2024年北京某中学初三（上）期中数学试题及答案

北京交大附中教育集团2024-2025学年初三第一学期期中练习

数学2024.11

姓名班级学号

说明：本试卷共8页，共100分.考试时间120分钟.

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第『8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.一元二次方程3d-5x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,—4,—5B.3,5,4C.3,—5,—4D.3,5,—4

2.巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身

影.下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（

3.用配方法解方程-+6x-1=0,变形后结果正确的是（)

A.(x+3)2=10B.(x+3)2=7C.(x-3)2=10D.(x-3)2=7

4.如图所示，将长方形N8C。绕其顶点3顺时针方向转到如图所示位置,

则旋转角可以为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.若关于x的一元二次方程Y-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.—16,B.-4C.4D.16

6.二次函数y=♦+6x+c的x与y的部分对应值如下表:

X-101234

ym212510

则m的值是（）

A.IB.2C.5D.10

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7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基础框架.《九章算术》中记

载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何大意是说：已知长方形门的

高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)若设

门宽为x尺，则根据题意，列方程为()

A.6.82+x2=(x+6.8)2B.(x-6,8)2+x2=102

C.(X+6,8)2+102=X2D.(X+6.8)2+X2=102

8.下面是“过圆外一点P作。。的切线”的尺规作图的方法：

①连接OP；

②分别以点。，点尸为圆心，大于工。尸的长为半径作弧，两弧相交于4,8两点，作直线/瓦交

2

OP于点M-,

③以M为圆心，为半径画圆，交。。于C,。两点；

④作直线CP,DP.直线CP,。尸即为所求.

上述方法通过判定尸=90。得到直线CP,DP是。。的切线，其中判定/。。=90。的依据是

()

A.圆的切线垂直于过切点的半径

B.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

C.90。的圆周角所对的弦是直径

D.直径所对的圆周角是直角

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二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.写出一个顶点为（0,1）的抛物线的表达式.

10.将抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为.

11.如图，AB,/C为。。的两条弦，连接03,OC,若44=45。，则NBOC的度数为

第14题图

12.若二次函数y=ox2+6x+c的图象如图所示，贝！|欧0（填或

13.如图，在正三角形网格中，以某点为旋转中心，将旋转，得到△A6N1P1,则旋转中心是点.

14.如图，PA,网分别切。。于点B,。是M上一点，H是彘上一点、.若NP=40。，则的度

数是.

15.如图，这是一种用于液体蒸储或分储物质的玻璃容器一一蒸储瓶，

其底部是圆球形.已知截面圆中弦的长为12JIcm,瓶内液体

的最大深度CD=6cm,则球形的半径为cm.

16.如-图，抛物线y=1,x,2—2x+c交x轴于点/（a,0）和3（6,0）,交y轴于

点C（0,c）,抛物线的顶点为。.下列结论：

①若a=l,则6=3；

②当y<0时a<x<6,且y的最小值为c-2；

③抛物线上有两点P（Xl，J1）和0（X2,»2）,若X1<X2,且Xl+X2>4,则》>了2；

3

④当c=一时，对于抛物线上两点M（加，"1）,N（m+2,-2），若〃1<0,则〃2>0.

2

其中正确的是_______________

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三、解答题(本大题共68分，第17、18、19、21、23、25题每题5分，20、22、24、26题每题6分,

27、28题每题7分)

17.解方程：x2+2x-8=0.

18.已知正是方程x?+3x-5=0的一个根，求代数式(“2+1)2+机(7"+4)的值.

19.在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,△4BC的三个顶点都在格点上，点/的坐标

为(4,4),请解答下列问题:

(1)画出△A3C关于原点。成中心对称的△//Ci,并写出G的坐标;

(2)将△/8C绕点8逆时针旋转90。，画出旋转后的△血2。2.

20.如图，在等腰直角△48C中，/R4C=90。，。是3c边上任意一点(不与2,C重合)，将线段ND

绕点/逆时针旋转90。得到线段连接CE,DE.

(1)求/ECD的度数；

(2)若NB=4,BD=42,求DE的长.

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21.已知二次函数解析式为y=x2-2x-3.

