中点，

：.CD=BD=-AB,

2

:•四边形CEB。是菱形.

(2)解：AB=10,

:.CD=-AB=5,

2

DF1CE,

.\Z£>FC=90°,

在RtAC。尸中，CF=3,

:.DF=[CD2-CF2=4,

・・•四边形CEB。是菱形，

:.CE=CD=5,NDCG=NECG,

:.EF=CE-CF=2,

在△DCG与々ECG中，

CD=CE

<NDCG=NECG,

CG=CG

"CG空ECG（SAS）,

:.DG=GE,

FG2+EF2=EG2,

/.（4-Z）G）2+22=DG2,

DG=~,

2

故DG的长为

2

9.⑴见详解

（2）见详解

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据要求作出图形；

（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】（1）解：如图，菱形A8CD即为所求；

（2）证明：VAO=OC,DO=OB,

:.四边形ABC。是平行四边形.

•••ZA(9D=90°,

AC.LBD.

平行四边形ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).

故答案为：OC,OB,对角线垂直的平行四边形是菱形.

10.(1)证明见解析

(2)3

【分析】(1)由角平分线的定义和平行线的性质可得=可得==由菱形的判定

可证四边形ABCD是菱形；

(2)由勾股定理求得8£=不萨二5F=8，设CE=X，则CD=8—x,在RtACDE中，

CD2=CE2+DE2,代入数据解答即可得解.

【详解】(1)解：证明：Q8D平分，ABC,

:.ZABD=ZDBC,

AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

:.ZABD=ZADB

:.AB=AD,且AB=BC,

:.AD=BC,且AD〃3C,

，四边形ABC。是平行四边形，且AB=3C,

，四边形ABC。是菱形；

(2)解：'：BO=DO,DEA.BC,

:.OE=-BD=245,

2

BD=4A/5,

BE=yjBD2-DE2=J(4A/5)2-42=8,

设CE=x,贝!18c=5E_CE=8_x,

CD=BC=8—x,

在RtaCDE中，CD2=CE2+DE2,

(8-尤)2=x2+42,

解得：x=3,

.【CE的长为3.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性

质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键.

H.(畴，立，B,B,L

22222

⑵a

(3)相等，见解析

【分析】(1)a=45°,h=AD-sinZA,a=60°,h=AD-sinZA,a=120°,h=AD-sinZZME,a—150°,

/z=AD.sinZZME,可补全表格;

(2)观察上表可得，5(30°)=5(150°),S(45°)=5(135°),S(60。)=S(120。)，S(90。)=S(90。)，所以

S(180°-a)=S(a)；

（3）因为△AOD、3OC是两块相同的等腰直角三角板，ADg，可得图中两个带阴影的三角形都是

等腰三角形，且两个等腰三角形的腰相等，ZCOD=180°-af因为5（180。-。）=S（a）,所以图中两个带阴影

的三角形面积相等.

本题考查了菱形的性质，关键是掌握菱形、等腰三角形的面积公式.

【详解】（1）解：依题意，1=30。，/i=Ar>sinZA=1,

5

a=45。，h=ADsinZA=-

2

a-60°,h=AD•sinZA=,

2

・

a=135°,fi=ADsin/DAE=也,

2

a=150°,h=AD-sinZDAE=—

2

故答案为:1,冬当,将I

(2)解：5(30°)=5(150°),5(45。)=5(135。)，5(60。)=5(120。)，5(90°)=5(90°),

.­.S(180°-a)=5(«),

故答案为：a;

（3）解：:△AOD、3OC是两块相同的等腰直角三角板，AD=V2,

ZAOD=ZBOC=90°,OA=OD=OC=OB=2,

.-.ZAOfi+ZCO£>=180°,即NC8=180。-。，图中两个带阴影的三角形都是等腰三角形，且两个等腰三角

形的腰相等,

5(180°-a)=5(«),

,图中两个带阴影的三角形面积相等.

12.⑴见解析

⑵2+2石

【分析】（1）由菱形的性质可得=根据题意可得AD=OE,CO=DF,则/归=B,即可判断四

边形AC灯是矩形；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得AC,在RtACE中，勾股定理求得CE,进而即可求得四

边形AC砂的周长.

