专题10 反比例函数【考点精讲】（解析版）

专题10反比例函数1．反比例函数的定义如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.2．反比例函数的图象和性质（1）图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.（2）反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:函数图象所在象限性质(k≠0,k为常数)k>0三象限(x,y同号)在每个象限内,y随x增大而减小k<0四象限(x,y异号)在每个象限内,y随x增大而增大3．反比例函数的解析式的确定求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.【考点1】反比例函数图象与性质【例1】（反比例函数的图象）如图，函数与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【详解】解：在函数和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、D错误，选项B正确，当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：B．【例2】（反比例函数的图象性质）（2021·山西）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D．（1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;（2）当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.1．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；故选：D．2．（2021·黑龙江大庆市）已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限C．一，三，四象限 D．二，三，四象限【答案】B【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小，∴，∴的图像经过第一，二，四象限，故选：B．3．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】根据图象进行分析即可得结果；【详解】解：∵∴由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为，由图象可以看出当或时，函数在上方，即，故选：D．4.（2022·广东）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解．【详解】解：由反比例函数解析式可知：，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点，，，在反比例函数图象上，∴，故选D．5．（2021·陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）【分析】先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．【详解】解：∵∴即∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大∵1<3∴<故答案为：<．【考点2】确定反比例关系式【例3】（求解析式）（2022·江苏常州）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解．【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．故选：C【例4】（系数k）（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，∴，∴，解得：．故选：D．求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为(k≠0,k为常数)，再将函数上一个点坐标代入即可解得。反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：1．（2022·湖北十堰）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（

）A．36 B．18 C．12 D．9【答案】B【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．∴点D的坐标为（3，），∴点C的坐标为（3-t，+t）．∵点C在反比例函数y=的图象上，∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，∴点B的坐标为（3，6-），∴3×（6-）=，整理，得：+=18．故选：B．2．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．【答案】2【分析】作A过x轴的垂线与x轴交于C，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC=S△OAB=1，由此即可求得答案．【详解】解：设A(a，b)，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+S△ADC=S△AOD+S△BDO=S△OAB=1，∴×OC×AC=ab=1，∴ab=2，∵A(a，b)在y=上，∴k=ab=2．故答案为：2．3．（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则__________．【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解．【详解】和过点A故答案为．4．（2022·贵州铜仁）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形间面积为6，，则k的值为_______．【答案】3【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解．【详解】解∶设点，∵轴，∴，，∵，∴，∴CD=3a，∵．轴，∴BC∥y轴，∴点B，∴，∵，四边形间面积为6，∴，解得：．5．（2022·贵州遵义）反比例函数与一次函数交于点，则的值为__________．【答案】6【分析】将点，代入，求得，进而即可求解．【详解】解：将点，代入，即，，，故答案为：6．6．（2022·湖北武汉）在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值．【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式，∴-k=±4，即k=±4，∵在在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，∴k-1＞0，∴k＞1．解得：k=4，∴反比例函数解析式为，故答案为：．7．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．（1）y与x的函数表达式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；（2）代入x的值即可求得函数值．【答案】解：（1）设y1=ax，y2＝b（x﹣2），则y=ax根据题意得a3−b(3−2)=5a所以y关于x的函数关系式为y=3x+（2）把x＝﹣1代入y=3x+得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．【考点3】反比例函数的综合运用【例5】（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选B．【例6】（2022·山东潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（

）A．海拔越高，大气压越大B．图中曲线是反比例函数的图象C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系【答案】D【分析】根据图象中的数据回答即可．【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；C．∵图象经过点(4，60)，∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；故选：D．利用反比例函数解决实际问题，要做到①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.【失分警示】1．利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；2．利用出数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义。1．（2022·湖南郴州）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解；【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵，∴∵∴故选：B．2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（

）A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态【答案】C【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D．【详解】解：根据函数图象可得，A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意；B.当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意；C.当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；D.当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；故选:C.3．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，∴，，∴点B不可能在坐标轴上；∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；故答案为：或．4．（2022·山东临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．……0.250.5124………………【答案】(1)；(2)，表、图见解析【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【解析】(1)解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，∴2x=0.5y，∴；∵4>0，∴y随x的增大而增大，∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，∴．(2)解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，∴2×0.5=xy，∴；当x=0.25时，；当x=0.5时，；当x=1时，；当x=2时，；当x=4时，；填表如下：……0.250.5124…………421……画图如下：【考点4】一次函数与反比例函数的综合运用【例7】（2021·山东威海市）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________．【分析】设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．【详解】解：∵点A为直线上一点，∴设点A坐标为，则点B的坐标为，∵点B在双曲线上，将代入中得：，解得：，当时，，当时，，∴点A的坐标为或，故答案为：或．【例8】（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；【解析】(1)解：把代入，得，解得，，所以反比例函数解析式是；(2)存在点P使△ABP周长最小，理由：解和得，和，，和，，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，△ABP的周长=，，，．1．解答本考点的有关题目需要注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，可以利用待定系数法.2．反比函数图像常见的辅助线作法：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线段构成三角形或四边形，求面积。1．（2021·贵州安顺市）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（）A． B． C． D．【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，∴关于原点中心对称，∵点的坐标是，∴点的坐标是．故选C．2．（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．【详解】（1）四边形是矩形，，为线段的中点将代入，得将，代入，得：，解得（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得3．（2021·山东东营市）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．（1）求直线AB的解析式；（2）