2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：平行四边形章节综合（解答题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

平行四边形章节综合（解答题）1

一、解答题

1.（2024北京人大附中初二下期中）如图，四边形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。,对角线8。平分

ZABC,过点A作3。的垂线AE,分别交BC,BD于点E,O,连接£）及

（1）求证：四边形ASED是菱形；

（2）连接CO,若AB=3,CE=2,求CO的长.

2.（2024北京西城初二下期中）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,对角线AC、8。相交于点0,

BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.

3.（2024北京房山初二下期中）如图，在uABCD中，对角线ACLOC,延长。C到点E,使CE=OC,连

接AE,交2C于点E连接3E.

（1）求证：四边形ABEC是矩形.

⑵若CD=3,CF=3,求BE的长.

4.（2024北京第一^t一中学初二下期中）如图，在正方形ABCZ）中，E是边上的一动点，点尸在边

BC的延长线上，且CF=AE,连接DE、DF.

⑴求证：DELDF；

（2）连接E/L取E/中点G,连接DG并延长交BC于77,连接BG.

①依题意，补全图形；

②求证：BG=DG；

③若ZEGB=45。,用等式表示线段3G、序与AE之间的数量关系，并证明.

5.（2024北京育才学校初二下期中）如图，在DABCD中，点E、F分别在BC,AD±,且3匹=/）尸,

连接AE,CF.求证：AE//CF.

6.（2024北京八一学校初二下期中）已知：如图所示，在平行四边形438中，对角线AC、2。相交于

点。，BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、A3的中点.求证：

（1）SE±AC.

（2）EG=EF.

7.（2024北京日坛中学初二下期中）如图，在DABCD中，点M、N分别在边3C、上，且.BM=DN,

连接AM,CN.求证:AM〃CN.

8.（2024北京广渠门中学初二下期中）如图，平行四边形ABCZ）中，点E,尸分别在边8C,AD±,

BE=DF,ZAEC=90°.

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接所，若AB=4,ZABC=60°,BF平分/ABC,求AD的长.

9.（2024北京海淀初二下期中）已知正方形ABC。中，点E是射线BC上一点，连接AE,作AE的垂直平

分线交直线CD于点交直线AB于点N,交AE于点?

⑴如图1,当点E在正方形的边2C上时.

①依题意补全图形；

②求证：MN=AE；

（2）如图2,当点E在BC的延长线上时.连接并延长交M0的延长线于点P,连接PE.

①直接写出的度数为一；

②用等式表示线段Pf,PM,RV之间的数量关系

10.（2024北京大兴初二下期中）如图，在口ABC。中，AE±BC,CFLAD垂足分别为E,F.求证:

BE=DF.

11.（2024北京汇文中学初二下期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，8E平分/ABC交AD于E,

DF平分^ADC交于尸.

求证：四边形£B£D是平行四边形.

12.（2024北京汇文中学初二下期中）如图是由边长为1的小正方形构成的6x4的网格，点A、B均在格

点上.

图2

⑴在图1中画出以AB为边且周长为8+2百的平行四边形ABCD,且C点和。点均在格点上（画出一个即

可）；

⑵在图2中画出以为对角线的菱形尸，且点E和点尸均在格点上.

13.（2024北京海淀初二下期中）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,点。是AB的中点，连接C。，过

点,B作BE〃CD,过点C作CE〃A3,BE、CE相交于点E.

（1）求证：四边形CEB。是菱形；

（2）过点。作DFLCE于点足交CB于点G,若AB=10,CF=3,求DG的长.

14.（2024北京海淀初二下期中）已知：在△49。中，ZAOD=90°.求作：菱形ABC。.

作法：

①延长A。，以点。为圆心，Q4长为半径作弧，与AO的延长线交于点C；

②延长。O,以点。为圆心，OD长为半径作弧，与。。的延长线交于点2；

③连接ABIC,8.

所以四边形ABCD即为所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：VAO=,DO=,

/.四边形ABC。是平行四边形.

ZAOD=90。,

ACJ.BD.

平行四边形是菱形.（—）（填推理的依据）.

15.（2024北京清华附中初二下期中）如图，VA3C中，AB=BC,过A点作BC的平行线与—ABC的平

分线交于点。，连接CD.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)连接AC与8〃交于点0,过点。作DEL3C交BC的延长线于E点，连接E0,若EO=2逐，

DE=4,求CE的长.

16.(2024北京第六十六中学初二下期中)如图1,将边长为1的正方形ABC。压扁为边长为1的菱形

ABCD,在菱形438中，/A的大小为a,面积记为S.