(1)将y=》2-2x—3化成y=。(万一力丫+k的形式,

并写出它的顶点坐标；

(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；

(3)当0<x<3时，y的取值范围为.

22.已知关于x的一元二次方程f+mx+m-lnO.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)如果该方程有一个根为正数，求加的取值范围.

23.小明在某景区看到一个标志性建筑物一一拱门观光台(如图1),拱门的形状近似于抛物线的一部分,

已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米.小

明在图2中建立平面直角坐标系.请你结合数据，帮他求出拱门的高度(拱门的最高点到地面的距离).

图1

24.如图，在中，AB=4C,以48为直径作OO交2c于点。，过点。作/C的垂线交/C于点E,

交AB的延长线于点R

(1)求证：与。。相切;

(2)若CD=BF,AE=3,求的长.

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25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除

率的影响.

方式一：采用清水浸泡.

记浸泡时间为/分钟，农药的去除率为M％,部分实验数据记录如下:

,（分）・・・5810121520・・・

必（％）•••305057523733•••

方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间.

记食用碱溶液的浓度为x%,农药的去除率为为%，部分实验数据记录如下:

X(%)・・・257101215•••

%(%)•••435257765725・・・

结合实验数据和结果，解决下列问题:

（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率%（%）与浸泡时间1（分）

之间的关系，方式二中农药的去除率无（%）与食用碱溶液的浓度x（%）之间的关系，请分别在下面

的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象;

%(%)

80

%(%)

70

60

60

50-50

______।

4040___

30______।30

20___j20

10___j10

05101520〃分O12345678910111213141516过％)

（2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为分钟;

（3）利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不

低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x%中，x的取值范围可以是.

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26.在平面直角坐标系xOy中，已知M（X[,%）和"（%，叫）是抛物线V=-2/x上任意两点.

（1）若X]=1,=3时，满足乂=%，则抛物线的对称轴为直线；

（2）若对于f—2<X]</+1,0<X2<1,都有切〈歹2，求才的取值范围.

27.如图，在Rt445C中NC=90。，/B=a.。是线段3c上的动点（不与点3,C重合）.将射线D4

绕点。逆时针旋转a得到射线DW,过点4作于点£,连接CE.

（1）①补全图形；

②直接写出//CE的大小（用含&的式子表示）.

（2）作点8关于点C的对称点R取线段ED的中点G,连接GE,用等式表示线段GE与GC之间

的数量关系，并证明.

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28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于。。的弦和不在直线48上的点C,给出如下定

义：若点C关于直线4g的对称点。在。。上或其内部，S.ZACB=a,则称点C是弦N3的“&可

及点”.

(1)如图，点/B

2222

②若点。是弦的“60。可及点”，记点。的横坐标为加，则加的取值范围为:

(2)已知点尸是直线y=x-l上一点，且存在。。的弦使得点尸是弦的“90。可及点”.

记点P的横坐标为〃，直接写出〃的取值范围.

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数学答案2024.11

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1-8CBAACCDD

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.歹=/+1（不唯一）io.j=-x2+311.90°12.<13.B14.110°

15.916.①②④

三、解答题（本大题共68分，第17、18、19、21、23、25题每小题5分，20、22、24、26题每题6分,

27、28题每题7分)

17.X2+2X=8......................................................1分

x2+2x+1=9

(x+1)2=9.....................................................2分

x+1=±3.....................................................3分

再=2，X2=-4•................................................5分

18.解：(m+1)2+4)

=m2+2m+1+m2+4m.....................................................2分

=2m2+6m+1.......................................................3分

=2(m2+3m)+1

m是方程/+3x-5=0的一个根

m2+3m-5-0

m2+3m=5.....................................................4分

・••原式=2x5+1=11......................................................5分

19.解：(1)如图.........................2分

Ci(-3,-1)......................................................3分

(2)如图..........................5分

1

20.解：(1)•••△48。是等腰直角三角形，NB4c=90。

ZB=ZACB=45°,AB=AC.

•：ABAC=NDAE=90°,

/BAD=ZCAE.............................................1分

•••AD=AE,

:.AABD^AACE..............................................2分

NB=NACE=45°.