【详解】（1）四边形ABC。是菱形，

/.AD=CD,

AD=DE,CD=DF,

二•四边形ACMACE尸是平行四边形；

AE=CF；

.•・四边形ACEb是矩形；

（2）四边形ABC。是菱形，

:.AB=CD=AD=BC=1,

・四边形ACE尸是矩形；

.\ZACE=90°,AC=EF,AF=CE,

ZB=60°,AB=\,

:.ZADC=60°9

AD=CD,AB=BC,

「.AC©是等边三角形，

:.ZCAD=6009AC=1,

:.ZAEC=30°,

AC=-AE,

2

:.AE^2,

在RtACE中，CE=《A£2-AC。=5

四边形ACM的周长=2（AC+CE）=2（1+班）=2+2/.

【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判

定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

13.（1）菱形或正方形

⑵见解析

（3）筝形的两条对角线互相垂直

【分析】（1）根据筝形的定义知，正方形和菱形都符合题意；

（2）首先根据图形，写出已知求证；然后证明；首先连接AC,由SSS,易证得即可证

得结论；

（3）易得筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形等.

【详解】（1）解：因为两组邻边分别相等的四边形是筝形，所以菱形或正方形符合题意.

故答案为：菱形或正方形；

（2）己知：如图，在筝形ABC。中，AB^AD,CB=CD,

求证：ZB=ZD,

证明：连接AC,

在VABC和△ADC中，

AB=AD

<AC=AC,

BC=DC

二ABC乌.ADC（SSS）,

:.ZB=ZD-,

故答案为：ZB=ZD-,

（3）解：筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形.

故答案为：筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一）.

【点睛】此题属于四边形的综合题.属于新定义类题目，考查了轴对称图形的定义、线段垂直平分线的性

质以及全等三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.

14.⑴见解析

⑵后

【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理.掌握特殊四边形的判定和性质，三

角形中位线定理是解题关键.

（1）根据题意可直接证明四边形fiD所是平行四边形.根据三角形中位线定理和线段中点的性质可证

BD=DE,即得出平行四边形3D卯是菱形；

（2）连接CD,DF.由菱形性质可得出BE，。产，BM=EM=^BE=2.结合（1）可求出=6,

BC=8,CE=4,从而可求出C0=6,最后先根据勾股定理求出DM=1,再根据勾股定理即可求出

CD=A^7.

【详解】（1）证明：：3尸DE,EF//DB,

二四边形BDEF是平行四边形.

VD,E分别是A3,2C的中点，

BD=-AB,DE=-AC.

22

,/AB=AC,

，BD=DE,

.•.平行四边形是菱形；

(2)解：如图，连接CO,DF.DF与BC交于点M.

,四边形BDEF是菱形,

BEIDF,BM=EM=-BE=2.

2

由(1)可知£>E=1AC=«,BC=2CE=2BE=8,

2

；.CM=EM+CE=2+4=6.

在RtOEM中，DM=J/)。?_EM^=J(扃—2?=1,

.•.在RtACDM中，CD=4CM。+DM2=>/62+l2=历.

15.(l)AACF

25

(2)CF=—

【分析】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定，勾股定理：

(1)依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF=b,进而得出△AB是等腰三角形;

(2)设B=x,则AF=x,DF=4-x,依据勾股定理即可得到了的值.

【详解】(1)解：由折叠可得，NBAC=NEAC,

•.,矩形ABCD,

AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

：.ZEAC=ZDCA,

：.AF=CF,

ACF是等腰三角形.

故答案为：ACF

(2)解：设CF=x,则=DF=4-x,

V?D90?,

ARt仞9中，AD2+DF2=AF2,即32+(4—力2=炉,

解得x=U2s，

o

16.⑴见解析

(2)见解析

(3)AC=7^CE+CG,证明见解析

【分析】⑴作用L3C交2C延长线于X,延长成f到G,使HG=FH,连接CG,EG即可；

(2)根据AE=EF,得NEAC=/EFC,再根据Za4E+ZE4C=ZBAC=45。，ZFEC+ZEFC=ZACB=45°,

得到ZBAE=ZHEF,再根据轴对称的性质得NGEC=ZHEF,即可得出结论；

(3)先证明AC=Jl45，CH=^-CG,不规则证明ABE当EHG(AAS),得AB=£H,根据

EH=CE+CH=CE+—CG,代入即可得出结论.