(2)填空：由(1)可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着NA大小的变化而变化，不妨把

单位菱形的面积S记为S(a).例如：当a=30。时，5=5(30。)=：；当々=135。时，

5=5(135°)=^.由表格可以归纳出S08O。-a)=S(_).

(3)两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=y/2,ZAOB^a,试探究图中两个带阴影的三角

形面积是否相等，并说明理由.(注：可以利用(2)中的结论)

17.(2024北京第六十六中学初二下期中)按要求画出图形：

图I图2

（1）在6x6的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：

在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形；

在图2中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4、百、旧；

请你判断这个三角形一直角三角形（填“是”或“不是”）.

（2）如图3,已知点A（-3,1）,8为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且。4=08.

①直接写出点B的坐标为二

②画出以A、B,。及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形.

18.（2024北京第六十六中学初二下期中）如图，在菱形ABC。中，延长AD到点E,使。E=AD,延长

C。到点R使=连接AC、CE、EF、AF.

（1）求证：四边形ACEF是矩形；

⑵若/B=60。，AB=1,求四边形ACEb的周长.

19.（2024北京第十八中学初二下期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,我们把这种两

组邻边分别相等的四边形叫做筝形.请探究筝形的性质.

小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.

(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是」

(2)小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”.

请你帮他将证明过程补充完整.

己知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD,CB=CD,

求证：

证明：

(3)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线.结合图

形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质(一条即可)

20.(2024北京交大附中初二下期中)如图，平行四边形ABC。，E、P两点在对角线8D上，且

BE=DF,连接AE,EC,CF,FA.求证：四边形是平行四边形.

21.(2024北京第十八中学山初二下期中)如图，在VABC中，AB=AC,D,E分别是AB,的中

点，BF//DE,EF//DB.

(1)求证：四边形3DEF是菱形；

(2)连接CD,若BE=4,AC=2百，求CD的长.

22.(2024北京日坛中学初二下期中)如图，矩形中，AB=4,AD=3,将矩形ABCD沿对角线AC

折叠，使点B落在点E处，AE交于点足

(1)写出折叠后的图形中的等腰三角形：;

(2)求CF的长.

23.(2024北京广渠门中学初二下期中)在正方形ABCZ)中，点£为边上一个动点(点E不与点2,C

重合)，连接AE,点尸在对角线AC的延长线上，连接E尸，使得跖=AE.作点厂关于直线BC的对称点

G,连接CG,EG.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：ZBAE=AGEC-,

(3)用等式表示线段AC,CE,CG之间的数量关系，并证明.

24.(2024北京海淀初二下期中)正方形ABCD中，点尸是射线8。上一动点，连结AP,过尸作

PE±AP,交射线CD于E,连结AE.

(1)如图①，请补全图形：

(2)如图②，当点E在CD的延长线上时，试确定线段与CE之间的数量关系，并说明理由：

(3)如图③，当点P在50的延长线上，若AB=3,DPf,直接写出四边形ADPE的面积.

25.(2024北京朝阳初二下期中)下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30。角的平行四边形”的尺

规作图过程.

已知：矩形A3CD.

求作：平行四边形4GHD,使NG4D=30。.

作法：如图，

①分别以A,8为圆心，以大于长为半径，在4B两侧作弧，分别交于点E,F；

②作直线所；

③以点A为圆心，以A3长为半径作弧，交直线族于点G,连接AG；

④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H,连接则四边形AGHD即为所求作的平

行四边形.

根据小明设计的尺规作图过程，填空：

(1)NBAG的大小为；

(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是.

26.(2024北京十一学校初二下期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点尸和正方形OABC,给出如下定

义：若点尸关于y轴的对称点P到正方形。4BC,的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点尸

是正方形Q4BC,的“最佳距离点”.

2345678x

备用图备用图

已知：点2(a,0),

(1)当。=6时，①点C的坐标是一;

②在a-U),6(-2,2),4(<4),乙(-3,2)四个点中，一是正方形。4BC,的“最佳距离点”;

(2)当a=9时，点尸(-6,2〃)(其中">0)是正方形OABC,的“最佳距离点”，求"的取值范围;

(3)点M(-3,3),N(-5,5),若线段脑V上存在正方形。4BC,的“最佳距离点”，直接写出。的取值范围.

27.(2024北京西城初二下期中)如图，平行四边形ABC。中，AB=6cm,BC=10cm,ZB=60。，点G

是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与的延长线交于点P，连接CE,。尸.