ZECD=ZACE+ZACB,

ZECD=90°.............................................3分

(2)由(1)可知，BD=CE=41.............................................4分

4B=AC=4,ABAC=90°

BC=472.

CD=3V2.............................................5分

在RtZkCQE中，ZECD=90°

DE=y/CE2+CD2=275..........................................6分

21.解：(1)y=x2-2x-3

=x2-2x+l-l-3

=(x-l)2-4.............................................1分

顶点坐标是(1，-4)；............................................2分

(2)图象如图所示；..........................3分

(3)-4Wy<0.............................................5分

22.(1)证明：VA=m2-4(m-l)............................................1分

=m2—4m+4

=(m-2)220,

；•方程总有两个实数根2分

~b±-\lb2-4ac

x=-----------------

⑵解：2a

-m±(m-2)

2

2

.....................................................3分

西=-1,x2=l-m.......................................................5分

・・•方程有一个根为正数，

1-m>0.

......................................................6分

23.解：设抛物线的解析式为歹=ax2++c(aw0).

•・•抛物线对称轴为y轴,

：.b=0.......................................................1分

••y=ax+c

由题意可知5(50,150),D(100,0)......................

[150=2500a+。

0=10000a+c

c二200

1

y=-----x92+200......................................................4分

50

・•・顶点坐标是(0,200)

・•・拱门的最大高度为200米...........................5分

24.(1)证明：方法一：连接。。，

9：AB是。。的直径，

：・NADB=90°.

：.AD±BC.

又,：AB=AC,

AZ1=Z2.....................................................1分

U

：OA=OD1

：.Z2=ZADO.

3

：.Z\=ZADO.

：.OD//AC........................2分

•；DEL4C,

：.ZODF=ZAED=90°.

：.OD±ED.

TOD为半径，

・・・。石与。。相切.3分

(2)•:AB=AC,ADLBC,

AZ1=Z2,CD=BD.

■:CD=BF,

:・BF=BD.

.\Z3=ZF.

・・・N4=N3+N尸=2N3.

•：OB=OD,

：.ZODB=Z4=2Z3.

u：ZODF=90°,

：.Z3=ZF=30°,/4=/ODB=60°.4分

VZADB=90°,

・・.N2=N1=3O°.

VZAED=90°,

：.AD=2ED.

t：AE1+DE1=Ab1,AE=3,

：.AD=2y/3.......................................................5分

VZF=30°Z2=30°

：.Z2=ZF.

：.DF=AD.

：.DF=2y/3.......................................................6分

4

25.解：（1）方式一和方式二的函数图象如图所示:

(2)如：10.......................................................3分

(3)如：7WxW12.......................................................5分

26.(1)x=2；..................................................2分

(2)方法一:

：y=x?-2状的对称轴为x=/，

...当/时，y随x的增大而增大；当x</时，歹随x的增大而减小.................3分

①当Y0时,

设点抛物线上的点照-2,乃）关于x=/的对称点为4（/+2,为），

若对于f-2<f+1,0<x2<1,都有必<%,

r./+2<0.

t<-2......................................................4分

②当时，若对于:-2<%<t+l,0<x2<1,都有%<%,

%—2N1.

>3......................................................5分

③当0<£<1时，

•・"一2<再<，+1,0<x2<1

.•.当天=%=/，%=必•

不符合题意，舍去.

综上所述：/23或/<_2......................................................6分

5

27.解：（1）①补图（如图1）1分

图1

②N4CE=a.....................................................2分

(2)GE=GC3分

方法一：

证明：如图2,在射线瓦饮上截取点使EH=ED,连接FH.

・・・G是阳的中点，

J.EG是△。处1的中位线.

：.EG//FH.

：.ZEGD=ZHFD.

•:B,歹关于点。对称

工AF=AB.

：.ZAFB=ZB=a.

：.ZFAB=1SO°-2a.

■:EH=ED,AELDE,

：.AH=AD................

ZAHD=ZADH=a

；・ND4H=180°-2a.

・・・ZHAF=ADAB.

9