2

【详解】(1)解：如图所示，

R7Z.^-***

A^---1。

(2)解：・・•正方形ABC。，

AZBAC=ZACB=45°,?B90?,

•；AE=EF,

JZEAC=ZEFC,

ZBAE+Z.EAC=ABAC=45°,

/.AFEC+ZEFC=ZACB=45°,

：・ZBAE=/FEC,

・・•点/与点G关于直线5C的对称,

：.ZHEF=/GEC

：.ZBAE=ZGEC

(3)解：AC=42CE+CG

证明：・・•正方形ABC。，

：.AB=BC,NACB=45。，?B90?,

・•・AC=4^AB,

ZFCH=ZACB=45°

・・•点/与点G关于直线5C的对称,

：.ZGCH=ZFCH=45°fEF=EG,

：.AE=EG,

丁FH_LBC交BC延长线于H,

JZGHC=90°

/.ZHGC=ZHCG=45°

：.CH=GH

CG=42CH

・•・CH=—CG,

2

在」4B£和£"G中，

ZBAE=ZGEH

<ZB=ZEHG,

AE=EG

ABE^EHG(AAS),

JAB=EH

9：EH=CE+CH

(历、

:.AC=4^(CE+CH)=6CE+—CG=V2CE+CG,

即AC=6CE+CG.

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三我的判定与性质，三角形外角的性质，对顶角性质，

轴对称的性质.熟练掌握相关性质是解题的关键.

17.(1)见解析

⑵垃BP=CE

(3)10

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；

(1)根据题意作出图形，即可求解；

(2)过点尸分别作COBC的垂线，垂足分别为£G,PF交AB于点H,则HR〃仞，证明

NPEF=a=NPCF得出PC=PE,FC=^EC,进而证明四边形PGCF是矩形，得出PG=BC,根据

△P5G是等腰直角三角形，得出PG=^BP=FC=LEC,即可得出结论；

22

(3)过点尸作尸尸，EC于点/，同理可得PE=PC,则EF=FC,进而得出FD=Pb=l,CF=£F=4,

根据四边形ADPE的面积=SADE+S.即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，

(2)近BP=CE

理由如下，如图所示，过点尸分别作C2BC的垂线，垂足分别为尸,G,PF交AB于点、H,则“F〃AD

H

BGC

：.ZDAP=ZAPH

i^ZDAP=ZAPH=af

•・•四边形ABCD是正方形，80是对角线，

:.AD=CD,ZADP=/CDP,ZPBC=45°

又•：DP=DP

：.AADP^/\CDP

：.PA=PC,ZDCP=ZDAP=a

*.*APLPE

・•・ZEPF=90°-ZAPH=90°-a

PFLCD,

：.ZPEF=a=ZPCF

：.PC=PE,FC=-EC,

2

,/乙BCD=90°,PF1CD,PG1BC

四边形PGCB是矩形，

PG=FC,

又NPBC=45。

•*.△PBG是等腰直角三角形，

/.PG=-BP=FC=-EC

22

y/2BP=EC;

(3)解：如图所示，过点尸作PF_LEC于点尸，

同理可得PE=PC,则所=所，

.P田是等腰直角三角形，

,/AB=3,DP=>fi

：.FD=PF=1,CF=EF=4,

：.DE=DF+EF=l+4=5,

...四边形ADPE的面积=SADE+SEDP

=-xADxDE+-xDExFP

22

=^xDEx(AD+FP)

=1x5x4=10

2

故答案为：10.

18.(l)@(0,6)；②%修巴;

(2)1.5<n<3；

1535

(3)9<0<15^—<0<—,—<0<—.

【分析】(1)①当。=6时，得点