(1)求证：四边形CEE厅是平行四边形.

请补全证明过程：

•.•点G是C。的中点，

①=.

四边形A2CZ)是平行四边形，

:.BC//AD(依据：②).

③Z=N_____.

又一；NFGC=NEGD,

:.AFCG%EDG（ASA）.

CF=DE.

又•：CE“DE,

，四边形CEE不是平行四边形（依据：④）.

（2）直接写出：当钻二⑤cm时，四边形CEL用是菱形；

当cm时，四边形CEL中是矩形.

28.（2024北京第八十中学初二下期中）在菱形ABCD中，/54。=120。，动点尸在直线BC上运动，作

NAPM=60。，且直线PM与直线C。相交于点G,G点到直线BC的距离为GH.

⑴证明：ZBAP=ZGPC；

（2）若P在线段BC上运动，求证：CP=DG；

（3）若尸在线段上运动，探求线段AC6,CH的一个数量关系，并证明你的结论.

29.（2024北京日坛中学初二下期中）下面是小明设计的作菱形AB跖的尺规作图过程.

已知：四边形ABCZ）是平行四边形.

求作：菱形ABEF（点E在BC上，点产在AD上）.

作法：如图，

①以A为圆心，A3长为半径作弧，交AD于点产；

②以2为圆心，A3长为半径作弧，交3C于点E；

③连接跖，所以四边形4?跖为所求的菱形.

（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：VAF^AB,BE=AB,

在平行四边形ABCZ）中，AD//BC,即A尸〃BE,

二四边形ABEF为形，

,/AF^AB,

，四边形ABEF为菱形.

30.（2024北京第一六六中学初二下期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正

方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图:

图①图②图③

(1)在图①中画一条线段MN,使得=

(2)在图②中画一个菱形ABCD,使其周长为4百；

(3)在图③画一个等腰RbABC,使得它的面积为4.

31.(2024北京第一六六中学初二下期中)如图，在DABCD中，点E,尸分别在上，BE=DF,

E尸与对角线AC相交于点O.

(1)求证：OE=OF-

(2)连接CE,若点G为CE的中点，连接OG.若AE=6,求OG的长.

32.(2024北京海淀初二下期中)如图，四边形A2CZ)是菱形，对角线AC,8。交于点。，E是C4延长

线上一点，且AE=AO,BC=5,BD=8,求的的长度.

参考答案

1.（1）证明见解析；

（2）回.

2

【分析】（1）先证明AB=AD,再由等腰三角形的性质得05=0。，然后证△<?班经△OZM（ASA）,得

OE=OA,则四边形至瓦>是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）由勾股定理得8=6，BD=圆,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出CO.

【详解】（1）证明：・・,4）〃3C,

ZADB=ZDBE,

平分2ABC,

ZABD=ZDBE,

:.ZABD;ZADB,

:.AB=AD,

•；AE_LBD,

:.BO=DO,

'：AD//BC,

在石和M0D4中，

ZDBE=ZADB

OB=OD,

ZBOE=ZDOA

:.△OBE%ODA（AS0,

/.OE=OA,

四边形ABED是平行四边形，

5L-.-AB=AD,

,平行四边形A5ED为菱形；

（2）解：：四边形ABED为菱形，

ABE=DE=AB=3,BO=DO,

,?/BCD=90。，

:.CD=y/DE2-CE2=V32-22=如，

BC=BE+CE=3+2=5,

.•.在RtZXBCD中，根据勾股定理得：

BD=VBC2+CD2=J5?+（灼?=痴,

VBO=DO,△BCD为直角三角形,

CO=LBD=L屈.

22

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题

的关键.

2.见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，通过证明三角形全等

可以等到AO=CO,再由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.

【详解】证明：

AZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

又：OB=OD,

：.AOAB^OCD(AAS),

：.OA=OC,

四边形ABC。是平行四边形.

3.(1)证明见解析

(2)373

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性

质、平行四边形的性质是解题的关键.

(1)利用平行四边形的性质得到AB=C2AB||CD,得到CE〃AB,再禾狮CE=DC得至UCE=M,则四

边形ABEC是平行四边形.再利用AC_LDC得到NACE=90。，即可证明四边形ABEC是矩形.

(2)证明CE=AB=CD=3,BC=2CF=6,NBEC=90°,利用勾股定理即可得到答案.

【详解】(1)证明：在DMCD中，AB=CD,AB\\CD,

CE//AB,

CE=DC,

：.CE=AB,

・・・四边形ABEC是平行四边形.

AC.LDC,

：.NACE=90。，

・・・四边形ABEC是矩形.

⑵解：VCD=3,CE=DC,CE=AB

：.CE=AB=CD=3,

VCF=3,四边形ABEC是矩形，

ABC=2CF=6,/BEC=9伊,

在RUBCE中，BE=^BC2-CE2=762-32=373；

4.(1)证明见解析

(2)①作图见解析；②证明见解析；③BG2+HG2=4AE2,证明见解析

【分析】(1)证AADE丝ACDb(SAS),得ZADE=/CDF,再证NED产=90。，即可得出结论;

(2)①依题意，补全图形即可；

②由直角三角形斜边上的中线性质得。G=工即，BG=-EF,即可得出结论；

22

③先证ADEF是等腰直角三角形，得NDEG=45°,再证。GLE尸，DG=^EF=EG,

BG=-EF=EG=FG,得NG。尸=45°,/EDG=/DEG=45°,Z.GBF=Z.GFB,然后证

2

ACDH^ACDF（ASA）,得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：,•・四边形A3CL（是正方形，

:.AD=CD,ZA=NB=NBCD=ZADC=90。,

:.ZDCF=90°,

又♦.•A£=CF,

.-.△ADE^ACDF（SAS）,

\?ADE2CDF,

ZADE+ZCDE=90°,

ZCDF+ZCDE=90°,即ZEDF=90°,

:.DE.LDF；

（2）解：①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由(1)可知，ADE尸和ABEF都是直角三角形,

,.•G是E尸的中点，

:.DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BGr+HG1=4AE2,

证明如下：

由(1)可知，AADE^ACZ)F(SAS),DELDF,

:.DE=DF,

.•aDEF是等腰直角三角形，

.."EG=45°,

•••G为£尸的中点，

：.DGLEF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

:.NEGD=NHGF=NDGF=9Q°,ZGDF=45°,NEDG=/DEG=45°,/GBF=/GFB,

•;NEGB=45。,

NGBF=NGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+ACDH=90°,

NHFG=NCDH=22.5°,

NCDF=/GDF-NHDC=22.5°=NCDH,

X•.­ZDCH=ZDCF=90°,CD=CD,

.-.ACDH^ACDF(ASA),

:.CH=CF,

在RtAGHF中，由勾股定理得GF2+HGr=HF2,

-.-HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG2=(2AEf,

.-.BG2+HG2=4AE2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定

与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三

角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

5.证明见解析.

【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，先证明四边形AEb是平行四边形，再根据平行四边形的

性质即可，灵活运用平行四边形的性质和判定是本题的关键.

【详解】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

VAD//BC,即有A尸〃CE,

/.四边形AECF是平行四边形，

AE//CF.

6.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形

的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键.

(1)由已知条件易证03=3C,再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知跖，AC.

(2)利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证EF=GE.

【详解】(1)证明：,•・四边形A3CD是平行四边形，

:.AD=BC,OD=OB,

•：BD=2AD,

:.OB=BC,

...△BCO是等腰三角形，

・•,E是OC的中点，

:.BE±AC.

(2)证明：由(1)知/fiEA=90。，

.[△ABE是直角三角形，

1--G是AB的中点，

:.GE=-AB,

2

•・.£、尸分别是OC,的中点，

:.EF=-DC=-AB,

22

:.EF=GE.

7.见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的判定与

性质成为解题的关键.

根据平行四边形的性质可得3C=AD，BC//AD,再结合创/=可得CM=AN,易证四边形AMOV是

平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论.

【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形，

BC=AD,BC//AD,

"：BM=DN,

:.CM=AN,

CM//AN,

：.四边形AMCN是平行四边形，

：.AM//CN.

8.(1)详见解析

(2)6

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线

的定义，熟练以上知识点是解题的关键.

(1)根据已知条件先证明四边形AEC尸为平行四边形，再根据/AEC=90。即可得证；

(2)由M平分/ASC,可求得=在中，ZABC=60°,则Z&4E=30。，根据含30度角

的直角三角形的性质，求得8E,由已知=进而即可求得AD.

【详解】(1)证明：・•,平行四边形ABC。，

:.BC=AD,BC//AD,

又；BE=DF,

:.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

■.■EC//AF,EC=AF

四边形AECP为平行四边形，

又•；ZAEC=90。,

四边形AEC歹是矩形.

(2)解：•.•3尸平分ZABC,

:.ZABF=/FBC,

■.BC\\AD,

:.ZAFB=ZFBC,

:.ZAFB=ZABF,

.-.AF=AB=4,

在RtZWE中，

ZA£B=90°,ZABE=60°,AB=4,

:.ZBAE^30°,

:.BE=2,

：.FD=BE=2,

:.AD^AF+FD^6.

9.(1)①见解析；②见解析

⑵①45°；@FN=PF+PM

【分析】(1)①根据题意画图即可；

②证明四边形是矩形，得出NH=BC,ZANH=ZBNH=90°,证明AABE丝ANHM(ASA),得出

=即可；

(2)①过尸作尸TLAB交54延长线于T,过E作EKLPT于K,证明四边形BEKT是矩形，得出

BT=EK,NK=90。，证明RtA^PT咨RtAPEK(HL),得出NAPT=NPEK,证明VAPE是等腰直角三角

形，得出NA£P=45。；

②根据VAPE是等腰直角三角形，PFLAE,得出AF=£F=PF,求出

AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MF,根据肱V=2PM+2MF,得出

MN-MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM,即可得出结论.

【详解】(1)①解：补全图形如下：

②证明：过N作NHLCD于H,

：・4NHM=90°,

四边形ABCO是正方形，

AZB=ZC=90°,AB=BC,

：.ZCHN=ZB=ZC=90°,

J四边形5cHV是矩形，

:.NH=BC,ZANH=ZBNH=90°,

:.NH=AB,

9

\NM±AEf

：.ZAFN=90°f

：.ZBAE+ZANF=ZANF+ZHNM=90°,

JZBAE=ZHNM,

在石和△NWM中，

ZBAE=ZHNM

<AB=MH,

ZB=/NHM

：.^ABE^NHM(ASA),

：.AE=MN；

(2)解：①过尸作FT，AB交BA延长线于T,过£作双，「7于K,如图:

N

・・•四边形ABC。是正方形,

：.ZABD=45°f

・・・△3PT是等腰直角三角形，

BT=PT,

,/ZTBE=ZBTK=ZTKE=90°,

・・・四边形3EKT是矩形，

：・BT=EK,ZK=90°,

:.PT=EK,

P/是A£的垂直平分线，

:・AP=EP,

：.Rt△APT^Rt(HL),

:.ZAPT=ZPEK,

NPEK+NEPK=9。。,

：.ZAPT+ZEPK=90°,

：.TAPE=90。,

・・・VAP石是等腰直角三角形，

・・・ZAEP=45°；

故答案为：45°；

②由①可知，VAPE是等腰直角三角形，

■:PF^AE,

:.AF=EF=PF,

：.AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MF,

同(1)可得AE=MN,

:.MN=2PM+2MF,

：.MN-MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM,

即=+

N

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定

和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出图形，熟练掌握相关的判定和性质.

10.见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质和垂直定义得

到AB=C。，ZB=ZD,ZAEB=ZCFD=90°,进而证明AABE咨ACDB(AAS),然后利用全等三角形的

对应边相等可得结论.

【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CD,ZB=ZD.

；AE-LBC,CF±AD,

：.ZAEB=/CFD=90。,

在AABE和VCDP中，

,NB=ND

<NAEB=ZFD,

AB=CD

：.AABE^ACDF(AAS),

BE=DF.

11.见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，先根据平行四边形的性质

得出ZAEB=NCBE,结合角平分线的定义以及角的等量代换，得出NABE=NAEB,等角对等边，则

AS=他，同理B=CD，根据一组对边平行且相等的四边形，证明是平行四边形，即可作答.

【详解】证明：在平行四边形A5CD中，

贝AB=CD,

：.ZAEB=ZCBE,

又BE平分/ABC,

：.ZABE=ZEBC,

ZABE^ZAEB,

即AB=AE,

同理CF=CD,

又AB=CD,

：.CF=AE,

/.BF=DE,

'：AD//BC,

.,•四边形EBFD是平行四边形.

12.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的判断，菱形的判定，勾股定理：

(1)由AB=CD=4,则AD=BC=君，结合网格的特点作图即可；

（2）根据网格的特点，结合^£=圮=河=8下作图即可.

【详解】（1）解：如图1所示：四边形ABCD即为所求；

图1

（2）解：如图2所示，四边形AEM即为所求.

【分析】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练

掌握其判定及性质是解题的关键.

（1）利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求证结论；

（2）利用直角三角形的特征及勾股定理求得DF=4,利用菱形的性质及SAS可得ADCG=AECG,进而可

得DG=GE,根据尸G'E尸?=EG?即可求解；

【详解】（1）证明：：3E〃CD,CE//AB,

•••四边形CEBD是平行四边形，

在RtaABC中，ZACB=90°,且点。是A8的中点，

;.CD=BD=-AB,

2

.,•四边形CEBD是菱形.

（2）解：vAB=10,

:.CD=-AB=5,

2

■.■DFICE,

:"DFC=90。,

在RtZ\CDF中，CF=3,

：.DF=-JCD2-CF2=4>

••,四边形CEB。是菱形，

:.CE=CD=5,ZDCG=ZECG,

:.EF=CE-CF=2,

在ADCG与ziECG中,

CD=CE

<NDCG=NECG,

CG=CG

/.△DCG^AECG（SAS）,

:.DG=GE,

FG2+EF2=EG2,

/.（4-DG）2+22=DG2,

/.DG=~,

2

故£>G的长为

2

14.（1）见详解

（2）见详解

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据要求作出图形；

（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求；

（2）证明：VAO=OC,DO=OB,

/.四边形ABC。是平行四边形.

•••ZAOD=90°,

：.AC.LBD.

平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.

故答案为：OC,OB,对角线垂直的平行四边形是菱形.

15.（1）证明见解析

⑵3

【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得=可得AB=AD=3C,由菱形的判定

可证四边形ABCD是菱形；

(2)由勾股定理求得==8,设CE=x,则CE>=8—x,在RtACDE中，

CD。=CE2+DE2,代入数据解答即可得解.

【详解】(1)解：证明：QBO平分工ABC,

:.ZABD=ZDBC,

•：AD//BC,

:.ZADB=/DBC,

:.ZABD=ZADB

:.AB=AD,&AB=BC,

:.AD=BC,且仞〃3。，

二.四边形ABC。是平行四边形，且AB=3C,

*'•四边形ABCD是菱形；

(2)解：•:BO=DO,DE1BC,

:.OE=-BD=2-j5,

2

BD=4A/5,

BE=NBD。-DE。=J(4百『一4?=8,

设CE=X,贝!|8C=BE-CE=8-x,

.-.CD=BC=8-x,

在RtACDE1中，CD2=CE2+DE2,

(8-x)2=x2+42,

解得：x=3,

;.CE的长为3.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性

质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键.

16.(l)i,也，B,B,1

22222

⑵a

(3)相等，见解析

【分析】(1)a=45°,h=ADsinZA,a=60°,h=ADsinZA92=120。，h=ADsinZDAE,a=150。，

h=AD-sinZDAE,可补全表格；

(2)观察上表可得，5(30°)=5(150°),S(45°)=S(135°),5(60。)=S(120。)，5(90°)=5(90°),所以

5(180。—。)=S(a).

(3)因为△AO。、ABOC是两块相同的等腰直角三角板，AD=y/2,可得图中两个带阴影的三角形都是

等腰三角形，且两个等腰三角形的腰相等，ZCOD=180°-«,因为5(180。-&)=S(e),所以图中两个带阴影

的三角形面积相等.

本题考查了菱形的性质，关键是掌握菱形、等腰三角形的面积公式.

【详解】（1）解：依题意，1=30。，h=ADsmZA=-

29

a=45。，h=AD•sinZA=，

2

a=60°,h=AD•sinZA=—

2

a=135°,h=AD-sinZDAE=——，

2

a=150。，h=ADsinZDAE=~；

2

故答案为：3B,受，I；

22222

(2)解：v5(30°)=5(150°),5(45°)=5(135°),5(60°)=5(120°),5(90°)=S(90°),

.­.S(180°-a)=S(«),

故答案为：a;

(3)解：•••△AOD、ABOC是两块相同的等腰直角三角板，AD=血,

ZAOD=ZBOC=90°,OA=OD=OC=OB=2,

:.ZAOB+ZCOD=180°,即NCOD=180。-。，图中两个带阴影的三角形都是等腰三角形，且两个等腰三角

形的腰相等，

5(180°-a)=5(«),

・••图中两个带阴影的三角形面积相等.

17.(1)图见解析，不是

⑵①(-1,3)；②见解析

【分析】(1)根据面积为8的正方形的边长画出正方形即可；根据指=百声，上=在仔画出三角

形，根据勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形即可；

(2)①根据勾股定理可知也是两直角边长分别为1和3的斜边，再结合点B是第二象限内的整点即可

得到答案；②根据平行四边形的判定定理作图即可.

【详解】(1)解：•••正方形的面积为8,

,正方形的边长为网=20,

则面积为8的正方形,

图1

解：VA2C为所求作的三角形，如图2所示:

AB=Jl2+2?=下>AC=>/22+32=-\/13，BC=4，

V(75)-+(713)-=18^42,

这个三角形不是直角三角形;

A

/

/

BC

图2

(2)①：是两直角边长分别为1和3的斜边，OA=OB,

•••02也是两直角边长分别为1和3的斜边，

8(-1,3),

故答案为：(-13)；

②以A、8、。及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形如图3所示:

（2）2+24

【分析】（1）由菱形的性质可得AD=CD,根据题意可得则AE=CF,即可判断四

边形AC砂是矩形；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得AC,在Rt^ACE中，勾股定理求得CE,进而即可求得四

边形AC所的周长.

【详解】（1）,,•四边形ABCD是菱形，

/.AD=CD9

AD=DE,CD=DF,

，四边形ACE/MC跖是平行四边形；

AE=CF；

二.四边形ACM是矩形；

（2）••・四边形ABC。是菱形，

/.AB=CD=AD=BC=1,

•・•四边形ACE尸是矩形；

:.ZACE=90°,AC=EF,AF=CE,

•・・N5=60。，AB=1,

:.ZADC=60°,

•：AD=CD,AB=BC,

.•.△ACD是等边三角形，

.\ZCAD=60°,AC=lf

:.ZAEC=30°,

AC=-AE

2f

AE=2,

在RQACE中，CE=y/AE2-AC2

四边形ACEb的周长=2(AC+CE)=2(1+若)=2+26.

【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判

定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

19.(1)菱形或正方形

(2)见解析

(3)筝形的两条对角线互相垂直

【分析】(1)根据筝形的定义知，正方形和菱形都符合题意；

(2)首先根据图形，写出已知求证；然后证明；首先连接AC,由SSS,易证得/△ADC,即可证

得结论；

(3)易得筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形等.

【详解】(1)解：因为两组邻边分别相等的四边形是筝形，所以菱形或正方形符合题意.

故答案为：菱形或正方形；

(2)已知：如图，在筝形ABC。中，AB^AD,CB=CD,

求证：ZB=ZD,

证明：连接AC,

在VA5C和八4£)。中,

AB=AD

<AC=AC,

BC=DC

.".△ABC^AADC(SSS),

.­.ZB=ZD；

故答案为：ZB=ZD-,

(3)解：筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形.

故答案为：筝形的两条对角线互相垂直(答案不唯一).

【点睛】此题属于四边形的综合题.属于新定义类题目，考查了轴对称图形的定义、线段垂直平分线的性

质以及全等三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.

20.证明见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接AC与交于O,由平行四边形的性质可得

OA=OC,OB=OD,再证明OE=O9，即可证明四边形AEB是平行四边形.

【详解】证明：如图所示，连接AC与8。交于。，

•..四边形ABC。是平行四边形，

AOA=OC,OB=OD,

,/BE=DF,

：.OB-BE=OD-DF,

：.OE=OF,

四边形AECF是平行四边形.

21.⑴见解析

⑵历

【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理.掌握特殊四边形的判定和性质，三

角形中位线定理是解题关键.

（1）根据题意可直接证明四边形fiD斯是平行四边形.根据三角形中位线定理和线段中点的性质可证

BD=DE,即得出平行四边形3D卯是菱形；

（2）连接CD,DF.由菱形性质可得出BED1,BM=EM=^BE=2.结合（1）可求出小=石，

BC=8,CE=4,从而可求出C0=6,最后先根据勾股定理求出DM=1,再根据勾股定理即可求出

CD=屈.

【详解】（1）证明：•••3E〃DE,EF//DB,

四边形BDEF是平行四边形.

VD,E分别是A3,2C的中点，

BD=-AB,DE=-AC.

22

,/AB=AC,

/.BD=DE,

平行四边形BDEF是菱形；

（2）解：如图，连接CO,DF.£）歹与8C交于点

:四边形成史F是菱形,

；•BELDF,BM=EM=-BE=2.

2

由(1)可知。E=,AC=A/?,BC=2CE=2BE=8,

2

：.CM=EM+CE=2+4=6.

在RLDEM中，DM=yjDE2-EM2=扃-2?=1,

在RtACDM中，CD=y/CM2+DM2=代+俨=屈.

22.(l)AACF

(2)CF=y

【分析】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定，勾股定理：

Q)依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF=b,进而得出△ACT是等腰三角形;

(2)设C5=x,则A/=x,DF=4-x,依据勾股定理即可得到x的值.

【详解】(1)解：由折叠可得，NBAC=NEAC,

:矩形ABCD,

AB//CD,

：.ZBAC=NDCA,

：.ZEAC^ZDCA,

：.AF=CF,

AACF是等腰三角形.

故答案为：AACF

(2)解：设CF=x,贝=DF=4-x,

■:7D90?,

.,.RtAAD/中，AD2+DF2=AF2»即3?+(4-x)2=/,

解得尤=9言5，

o

•e_25

•・CF=—.

8

23.(1)见解析

(2)见解析

(3)AC=&CE+CG,证明见解析

【分析】⑴作Fa_L3C交8C延长线于X,延长收到G,使HG=FH,连接CG,EG即可；

(2)根据A£=EF,得NEAC=NEFC,再根据ZBAE+Z£XC=ZBAC=45。，ZFEC+ZEFC=ZACB=45°,

得到N&VfinN/ffiF,再根据轴对称的性质得NGEC=ZHEF,即可得出结论；

(3)先证明AC="42，CH=^-CG,不规则证明△ABE0AEAG(AAS),得AB=EH,根据

*CE+S=CE+*G,代入即可得出结论.

【详解】（1）解：如图所示，

(2)解：・・•正方形ABC。，

AZBAC=ZACB=45°,IB90?,

AE=EF,

：.ZEAC=NEFC,

*：ZBAE+ZEAC=ABAC=45°,

/.ZFEC+ZEFC=ZACB=45°,

:・ZBAE=/FEC,

丁点方与点G关于直线BC的对称，

/.ZHEF=ZGEC

：.ZBAE=AGEC

(3)解：AC=6CE+CG

证明：•・,正方形ABCD,

AAB=BC,ZACB=45。，IB90?,

•*.AC=CAB,

：.ZFCH=ZACB=45°

丁点方与点G关于直线BC的对称，

ZGCH=ZFCH=45°,EF=EG,

：.AE=EG,

•・•FHLBC交BC延长线于H,

：.ZGHC=90°

ZHGC=ZHCG=45°

：.CH=GH

CG=y/2CH

CH=—CG,

2

在石和AEHG中,

NBAE=NGEH

<ZB=ZEHG,

AE=EG

/.AABE经AEHG(AAS),

AB=EH

"：EH=CE+CH

：.AC=V2(CE+CH)=A/2CE+^CG^=^/2CE+CG,

即AC=41CE+CG.

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三我的判定与性质，三角形外角的性质，对顶角性质,

轴对称的性质.熟练掌握相关性质是解题的关键.

24.(1)见解析

⑵0BP=CE

(3)10

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；

(1)根据题意作出图形，即可求解；

(2)过点尸分别作CD,3C的垂线，垂足分别为RG,尸产交于点则5〃AD,证明

NPEF=a=NPCF得出PC=PE,FC^-EC,进而证明四边形PGCF是矩形，得出PG=FC,根据

2

△P8G是等腰直角三角形，得出尸6=也2尸=尸。=」石。，即可得出结论；

22

(3)过点尸作尸尸，EC于点/，同理可得PE=PC,则EF=FC,进而得出ED=PF=1,CF=EF=4,

根据四边形ADPE的面积=S，ME+S®p即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，

⑵拒BP=CE

理由如下，如图所示，过点P分别作CD,BC的垂线，垂足分别为尸,G,PF交AB于点H,则5〃AD

/.ZDAP=ZAPH

设ZZMP=ZAP//=a,

:四边形ABCD是正方形，是对角线,

:.AD=CD,ZADP=ZCDP,ZPBC=45°

又,：DP=DP

:.AADP^ACDP

：.PA=PC,ZDCP=ZDAP=a

*.*AP±PE

：.ZEPF=90°-ZAPH=90°-6/

■:PFLCD,

：.ZPEF=a=ZPCF

：.PC=PE,FC=-EC,

2

,/ZBCD=90°,PF±CD,PG±BC

四边形PGCF是矩形，

PG=FC,

又/P3c=45°

△PBG是等腰直角三角形，

B]

/.PG=-BP=FC=-EC

22

y/2BP=EC;

(3)解：如图所示，过点尸作比_LEC于点尸,

同理可得PE=PC,则砂=/C,

APTO是等腰直角三角形，

AB=3,DP=C

：.FD=PF=\,CF=EF=4,

：.DE=DF+EF=l+4=5,

二四边形ADPE的面积=SAADE+S@DP

=-xADxDE+-xDExFP

22

=1xDEx(AD+FP)

=1x5x4=10

2

故答案为：10.

25.(1)60°

(2)一组对边平行